가환대수학과 대수기하학에서 크룰 차원(Krull次元, 영어: Krull dimension)은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 기약 집합(영어: irreducible set)은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다.^[1]:3 (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.) ${\displaystyle X}$의 크룰 차원은 ${\displaystyle X}$의 기약 집합들의 사슬

${\displaystyle I_{0}\subsetneq I_{1}\subsetneq \cdots I_{n-1}\subsetneq I_{n}}$

의 길이들의 상한 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{+\infty ,-\infty \}}$이다.^[1]:5 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은 ${\displaystyle -\infty }$이다.

보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환의 스펙트럼의 크룰 차원은 ${\displaystyle -\infty }$이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \dim X=\sup _{i\in I}\dim U_{i}}$

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 가군 ${\displaystyle M}$의 크룰 차원은 다음과 같다.^[2]:226

${\displaystyle \dim _{R}M=\dim \operatorname {Spec} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M)}$은 ${\displaystyle M}$의 소멸자이며, ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$은 환의 스펙트럼이다. 대수기하학적으로, 이는 ${\displaystyle M}$을 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ 위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다.

가환환 ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$의 높이(영어: height) ${\displaystyle \operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}}$는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 ${\displaystyle n}$이다.

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}}$

이는 국소화 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$의 크룰 차원과 같다.

${\displaystyle \dim R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}}$

가환환 ${\displaystyle R}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$의 높이(영어: height) ${\displaystyle \operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}}$는 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다.

${\displaystyle \operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}=\inf _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}}$

(초른 보조정리에 따라, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)

대수기하학적으로, 이는 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spec} R}$의 여차원과 같다.

${\displaystyle \operatorname {codim} _{R}(R/{\mathfrak {a}})=\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle R}$가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 ${\displaystyle R}$의 소 아이디얼들 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$가 다음과 같은 진부분집합의 사슬

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$

을 이룰 때, 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$을 집합 ${\displaystyle H(R)\subset \mathbb {N} }$의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 ${\displaystyle R}$의 크룰 차원은 ${\displaystyle H(R)}$의 상한이다.^[1]:6 즉,

${\displaystyle \dim R=\sup H(R)\in \mathbb {N} \sqcup \{\infty \}}$ 자명환의 경우, 크룰 차원은 ${\displaystyle -\infty }$이다.

그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다.

• ${\displaystyle R}$의 환으로서의 크룰 차원
• 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$의 크룰 차원
• ${\displaystyle R}$를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, ${\displaystyle R}$의 가군 크룰 차원

가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 체이다.
• 크룰 차원이 0인 정역이다.

가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[2]:227, Corollary 9.1[3]:90, Theorem 8.5}

• 아르틴 환이다.
• 크룰 차원이 0인 뇌터 환이다.

일반적인 가환환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]\leq 2\dim R+1}$

만약 ${\displaystyle R}$가 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.^{[2]:Corollary 10.13}

${\displaystyle \dim R[x]=1+\dim R}$

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$에 대한 아핀 대수다양체 ${\displaystyle V=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}$ (${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$는 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^{[3]:124–125}

• ${\displaystyle V}$의 크룰 차원이 ${\displaystyle d}$이다.
• ${\displaystyle V}$의 임의의 비특이점에서의 뇌터 국소환의 크룰 차원이 ${\displaystyle d}$이다.
• ${\displaystyle V}$의 유리 함수체 ${\displaystyle \Gamma (V,{\mathcal {K}}_{V})=\operatorname {Frac} (K[x_{1},\dots ,x_{n}/{\mathfrak {p}})}$의 ${\displaystyle K}$에 대한 초월 차수가 ${\displaystyle d}$이다.
• ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}$의 힐베르트 다항식이 ${\displaystyle d}$차 다항식이다.

대수적으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$에 대한 사영 대수다양체 ${\displaystyle V=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}$ (${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle V}$의 크룰 차원이 ${\displaystyle d}$이다.
• ${\displaystyle V}$의 임의의 비특이점에서의 국소환의 크룰 차원이 ${\displaystyle d}$이다.
• ${\displaystyle K[x_{0},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}}$의 ${\displaystyle K}$에 대한 초월 차수가 ${\displaystyle d+1}$이다.

