마방진(魔方陣, 영어: magic square) 또는 방진(方陣)은 n²개의 수를 가로, 세로, 두 대각선 방향의 수를 더하면 모두 같은 값이 나오도록 n × n 행렬에 배열한 것이다. 마법진(魔法陣) 중 하나이다. 일반적인 마방진(pure/normal magic square)의 각 칸에는 1부터 n²까지의 수가 모두 들어간다.^[1][2] 마방진은 n이 2일 때를 제외하고 항상 존재한다.^[3]

중국 하나라의 우 임금 시절 (약 4000년 전) 우왕은 매년 범람하는 황하의 물길을 정비할 때 이상한 그림이 새겨진 거북의 등 껍데기를 발견했다. 1부터 9까지의 숫자가 배열된 3차 마방진이었고, 가로, 세로, 대각선의 어느 방향으로 더해도 그 합(마방진 합)이 15였다. 이를 낙서라고 한다.^[4][5]

天與禹洛出書，神龜負文而出，列於背，有數至於九。禹遂因而第之，以成九類，常道所以次敘。

— 상서정의 12권

마방진에서 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합은 같은데, 그 값을 마법 상수라고 한다. 1부터 n²까지의 수가 한 개씩 들어가는 '일반적인'(normal) 마방진에서 모든 수의 합은 1부터 n²까지의 자연수 합으로 삼각수 ${\displaystyle {\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}}$이다. n개의 가로·세로줄이 있으니 마법 상수는 이를 n으로 나눈 것과 같다.^[2]

${\displaystyle M(n)={\frac {n^{2}(n^{2}+1)}{2}}\div n={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}$

1차 마방진(1×1 마방진)은 수가 '1' 한 개밖에 없다. 따라서 자명하다.

일반적인 마방진은 2차 마방진 외에는 모두 가능하다.^[3][6]

다음과 같은 2차 마방진이 있다고 하면,

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle d}$

${\displaystyle a}$ + ${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle a}$ + ${\displaystyle c}$ 이고,

${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle c}$ 로 두 수가 중복된다.

2024년에 6차 마방진의 개수에 대한 검증이 끝나 6차까지 개수가 알려져 있다.

1, 0, 1, 880, 275305224, 17753889197660635632. (OEIS의 수열 A006052)

2024년 12월에 7차, 8차 마방진의 개수가 시뮬레이션을 통해 산출됐습니다.^[7]

7차 마방진의 개수는 3.54886E+34 개이고

8차 마방진의 개수는 5.20248E+54 개입니다.

n×n 마방진은 어떤 수들의 합이 마법 상수로 같은지에 따라 다음과 같이 분류될 수 있다.

• 준마방진(semi-magic square)은 가로줄과 세로줄만의 합이 마법 상수로 같다.
• 단순 마방진(simple magic square)은 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 합이 마법 상수로 같다. 일반적인 마방진(ordinary magic square) 또는 평범한 마방진(normal magic square)이라고도 불리고, 일반적으로 마방진은 단순 마방진을 말한다.
• 범마방진(汎魔方陣, pandiagonal magic square) 또는 범대각선 마방진(汎對角線 魔方陣)은 범대각선(깨진 대각선)의 합도 마법 상수로 같은 마방진을 말한다.
• 가장 완벽한 마방진(most-perfect magic squrare)은 두 조건을 만족하는 범마방진이다.

몇천 년 동안, 마방진을 만드는 다양한 방법이 발견되었다.

홀수 차수의 마방진을 만드는 방법은 프랑스 외교관 '시몬 드 라 루베르'(Simon de la Loubère)가 그의 저서 《시암 왕국의 역사적 관계(Du Royaume de Siam, 1693)》의 〈인도인들에 따른 마방진 문제(The problem of the magical square according to the Indians)〉에 나와 있다.^[8] 그 방법은 다음과 같다.

첫 번째 행의 가운데 칸에 1을 넣는다. 그 다음 자연수를 대각선 방향으로 오른쪽 위 칸에 넣는 것을 모든 칸이 채워질 때까지 반복한다. 이때 해당하는 칸이 마방진의 위쪽으로 벗어난 경우에는 반대로 가장 아래쪽의 칸으로, 마방진의 오른쪽으로 벗어나는 경우는 가장 왼쪽의 칸으로 각자 한번 더 이동한다. 또 이때 칸을 채울 자리에 이미 숫자가 있다면 아래에 수를 넣는다.

맨 윗 줄에 가운데 칸이 아닌 칸에서 시작해도 가능하지만, 가로줄과 세로줄은 마법 상수으로 나오고 대각선의 합은 다르다. 따라서 준마방진(semimagic square)이 만들어지고, 진짜 마방진은 나올 수 없다. 또 대각선 오른쪽 위 방향이 아닌 방향으로 자연수를 계속 써도 마방진이 나올 수 있다.

위와 같이 4칸씩 나누어 흑색 칸과 백색 칸으로 칠한 뒤에, 힌 색 칸의 수들을 180도 뒤집어 옮기면 마방진이 된다.

• 
  원진
• 
  다각진 중 하나인 삼각진
• 
  육각진
• 
  별진 중 하나인 육각별진
• 
  최석정의 지수귀문도

• 
  입체마방진

• 입체마방진: 3차원 형태의 마방진

• (영어) 매스월드의 마방진 문서
• (한국어) 숫자놀이