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크기가 31 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다. 특정한 유한군이 아래에서 어떤 군과 동형인지 알고 싶으면, 먼저 그 크기를 계산한 뒤, 아래에서 그 크기의 군들과 군론적 성질들이 일치하는지를 하나씩 비교해보면 된다.

용어 및 표기법

Z_n: 크기가 $n$ 인 순환군. C_n이나 Z/nZ로 표기하기도 한다.
Dih_n: 크기가 $2n$ 인 정이면체군. D_n이나 D_2n으로 표기하기도 한다.
S_n: 크기가 $n!$ 인 대칭군.
A_n: 크기가 $n!/2$ 인 교대군.
Dic_n: 크기가 4n의 쌍순환군.

G × H는 군 G와 H의 직접곱을 나타낸다. Gⁿ은 G를 자기 자신과 n번 직접곱한 것이다. (예를 들어, G² = G × G.) H가 G에 작용할 때 $G\rtimes H$ 는 반직접곱을 나타낸다. (자명한 방법을 제외하고) 어떤 식으로 작용하든 반직접곱을 계산하면 같은 동형류에 속하는 경우에는 구체적인 작용 방법을 생략한다.

두 군이 서로 동형이라는 것은 등호(=)로 나타낸다. 마디 그래프에서 단위원은 검은색 원으로 나타낸다. 위수 16부터는 하나의 마디 그래프가 서로 동형이 아닌 여러 군에 대응되지 않는 경우가 발생한다. 부분군의 목록에서 자명군은 생략하며, 서로 동형인 부분군을 여러 개 포함한 경우에는 그 개수를 괄호 안에 표시한다.

아벨 군

유한 아벨 군은 전부 순환군의 직합이므로 간단히 분류할 수 있다. 크기가 31 이하인 아벨 군들의 목록은 다음과 같다.

크기	군	부분군	성질
1	자명군 = Z₁ = S₁ = A₂	-	여러 가지 성질들이 자명하게 성립
2	Z₂ = S₂ = Dih₁	-	단순군
3	Z₃ = A₃	-	단순군
4	Z₄	Z₂
4	클라인 4원군 = Z₂ ² = Dih₂	Z₂ (3)	가장 작은 비순환군
5	Z₅	-	단순군
6	Z₆ = Z₃ × Z₂	Z₃ , Z₂
7	Z₇	-	단순군
8	Z₈	Z₄ , Z₂
	Z₄ ×Z₂	Z₂², Z₄ (2), Z₂ (3)
	Z₂³	Z₂² (7) , Z₂ (7)	항등원이 아닌 원소들은 파노 평면의 점들에 대응되며, Z₂ × Z₂ 부분군들은 직선에 대응
9	Z₉	Z₃
9	Z₃²	Z₃ (4)
10	Z₁₀ = Z₅ × Z₂	Z₅ , Z₂
11	Z₁₁	-	단순군
12	Z₁₂ = Z₄ × Z₃	Z₆ , Z₄ , Z₃ , Z₂
12	Z₆ × Z₂ = Z₃ × Z₂²	Z₆ (2), Z₃, Z₂ (3)
13	Z₁₃	-	단순군
14	Z₁₄ = Z₇ × Z₂	Z₇ , Z₂
15	Z₁₅ = Z₅ × Z₃	Z₅ , Z₃
16	Z₁₆	Z₈ , Z₄ , Z₂
	Z₂⁴	Z₂ (15) , Z₂² (35) , Z₂³ (15)
	Z₄ × Z₂²	Z₂ (7) , Z₄ (4) , Z₂² (7) , Z₂³, Z₄ × Z₂ (6)
	Z₈ × Z₂	Z₂ (3) , Z₄ (2) , Z₂², Z₈ (2) , Z₄ × Z₂
	Z₄²	Z₂ (3), Z₄ (6) , Z₂², Z₄ × Z₂ (3)
17	Z₁₇		순환군, 단순군
18	Z₁₈ = Z₉ × Z₂	Z₉, Z₆, Z₃, Z₂	순환군
18	Z₆ × Z₃ = Z₃² × Z₂	Z₆, Z₃, Z₂
19	Z₁₉		순환군, 단순군
20	Z₂₀ = Z₅ × Z₄	Z₂₀, Z₁₀, Z₅, Z₄, Z₂	순환군
20	Z₁₀ × Z₂ = Z₅ × Z₂²	Z₅, Z₂
21	Z₂₁ = Z₇ × Z₃	Z₇, Z₃	순환군
22	Z₂₂ = Z₁₁ × Z₂	Z₁₁, Z₂	순환군
23	Z₂₃	–	순환군, 단순군
24	Z₂₄ = Z₈ × Z₃	Z₁₂, Z₈, Z₆, Z₄, Z₃, Z₂	순환군
	Z₁₂ × Z₂ = Z₆ × Z₄ = Z₄ × Z₃ × Z₂	Z₁₂, Z₆, Z₄, Z₃, Z₂
	Z₆ × Z₂²	Z₆, Z₃, Z₂
25	Z₂₅	Z₅	순환군
25	Z₅²	Z₅
26	Z₂₆ = Z₁₃ × Z₂	Z₁₃, Z₂	순환군
27	Z₂₇	Z₉, Z₃	순환군
	Z₉×Z₃	Z₉, Z₃
	Z₃³	Z₃
28	Z₂₈ = Z₇ × Z₄	Z₁₄, Z₇, Z₄, Z₂	순환군
28	Z₁₄ × Z₂ = Z₇ × Z₂²	Z₁₄, Z₇, Z₄, Z₂
29	Z₂₉	–	순환군, 단순군
30	Z₃₀ = Z₁₅ × Z₂ = Z₁₀ × Z₃ = Z₆ × Z₅ = Z₅ × Z₃ × Z₂	Z₁₅, Z₁₀, Z₆, Z₅, Z₃, Z₂	순환군
31	Z₃₁	–	순환군, 단순군

