㈀ ⇒ ㈁. ${\displaystyle U,V\subseteq X}$가 열린집합이며, ${\displaystyle U\cap V=\varnothing }$이라고 하자. ${\displaystyle U}$가 열린집합이므로, ${\displaystyle U\cap \operatorname {cl} V=\varnothing }$이다. 마찬가지로, ${\displaystyle \operatorname {cl} V}$가 열린집합이므로, ${\displaystyle \operatorname {cl} U\cap \operatorname {cl} V=\varnothing }$이다.

㈁ ⇒ ㈀. 임의의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle U}$와 ${\displaystyle X\setminus \operatorname {cl} U}$는 서로소 열린집합이므로,

${\displaystyle \varnothing =\operatorname {cl} U\cap \operatorname {cl} (X\setminus \operatorname {cl} U)=\operatorname {cl} U\cap X\setminus \operatorname {int} (X\setminus \operatorname {cl} U)}$

이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {cl} U}$는 열린집합이다.

㈀㈁ ⇒ ㈂. 서로소 열린집합 ${\displaystyle U,V\subseteq X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \operatorname {cl} U}$, ${\displaystyle \operatorname {cl} V}$, ${\displaystyle X\setminus (\operatorname {cl} U\cap \operatorname {cl} V)}$는 서로소 열린닫힌집합이다. 따라서, 함수

${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$

${\displaystyle f|_{\operatorname {cl} U}=0}$

${\displaystyle f|_{\operatorname {cl} V}=1}$

${\displaystyle f|_{X\setminus (\operatorname {cl} U\cap \operatorname {cl} V)}=1/2}$

은 연속 함수이다.

㈂ ⇒ ㈁. 서로소 열린집합 ${\displaystyle U,V\subseteq X}$가 주어졌다고 하자. 조건 ㈂에 따라, ${\displaystyle U\subseteq f^{-1}(0)}$, ${\displaystyle V\subseteq f^{-1}(1)}$인 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$를 고르자. 그렇다면,

${\displaystyle \operatorname {cl} U\cap \operatorname {cl} V\subseteq \operatorname {cl} f^{-1}(0)\cap \operatorname {cl} f^{-1}(1)=f^{-1}(0)\cap f^{-1}(1)=\varnothing }$

이다.

㈀㈁㈂ ⇒ ㈃. 티체 확장 정리의 증명과 같은 방법을 사용하여 다음을 보일 수 있다. 임의의 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 부분 집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon U\to [0,1]}$에 대하여, ${\displaystyle {\tilde {f}}|_{U}=f}$인 연속 함수 ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to [0,1]}$가 존재한다.
• 임의의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon U\to [0,1]}$에 대하여, ${\displaystyle f^{-1}(0)\subseteq {\tilde {f}}^{-1}(1)}$, ${\displaystyle f^{-1}(1)\subseteq {\tilde {f}}^{-1}(1)}$인 연속 함수 ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to [0,1]}$가 존재한다.

따라서, 임의의 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$가 두 번째 조건을 만족시킴을 보이는 것으로 족하다. 연속 함수 ${\displaystyle f\colon U\to [0,1]}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle U}$가 열린집합이므로,

${\displaystyle V=f^{-1}([0,1/3))}$

${\displaystyle W=f^{-1}((2/3,1])}$

은 ${\displaystyle X}$의 서로소 열린집합이다. 조건 ㈂에 따라,

${\displaystyle V\subseteq {\tilde {f}}^{-1}(0)}$

${\displaystyle W\subseteq {\tilde {f}}^{-1}(1)}$

인 연속 함수 ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to [0,1]}$이 존재한다. 따라서

${\displaystyle f^{-1}(0)\subseteq V\subseteq {\tilde {f}}^{-1}(0)}$

${\displaystyle f^{-1}(1)\subseteq W\subseteq {\tilde {f}}^{-1}(1)}$

이다.

㈃ ⇒ ㈁. 서로소 열린집합 ${\displaystyle U,V\subseteq X}$가 주어졌다고 하자. 조건 ㈃에 따라, ${\displaystyle U\subseteq f^{-1}(0)}$, ${\displaystyle V\subseteq f^{-1}(1)}$인 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$가 존재한다. 따라서,

${\displaystyle \operatorname {cl} U\cap \operatorname {cl} V\subseteq \operatorname {cl} f^{-1}(0)\cap \operatorname {cl} f^{-1}(1)=f^{-1}(0)\cap f^{-1}(1)=\varnothing }$

이다.

이산 공간의 부분 집합은 스스로의 폐포이므로, 모든 이산 공간은 자명하게 극단 분리 공간이다.

${\displaystyle X}$가 극단 분리 공간이자 하우스도르프 공간이며, ${\displaystyle S\subseteq X}$가 두 점 이상을 포함하는 부분 집합이며, ${\displaystyle x,y\in S}$가 서로 다른 두 점이라고 하자. 하우스도르프 조건에 따라, ${\displaystyle y\not \in \operatorname {cl} U}$인 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x}$가 존재한다. ${\displaystyle X}$가 극단 분리 공간이므로, ${\displaystyle \operatorname {cl} U}$는 열린닫힌집합이다. 따라서 ${\displaystyle S}$는 연결 집합이 아니며, ${\displaystyle X}$는 완전 분리 공간이다.

