대수기하학에서 표준 선다발(標準線다발, 영어: canonical line bundle) 또는 표준 선속(標準線束)은 켈러 미분의 층의 최고차 외부 거듭제곱이다.

대수적으로 닫힌 체 위의 ${\displaystyle n}$차원 비특이 대수다양체 ${\displaystyle X}$의 표준 선다발 ${\displaystyle \omega _{X}}$은 다음과 같은 가역층이다.^{[1]:180–181}

${\displaystyle \omega _{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/k}}$

여기서 ${\displaystyle \Omega _{X/k}}$는 켈러 미분층이다. 표준 선다발에 대응하는 인자류를 표준류(標準類, 영어: canonical class)라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 표준 인자(標準因子, 영어: canonical divisor) ${\displaystyle K_{X}}$라고 한다.

만약 ${\displaystyle X}$가 특이점을 가지지만 정규 대수다양체인 경우, 매끄러운 궤적(영어: smooth locus) ${\displaystyle U\subset X}$가 존재한다. 이 경우, ${\displaystyle X}$의 표준 인자는 ${\displaystyle U}$의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, ${\displaystyle X}$가 S₂ 조건(여차원 2까지 코언-매콜리 조건이 성립)을 만족시키며 고런스틴 스킴이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다.

표준 선다발의 역을 반표준 선다발(反標準線다발, 영어: anticanonical line bundle) ${\displaystyle \omega _{X}^{-1}}$이라고 한다. 반표준류(反標準類, 영어: anticanonical class) 및 반표준 인자(反標準因子, 영어: anticanonical divisor)는 이에 대응하는 인자(류)이다.

첨가 공식(添加公式, 영어: adjunction formula)은 어떤 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내는 공식이다.

비특이 대수다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 인자 ${\displaystyle D}$에 대하여, 다음과 같은 첨가 공식이 성립한다.

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$

즉, 선다발로는 다음과 같다. ${\displaystyle D}$로 정의되는 부분다양체를 ${\displaystyle Y}$, 매장 사상을 ${\displaystyle \iota \colon Y\hookrightarrow X}$라고 하면, 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{Y}=\iota ^{*}({\mathcal {K}}_{X}\otimes {\mathcal {O}}(D))}$

여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 ${\displaystyle X}$의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 ${\displaystyle \iota \colon Y\hookrightarrow X}$가 주어졌고, 이에 대응하는 아이디얼 층이 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$라고 하자. 이 경우, ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$는 ${\displaystyle Y}$의 자리스키 쌍대법다발이다. 이 경우, 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.^[1]:182

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \iota ^{*}T^{*}X\to T^{*}Y\to 0}$

여기서 ${\displaystyle T^{*}}$는 공변접다발이다. 완전열의 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.^{[2]:146–147[1]:182, Proposition II.8.20}

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{Y}=\iota ^{*}{\mathcal {K}}_{X}\otimes \left(\det({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})\right)^{\vee }}$

여기서 ${\displaystyle (-)^{\vee }}$는 쌍대 다발을 뜻한다.

복소수체 위의 ${\displaystyle n}$차원 비특이 대수다양체의 경우, 표준 선다발은 행렬식 다발(영어: determinant bundle)이라고 하며, ${\displaystyle n}$차 정칙 미분 형식들의 선다발이다. (단일 연결) 칼라비-야우 다양체의 경우, 표준 선다발은 자명하다. 파노 다양체의 경우, 반표준 선다발은 풍부한 선다발이다.

리만 곡면(=1차원 복소수 비특이 대수다양체) ${\displaystyle C}$ 위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발 ${\displaystyle \Omega _{C}}$와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.

${\displaystyle \deg \omega _{C}=2g-2=-\chi (C)}$

특히, ${\displaystyle g\geq 2}$인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우, ${\displaystyle \omega _{C}}$의 ${\displaystyle g}$개의 단면들은 유리 사상 ${\displaystyle C\to \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{g-1}}$을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 표준 곡선(영어: canonical curve)이라고 한다.