비아벨 군

크기가 31 이하인 비아벨 군들의 목록은 다음과 같다.

크기	군	부분군	성질
6	S₃ = Dih₃	Z₃ , Z₂ (3)	가장 작은 비아벨 군
8	Dih₄	Z₄, Z₂² (2) , Z₂ (5)
8	사원수군, Q₈ = Dic₂	Z₄ (3), Z₂	가장 작은 데데킨트 군
10	D₅	Z₅ , Z₂ (5)
12	D₆ = Dih₃ × Z₂	Z₆ , Dih₃ (2) , Z₂² (3) , Z₃ , Z₂ (7)
	A₄	Z₂² , Z₃ (4) , Z₂ (3)	군의 원소 개수의 약수를 위수로 갖는 부분군이 없는 가장 작은 군. 6개의 원소를 가진 부분군이 존재하지 않음.(라그랑주 정리 (군론), 쉴로브 정리 참조)
	Dic₃ = Z₃ ⋊ Z₄	Z₂, Z₃, Z₄ (3), Z₆
14	Dih₇	Z₇, Z₂ (7)
16	Dih₈	Z₈, Dih₄ (2), Z₂² (4), Z₄, Z₂ (9)
	Dih₄ × Z₂	Dih₄ (2), Z₄ × Z₂, Z₂³ (2), Z₂² (7), Z₄ (2), Z₂ (11)
	Q₁₆ = Dic₄
	Q₈ × Z₂		데데킨트 군
	준정이면체군(quasidihedral group)
	크기 16의 이와사와 군
	Z₄ ⋊ Z₄
	파울리 행렬로 생성되는 군
	G_4,4 = Z₂² ⋊ Z₄
18	Dih₉		정이면체군
	S₃×Z₃
	(Z₃ × Z₃)⋊ Z₂
20	Q₂₀ = Dic₅ = <5,2,2>
	Z₅ ⋊ Z₄
	Dih₁₀ = Dih₅ × Z₂
21	Z₇ ⋊ Z₃		홀수 크기의 가장 작은 비아벨군
22	Dih₁₁
24	Z₃ ⋊ Z₈
	SL(2,3) = Q₈ ⋊ Z₃
	Q₂₄ = Dic₆ = <6,2,2> = Z₃ ⋊ Q₈
	Z₄ × S₃
	Dih₁₂
	Dic₃ × Z₂ = Z₂ × (Z₃ × Z₄)
	(Z₆ × Z₂)⋊ Z₂ = Z₃ ⋊ Dih₄
	Dih₄ × Z₃		멱영군
	Q₈ × Z₃		멱영군
	S₄		쉴로브 부분군인 정규 부분군이 없음
	A₄ × Z₂
	D₁₂× Z₂
26	Dih₁₃
27	Z₃² ⋊ Z₃		멱영군. 항등원이 아닌 모든 원소의 차수가 3
27	Z₉ ⋊ Z₃		멱영군
28	Dic₇ = Z₇ ⋊ Z₄
28	Dih₁₄
30	Z₅ × S₃
	Dih₁₅
	Z₃ × Dih₅

같이 보기

참고 문헌

Wild, Marcel (2005년 1월). “The groups of order sixteen made easy” (PDF). 《American Mathematical Monthly》 (영어) 112 (1): 20–31. JSTOR 30037381. Zbl 1119.20300. 2006년 9월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2006년 9월 23일에 확인함.
Hall, Marshall, Jr.; James K. Senior (1964). 《The groups of order 2ⁿ (n ≤ 6)》 (영어). Macmillan. LCCN 64016861. MR 168631. Zbl 0192.11701.