이제, 극단 분리 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$에서, 점렬 ${\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }}$이 점 ${\displaystyle x\in X}$로 수렴하지만, 결국 상수 점렬이 아니라고 가정하자. 그렇다면,

${\displaystyle x\not \in \operatorname {cl} U_{k}\qquad (k=0,1,\ldots )}$

가 되는 부분 점렬 ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k=0}^{\infty }}$ 및 서로소 열린 근방

${\displaystyle U_{k}\ni x_{n_{k}}\qquad (k=0,1,\ldots )}$

들을 재귀적으로 정의할 수 있다. 부분 점렬 ${\displaystyle (x_{n_{0}},\ldots ,x_{n_{k-1}})}$ 및 서로소 열린 근방 ${\displaystyle U_{i}\ni x_{n_{i}}}$ (${\displaystyle i=0,\ldots ,k-1}$)이 존재하며, ${\displaystyle x\not \in \operatorname {cl} U_{i}}$ (${\displaystyle i=0,\ldots ,k-1}$)라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle x_{n_{k}}\in X\setminus (\operatorname {cl} U_{0}\cup \cdots \operatorname {cl} U_{k-1})}$, ${\displaystyle x_{n_{k}}\neq x}$인 ${\displaystyle n_{k}>n_{k-1}}$가 존재한다. 하우스도르프 조건에 따라, ${\displaystyle x\not \in \operatorname {cl} V}$인 열린 근방 ${\displaystyle V\ni x_{n_{k}}}$이 존재한다. 이제 ${\displaystyle U_{k}=V\setminus (\operatorname {cl} U_{0}\cup \cdots \operatorname {cl} U_{k-1})}$로 잡는다. 이제,

${\displaystyle U=\bigcup _{i=0}^{\infty }U_{2i}}$

라고 하자. ${\displaystyle X}$가 극단 분리 공간이므로 ${\displaystyle \operatorname {cl} U}$는 열린집합이며, ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle (x_{n_{2i}})_{i=0}^{\infty }}$의 극한이므로 ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} U}$이다. 따라서, 충분히 큰 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle x_{n}\in \operatorname {cl} U}$이다. 특히 ${\displaystyle x_{n_{k}}\in \operatorname {cl} U}$인 홀수 ${\displaystyle k}$가 존재한다. 그러나 ${\displaystyle x_{n_{k}}\in U_{k}}$이며 ${\displaystyle U_{k}\cap U=\varnothing }$이므로 ${\displaystyle x_{n_{k}}\in \operatorname {cl} U}$일 수 없다. 이는 모순이다. 즉, ${\displaystyle X}$에서 모든 수렴 점렬은 결국 상수 점렬이다. 만약 ${\displaystyle X}$가 극단 분리 하우스도르프 공간이자 제1 가산 공간이라면, 임의의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq X}$은 점렬 극한에 대하여 닫혀 있으므로, 닫힌집합이다. 즉, ${\displaystyle X}$는 이산 공간이다.

${\displaystyle X}$가 극단 분리 공간이자 정칙 공간이며, ${\displaystyle F\subseteq X}$가 닫힌집합이며, ${\displaystyle x\in X\setminus F}$라고 하자. 정칙 공간 조건에 따라, ${\displaystyle \operatorname {cl} U\subseteq X\setminus F}$인 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x}$가 존재한다. ${\displaystyle X}$가 극단 분리 공간이므로, ${\displaystyle \operatorname {cl} U}$는 열린닫힌집합이다. 따라서, 함수

${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$

${\displaystyle f|_{\operatorname {cl} U}=0}$

${\displaystyle f|_{X\setminus \operatorname {cl} U}=1}$

는 연속 함수이며, ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle F}$를 분리한다. 따라서 ${\displaystyle X}$는 완비 정칙 공간이다.

정규 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle \dim X=0}$
• 임의의 서로소 닫힌집합 ${\displaystyle E,F\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle E\subseteq U\subseteq X\setminus F}$인 열린닫힌집합 ${\displaystyle U}$가 존재한다.

${\displaystyle X}$가 극단 분리 정규 하우스도르프 공간이며, ${\displaystyle E,F\subseteq X}$가 서로소 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, 우리손 보조정리에 따라

${\displaystyle E\subseteq f^{-1}(0)\subseteq X\setminus f^{-1}(1)\subseteq X\setminus F}$

인 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to [0,1]}$가 존재한다. 이 경우

${\displaystyle U=\operatorname {cl} f^{-1}([0,1/2))}$

은 열린닫힌집합이며,

${\displaystyle E\subseteq f^{-1}(0)\subseteq U\subseteq f^{-1}([0,1/2])\subseteq X\setminus f^{-1}(1)\subseteq X\setminus F}$

을 만족시킨다.