수학 에서 편미분 방정식 (偏微分方程式, 영어 : partial differential equation , 약자 PDE)은 여러 개의 독립 변수 로 구성된 함수 와 그 함수의 편미분 으로 연관된 방정식 이다. 각각의 변수들의 상관관계를 고려하지 않고 변화량을 보고 싶을 때 이용할 수 있으며, 상미분방정식 에 비해 응용범위가 훨씬 크다. 소리 나 열 의 전파 과정, 전자기학 , 유체역학 , 양자역학 등 수많은 역학 계에 관련된 예가 많다.
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
매끄러운 다양체 라고 하자. 편미분 방정식 은 다음과 같은 꼴의 미분 방정식 이다.
F
(
x
,
u
,
∇ ∇ -->
i
u
,
∇ ∇ -->
i
∇ ∇ -->
j
u
,
… … -->
,
∇ ∇ -->
i
1
⋯ ⋯ -->
∇ ∇ -->
i
k
u
)
=
0
{\displaystyle F(x,u,\nabla _{i}u,\nabla _{i}\nabla _{j}u,\dots ,\nabla _{i_{1}}\cdots \nabla _{i_{k}}u)=0}
x
∈ ∈ -->
M
,
u
: : -->
M
→ → -->
N
{\displaystyle x\in M,\;u\colon M\to N}
여기서 미분 연산자의 최고 계수
k
{\displaystyle k}
계수 (영어 : order )라고 하며, 이러한 꼴의 편미분 방정식을
k
{\displaystyle k}
N
{\displaystyle N}
연립 편미분 방정식 이라고 하며, 만약
N
{\displaystyle N}
비연립 편미분 방정식 이라고 한다.
1계 편미분 방정식은 대체로 특성곡선법 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
F
(
x
,
u
,
∂ ∂ -->
u
/
∂ ∂ -->
x
)
=
0
(
x
∈ ∈ -->
M
,
u
(
x
)
∈ ∈ -->
R
)
{\displaystyle F(x,u,\partial u/\partial x)=0\qquad (x\in M,\;u(x)\in \mathbb {R} )}
여기서
u
x
i
=
∂ ∂ -->
u
/
∂ ∂ -->
x
i
{\displaystyle u_{x_{i}}=\partial u/\partial x_{i}}
u
(
s
)
=
u
(
x
i
(
s
)
)
{\displaystyle u(s)=u(x^{i}(s))}
상미분 방정식 을 만족시킨다.
x
˙ ˙ -->
i
∂ ∂ -->
F
/
∂ ∂ -->
(
∂ ∂ -->
u
/
∂ ∂ -->
x
i
)
=
− − -->
1
∂ ∂ -->
F
/
∂ ∂ -->
x
i
+
(
∂ ∂ -->
u
/
∂ ∂ -->
x
i
)
∂ ∂ -->
F
/
∂ ∂ -->
u
p
˙ ˙ -->
i
=
u
˙ ˙ -->
∑ ∑ -->
i
p
i
(
∂ ∂ -->
F
/
∂ ∂ -->
p
i
)
{\displaystyle {\frac {{\dot {x}}_{i}}{\partial F/\partial (\partial u/\partial x_{i})}}=-{\frac {1}{\partial F/\partial x_{i}+(\partial u/\partial x^{i})\partial F/\partial u}}{\dot {p}}^{i}={\frac {\dot {u}}{\sum _{i}p_{i}(\partial F/\partial p_{i})}}}
따라서, 이 상미분 방정식을 풀어서 편미분 방정식의 해들을 찾을 수 있다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
Q
(
∇ ∇ -->
i
∇ ∇ -->
j
u
,
x
)
+
F
(
∇ ∇ -->
i
u
,
u
,
x
)
=
0
(
x
∈ ∈ -->
M
,
u
(
x
)
∈ ∈ -->
R
)
{\displaystyle Q(\nabla _{i}\nabla _{j}u,x)+F(\nabla _{i}u,u,x)=0\qquad (x\in M,\;u(x)\in \mathbb {R} )}
따라서,
Q
: : -->
M
→ → -->
Sym
2
-->
T
M
{\displaystyle Q\colon M\to \operatorname {Sym} ^{2}TM}
M
{\displaystyle M}
이차 형식 을 정의한다. 이는 실베스터 관성법칙 에 따라 이차 형식의 고윳값 들의 부호에 따라서 분류할 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 점
x
∈ ∈ -->
M
{\displaystyle x\in M}
만약
Q
x
{\displaystyle Q_{x}}
타원형 편미분 방정식 (영어 : elliptic partial differential equation )이라고 한다.
라플라스 방정식
u
y
y
+
u
x
x
=
0
{\displaystyle u_{yy}+u_{xx}=0}
만약
Q
x
{\displaystyle Q_{x}}
포물형 편미분 방정식 (영어 : parabolic partial differential equation )이라고 한다.
열 방정식
u
t
− − -->
u
x
x
=
0
{\displaystyle u_{t}-u_{xx}=0}
만약
Q
x
{\displaystyle Q_{x}}
쌍곡형 편미분 방정식 (영어 : hyperbolic partial differential equation )이라고 한다.
파동 방정식
u
t
t
− − -->
u
x
x
=
0
{\displaystyle u_{tt}-u_{xx}=0}
타원형·포물형·쌍곡형 방정식들은 각각 현저히 다른 현상을 보인다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
u
: : -->
M
→ → -->
V
{\displaystyle u\colon M\to V}
선형 편미분 방정식 은 다음과 같은 꼴이다.
c
0
(
x
)
u
(
x
)
+
c
1
i
(
x
)
∇ ∇ -->
i
u
(
x
)
+
c
2
i
j
(
x
)
∇ ∇ -->
i
∇ ∇ -->
j
u
(
x
)
+
⋯ ⋯ -->
+
c
k
i
1
⋯ ⋯ -->
i
k
(
x
)
∇ ∇ -->
i
1
⋯ ⋯ -->
∇ ∇ -->
i
k
u
(
x
)
=
0
{\displaystyle c_{0}(x)u(x)+c_{1}^{i}(x)\nabla _{i}u(x)+c_{2}^{ij}(x)\nabla _{i}\nabla _{j}u(x)+\cdots +c_{k}^{i_{1}\cdots i_{k}}(x)\nabla _{i_{1}}\cdots \nabla _{i_{k}}u(x)=0}
이는
M
{\displaystyle M}
V
{\displaystyle V}
C
∞ ∞ -->
(
M
,
V
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,V)}
선형작용소 의 고윳값 방정식이다. 즉, 이 경우 해
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
T
=
c
0
(
x
)
+
c
1
i
(
x
)
∇ ∇ -->
i
+
⋯ ⋯ -->
+
c
k
i
1
⋯ ⋯ -->
i
k
(
x
)
∇ ∇ -->
i
1
⋯ ⋯ -->
∇ ∇ -->
i
k
{\displaystyle T=c_{0}(x)+c_{1}^{i}(x)\nabla _{i}+\cdots +c_{k}^{i_{1}\cdots i_{k}}(x)\nabla _{i_{1}}\cdots \nabla _{i_{k}}}
에 대하여 고윳값이 0인 고유벡터를 이룬다. 이 경우, 함수해석학 과 작용소 이론 을 적용할 수 있다.
