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이론물리학에서 R대칭(R對稱, 영어: R-symmetry)은 서로 다른 초대칭 생성원(초전하)들을 섞는 (보손) 대칭이다. 가장 간단한 ( ${\mathcal {N}}=1$ ) 초대칭에서는 U(1)이지만, 확장 초대칭의 경우 아벨 군이 아닐 수 있다.

정의

시공간 대칭 $L$ 이 주어졌다고 하자. 예를 들어, 부호수 $(p,q)$ 의 민코프스키 공간에서, 이는 푸앵카레 대칭 $\operatorname {ISO} (p,q)$ 이며, 반 더 시터르 공간이나 등각 장론에서는 이는 $\operatorname {SO} (p+1,q+1)$ 의 꼴이다.

이 위에 초대칭 이론을 정의한다고 하자. 그렇다면, 초대칭의 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 보손 성분 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 를 생각하자. 콜먼-맨듈라 정리 및 하크-워푸샨스키-조니우스 정리 등에 따라서, 이는 일반적으로

{\mathfrak {g}}_{0}=\operatorname {Lie} (L)\oplus {\mathfrak {r}}

의 꼴이다. 즉, 시공간 대칭과 가환하는 대칭의 리 대수 ${\mathfrak {r}}$ 가 존재한다. 이 리 대수에 대응하는 대칭을 R대칭이라고 한다.

스피너 표현이 실수 또는 복소수 또는 사원수 표현인지 여부에 따라서, R대칭군은 각각 직교군 또는 유니터리 군 또는 심플렉틱 군이 된다. 구체적으로, 시공간 부호수 $(p,q)$ 에서, 초대칭의 R대칭은 다음과 같다.

$(p-q){\bmod {8}}$	스피너 종류	R대칭
0	마요라나-바일	$\operatorname {SO} ({\mathcal {N}})$
±1	마요라나	$\operatorname {SO} ({\mathcal {N}})$
±2	마요라나, 바일	$\operatorname {U} ({\mathcal {N}})$
±3	디랙	$\operatorname {USp} ({\mathcal {N}})$
4	(심플렉틱-마요라나) 바일	$\operatorname {USp} ({\mathcal {N}})$

물론, 이 가운데 일부는 상호 작용에 의하여 깨지거나 게이지 대칭이 될 수 있다.

성질

일반적인 초대칭 양자장론에서, R대칭은 (이름과 달리) 실제 이론의 대칭이 아닐 수 있다. 즉, 해밀토니언 연산자와 가환하지 않을 수 있다. 이 깨짐은 직접적으로 (R대칭을 따르지 않는 라그랑지언 항), 또는 변칙적으로 일어날 수 있다. 그러나 등각 장론의 경우, 등각 대수가 닫히기 위해서 R대칭이 꼭 필요하며, 따라서 R대칭이 깨질 수 없다.

4차원에서, 중심 전하(영어: central charge)가 없는 ${\mathcal {N}}$ 초대칭 이론의 경우 R대칭은 $\operatorname {U} ({\mathcal {N}})$ 이다 ( ${\mathcal {N}}=4$ 일 경우, $\operatorname {SU} (4)$ ). 만약 중심 전하 $Z_{ij}$ 가 주어질 경우, R대칭은 중심 전하를 보존하는 부분군인 심플렉틱 군 $\operatorname {USp} ({\mathcal {N}})$ 으로 깨지게 된다.^[1]^:40

예

민코프스키 공간 위의 초대칭 이론 (특히 양-밀스 이론)의 R대칭군은 다음과 같다.

시공간 차원	초대칭 수(𝒩)	R대칭군	주석
(1,1)	(2,2)	U(1)_A×U(1)_V	물질에 따라서 U(1)_A 또는 U(1)_V 둘 다 변칙을 겪을 수 있음
(2,1)	4	SO(4) = SU(2)×SU(2)
(3,1)	1	U(1)
(3,1)	2	SU(2)	U(1) 성분은 변칙적으로 $\mathbb {Z} _{4N_{\text{c}}}$ 로 깨짐, 게이지 군 $SU(N_{\text{c}})$
(3,1)	4	SU(4)
(5,1)	(1,0)	USp(2) = SU(2)
(5,1)	(1,1)	USp(2)×USp(2) = SU(2)×SU(2)
(5,1)	(2,0)	USp(4) = Spin(5)^[2]

이들 가운데 일부는 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다.