만약 ${\displaystyle C}$가 초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 유리 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다. 예를 들어, ${\displaystyle C}$의 종수가 2이며, ${\displaystyle C}$가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.

${\displaystyle y^{2}=P(x)}$

여기서 ${\displaystyle P}$는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {P(x)}}}\,dx,\;{\frac {x}{\sqrt {P(x)}}}\,dx}$

이에 따라서, 표준 곡선은

${\displaystyle (x,y)\mapsto x\in \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$

임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다.

만약 ${\displaystyle C}$가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우, ${\displaystyle C}$의 표준 곡선은 ${\displaystyle C}$와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다.

• 종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
• 종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다.
• 종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}$에 대하여, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.^{[1]:176, Theorem II.8.13} 이를 오일러 완전열이라고 한다.

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {P} _{K}^{n}}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(0)\to 0}$

모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.^{[1]:182, Example II.8.20.1}

${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} _{K}^{n}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-n-1)}$

${\displaystyle n}$차원 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ 속에서, 동차다항식들 ${\displaystyle P_{i}}$으로 정의되는 초곡면 ${\displaystyle Y_{i}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$들의 완전 교차(영어: complete intersection)

${\displaystyle Y=\bigcap _{i=1}^{\operatorname {codim} Y}Y_{i}}$

를 생각하자. 이 경우,

${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} ^{n}}={\mathcal {O}}(-n-1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(Y_{i})=\deg P_{i}}$

이므로, 첨가 공식에 따라서 ${\displaystyle Y}$의 표준 선다발은 다음과 같다.

${\displaystyle \omega _{Y}={\mathcal {O}}\left(\sum _{i}\deg P_{i}-n-1\right)}$

만약

${\displaystyle \sum _{i}\deg P_{i}=n+1}$

이라면 표준 선다발은 자명하며, 이 경우 (비특이 대수다양체라면) ${\displaystyle Y}$는 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

특히, 사영 평면 속의 ${\displaystyle d}$차 대수 곡선 ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}}$의 표준 선다발은 다음과 같다.^{[1]:361, Example V.1.5.1; 183, Example II.8.20.3}

${\displaystyle \omega _{C}={\mathcal {O}}(d-3)}$

${\displaystyle d}$차 평면 대수 곡선의 경우

${\displaystyle \deg {\mathcal {O}}(1)=d}$

이므로,

${\displaystyle \deg \omega _{C}=d(d-3)}$

이다. 리만-로흐 정리에 따라서

${\displaystyle \deg \omega _{C}=2g-2=-\chi (\Sigma )}$

이므로, 다음과 같은 종수-차수 공식(種數次數公式, 영어: genus–degree formula)을 얻는다.

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)}$

첨가 공식을 사용하여 이차 곡면 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ 속의 곡선의 종수를 계산할 수 있다.^{[1]:362, Example V.1.5.2} 곡선 ${\displaystyle C}$의 차수가 ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$라고 하자. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$의 표준 선다발의 차수는 ${\displaystyle (-2,-2)}$이다. 즉, ${\displaystyle C}$의 차수는 ${\displaystyle (d_{1}-2,d_{2}-2)}$와 ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$의 교차곱이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.^{[1]:361, Example V.1.4.3}

${\displaystyle (a,b).(c,d)=ad+bc}$

따라서, 다음이 성립한다.

${\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}-2)+d_{2}(d_{1}-2)}$

즉,

${\displaystyle g=d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1}$

이다.

• 리만-로흐 정리
• 복소수 미분 형식
• 인자 (대수기하학)

• “Canonical class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Canonical curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Canonical imbedding”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Adjunction theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Noether-Enriques theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Canonical bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Canonical bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “The canonical line bundle of a normal variety” (영어). Math Overflow.