뇌터 국소환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.^[3]:119 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다.

• ${\displaystyle R}$의 크룰 차원 ${\displaystyle \dim R}$
• ${\displaystyle R}$에서, ${\displaystyle R/(r_{1},r_{2},\dots ,r_{\delta })}$가 자명환이 아닌 아르틴 환이 되는 아이디얼 ${\displaystyle (r_{1},\dots ,r_{\delta })}$의 생성원들의 최소 크기 ${\displaystyle \delta }$
• ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$가 임의의 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-으뜸 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 형식적 멱급수
  ${\displaystyle P(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\ell ({\mathfrak {q}}^{n}/{\mathfrak {q}}^{n+1}))t^{n}\in \mathbb {Z} [[t]]}$
  를 정의할 수 있다 (${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{0}=R}$, ${\displaystyle \ell }$은 가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, ${\displaystyle P(t)\in \mathbb {Z} (t)}$의 ${\displaystyle t=1}$에서의 극점의 차수를 ${\displaystyle d}$라고 하자. 이 값은 ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$의 선택에 관계없다.

이렇게 정의하면, 항상

${\displaystyle \dim R=\delta =d<\infty }$

이다.

정칙 국소환 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.^{[3]:123, Theorem 11.22}

• 뇌터 국소환으로서의 차원 ${\displaystyle \dim R}$ (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.)
• ${\displaystyle \dim _{R/{\mathfrak {m}}}({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})}$. 여기서 ${\displaystyle \dim _{R/{\mathfrak {m}}}}$은 체 ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ 위의 벡터 공간의 차원이다.
• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$의 최소 생성 집합의 크기
• ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong (R/{\mathfrak {m}})[x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}]}$일 때, ${\displaystyle d}$. 여기서 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{0}=R}$이다.

크룰 차원이 ${\displaystyle -\infty }$인 유일한 가환환은 자명환이다.

체의 소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 체는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.

${\displaystyle k}$가 체라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle k[x]}$는 주 아이디얼 정역이므로 ${\displaystyle \dim k[x]=1}$이다. 보다 일반적으로, ${\displaystyle \dim k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]=n}$이다.^[1]:6

자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 가환환 ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$의 크룰 차원은 다음과 같다.

${\displaystyle \dim \mathbb {Z} /(n)={\begin{cases}1&n=0\\-\infty &n=1\\0&n\neq 0,1\end{cases}}}$

위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간의 경우, 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다.

시에르핀스키 공간 ${\displaystyle X=\{0,1\}}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{\varnothing ,\{1\},X\}}$의 기약 집합은 ${\displaystyle \{0\}}$ 및 ${\displaystyle \{0,1\}}$이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{K}(V)=(0)}$이며, ${\displaystyle \operatorname {Spec} (K/(0))=\operatorname {Spec} K}$는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.

체 ${\displaystyle K}$에 대하여, 무한 개의 변수의 다항식환

${\displaystyle R=K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]}$

를 생각하자. 임의의 증가 정수열

${\displaystyle 0=n_{1}<n_{2}<n_{3}<n_{4}<\cdots }$

가 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}=(x_{n_{i-1}+1},x_{n_{i-1}+2},\dots ,x_{n})\qquad (i=1,2,3,\dots )}$

을 생각하자. 그렇다면 ${\displaystyle R}$를

${\displaystyle S=K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }{\mathfrak {p}}_{i}}$

에 국소화하면, ${\displaystyle S^{-1}R}$는 뇌터 환이며, 그 크룰 차원은

${\displaystyle \dim S^{-1}R=\sup\{n_{i}-n_{i-1}\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}}$

이다. 만약 ${\displaystyle \sup\{n_{i}-n_{i-1}\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}=\infty }$라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.^{[4]:Appendix, Example E1[2]:229, Exercise 9.6}

볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.^[5]

• 호몰로지 차원
• 기약 공간
• 크룰 높이 정리

• “Dimension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Krull dimension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.