4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 양-밀스 이론의 SU(4)=Spin(6) R대칭군은 AdS/CFT 대응성을 통해, 반 더 시터르 공간의 등거리군으로 설명할 수 있다. 또한, 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 는 10차원 ${\mathcal {N}}=1$ 양-밀스 이론에서 6개의 차원을 축소화하여 얻으며, 이에 따라 Spin(6)=SU(4)를 얻는다.
6차원 ${\mathcal {N}}=(1,1)$ 이론의 경우, 10차원 ${\mathcal {N}}=1$ 양-밀스 이론에서 4개의 차원을 축소화하여 얻을 수 있다. 이에 따라 R대칭군은 Spin(4)=USp(2)×USp(2)이다.
6차원 ${\mathcal {N}}=(2,0)$ 이론의 경우, M5-막 위에 존재한다. 따라서, 11차원 M이론을 사용하여, M5-막에 수직인 5개의 차원으로부터 R대칭 Spin(5)=USp(4)를 얻는다.
3차원 ${\mathcal {N}}=4$ 이론은 6차원 ${\mathcal {N}}=1$ 이론에서 세 개의 차원을 축소화하여 얻을 수 있다. 이 경우, 6차원 ${\mathcal {N}}=1$ 이론은 USp(2) R대칭을 가지며, 축소화한 3개의 차원으로부터 Spin(3)=SU(2) R대칭이 추가로 발생한다. 따라서 총 R대칭은 Spin(4)=SU(2)×SU(2)이다.

등각 대칭 / (반) 더 시터르

실수 단순 리 초대수 가운데, 그 보손 부분 대수가

{\mathfrak {o}}(p,q)\oplus

[콤팩트 리 대수]

의 꼴인 것들은 다음이 있다.

리 대수	시공간 부호수	R대칭	리 대수	시공간 부호수	R대칭
${\mathfrak {su}}(2,2\|{\mathcal {N}})$	(4,2)	${\mathfrak {su}}({\mathcal {N}})\oplus \mathbb {R}$	${\mathfrak {psu}}(2,2\|4)$	(4,2)	${\mathfrak {su}}(4)$
${\mathfrak {su}}(4\|{\mathcal {N}})$	(6,0)	${\mathfrak {su}}({\mathcal {N}})\oplus \mathbb {R}$	${\mathfrak {psu}}(4\|4)$	(6,0)	${\mathfrak {su}}(4)$
${\mathfrak {su}}(2\|{\mathcal {N}})$	(3,0)	${\mathfrak {su}}({\mathcal {N}})\oplus \mathbb {R}$	${\mathfrak {psu}}(2\|2)$	(3,0)	${\mathfrak {su}}(2)$
${\mathfrak {su}}(1,1\|{\mathcal {N}})$	(2,1)	${\mathfrak {su}}({\mathcal {N}})\oplus \mathbb {R}$	${\mathfrak {psu}}(1,1\|2)$	(2,1)	${\mathfrak {su}}(2)$
${\mathfrak {osp}}({\mathcal {N}}\|4;\mathbb {R} )$	(3,2)	${\mathfrak {o}}({\mathcal {N}})$
${\mathfrak {osp}}({\mathcal {N}}\|2;\mathbb {R} )$	(2,1)	${\mathfrak {o}}({\mathcal {N}})$
${\mathfrak {osp}}(4\|2,\alpha )$	(2,1)	${\mathfrak {o}}(4)$
${\mathfrak {f}}(4)$	(2,1)	${\mathfrak {o}}(7)$
${\mathfrak {f}}(4)$	(3,0)	${\mathfrak {o}}(7)$
${\mathfrak {f}}(4)$	$(7-p,p)$	${\mathfrak {su}}(2)$
${\mathfrak {g}}(3)$	(2,1)	${\mathfrak {g}}_{2}$

이들은 초등각 장론 또는 이에 대응하는 반 더 시터르 공간이나 더 시터르 공간 위의 초대칭 이론에서 사용된다.^[3]

각주

↑ Labastida, Jose; Mariño, Marcos. 《Topological quantum field theories and four manifolds》. Mathematical Physics Studies (영어) 25. Springer. doi:10.1007/1-4020-3177-7. ISBN 978-1-4020-3058-1. ISSN 0921-3767.
↑ “보관된 사본” (PDF). 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 5월 15일에 확인함.
↑ Berkovits, N.; Bershadsky, M.; Hauer, T.; Zhukov, S.; Zwiebach, B. (2000). “Superstring theory on AdS₂ × S² as a coset supermanifold”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 567: 61–86. arXiv:hep-th/9907200.