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기하학에서 오일러 벽돌(영어: Euler brick) 또는 오일러 직육면체(영어: Euler cuboid)는 모서리와 면대각선의 길이가 모두 자연수인 직육면체이다. 원시 오일러 벽돌(영어: primitive Euler brick)란 모서리의 길이가 서로소인 오일러 벽돌이다. 완벽한 오일러 벽돌(영어: perfect Euler brick)은 입체대각선의 길이가 자연수인 오일러 벽돌이며, 아직 발견되지 않았다.

정의

오일러 벽돌의 각 선분의 길이는 다음의 디오판토스 방정식을 푸는 것과 같다.

${\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}$

$a$ , $b$ , $c$ 는 모서리의 길이이고 $d$ , $e$ , $f$ 는 면대각선의 길이이다.

성질

$(a,b,c)$ 가 오일러 벽돌의 모서리의 길이라면 임의의 $k$ 에 대해 $(ka,kb,kc)$ 도 오일러 벽돌의 모서리의 해가 된다. 따라서 오일러 벽돌의 유리수해는 정수해로 바꿀 수 있다. 또 $(a,b,c)$ 가 오일러 벽돌의 모서리의 길이라면 $(ab,bc,ca)$ 도 오일러 벽돌의 모서리의 해가 된다.^[1]^:106쪽
오일러 벽돌의 적어도 두 모서리는 3의 배수이다.^[1]^:106쪽
오일러 벽돌의 적어도 두 모서리는 4의 배수이다.^[1]^:106쪽
오일러 벽돌의 적어도 한 모서리는 11의 배수이다.^[1]^:106쪽

오일러 벽돌의 예시

가장 작은 오일러 벽돌은 1719년에 Paul Halcke가 발견하였으며, 모서리의 길이는 $(a,b,c)=(44,117,240)$ 이고 면대각선의 길이는 $(d,e,f)=(125,244,267)$ 이다.^[2] 아래는 오일러 벽돌의 다른 예시로, 왼쪽 괄호는 모서리, 오른쪽 괄호는 면대각선의 순서쌍이다.

(	85,	132,	720	) — (	157,	725,	732	)
(	140,	480,	693	) — (	500,	707,	843	)
(	160,	231,	792	) — (	281,	808,	825	)
(	187,	1020,	1584	) — (	1037,	1595,	1884	)
(	195,	748,	6336	) — (	773,	6339,	6380	)
(	240,	252,	275	) — (	348,	365,	373	)
(	429,	880,	2340	) — (	979,	2379,	2500	)
(	495,	4888,	8160	) — (	4913,	8175,	9512	)
(	528,	5796,	6325	) — (	5820,	6347,	8579	)

완벽한 오일러 벽돌

완벽한 오일러 벽돌(영어: perfect Euler brick) 또는 완벽한 직육면체(영어: perfect cuboid)는 입체대각선의 길이가 자연수인 오일러 벽돌이다. 이는 기존의 오일러 벽돌의 디오판토스 방정식에 다음의 식을 추가하는 것과 같다. $g$ 는 입체대각선의 길이이다.

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}$

2020년 10월 기준으로, 완벽한 오일러 벽돌의 예시 또는 오일러 벽돌이 존재하지 않는다는 증명은 나오지 않았다.^[3]

컴퓨터 계산 결과, 완벽한 오일러 벽돌이 존재한다면 다음의 조건을 만족해야 한다.

홀수인 모서리의 길이가 2.5×10¹³보다 크다.^[3]
가장 작은 모서리의 길이가 5×10¹¹보다 크다.^[3]

또한 합동 산술에 의해 모서리의 길이가 서로소인 완벽한 오일러 벽돌은 다음의 조건을 만족해야 한다.^[4]

한 모서리와 두 면대각선, 입체대각선은 홀수이고, 다른 한 모서리와 다른 한 면대각선은 4의 배수이며, 나머지 한 모서리는 16의 배수이다.
두 모서리는 3의 배수이고, 이중 적어도 한 모서리는 9의 배수이다.
한 모서리는 5의 배수이다.
한 모서리는 7의 배수이다.
한 모서리는 11의 배수이다.
한 모서리는 19의 배수이다.
한 모서리 또는 입체대각선은 13의 배수이다.
한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 17의 배수이다.
한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 29의 배수이다.
한 모서리나 한 면대각선 또는 입체대각선은 37의 배수이다.
입체대각선은 소수의 거듭제곱이나 반소수가 아니다.^[5]^:566쪽
입체대각선은 4로 나눈 나머지가 1인 소인수만을 포함한다.^[5]^:566쪽^[6]

완벽한 평행육면체

완벽한 평행육면체(영어: perfect parallelepiped)는 모든 모서리와 면대각선, 입체대각선의 길이가 정수인 평행육면체이다. 완벽한 오일러 벽돌은 완벽한 평행육면체의 특수한 경우이다. 2009년에 완벽한 평행육면체의 예시가 발견되었다.^[7] 가장 작은 평행육면체는 모서리는 271, 106, 103; 짧은 면대각선은 101, 266, 255; 긴 면대각선은 183, 312, 323; 입체대각선은 374, 300, 274, 272의 길이를 가진다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Wacław Sierpiński, Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).
↑ Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems By Ian Stewart, Chapter 17
↑ ^가 ^나 ^다 Matson, Robert D. “Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid” (PDF). 《unsolvedproblems.org》. 2020년 2월 24일에 확인함.
↑ M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).
↑ ^가 ^나 I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.
↑ Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000
↑ Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). “Perfect parallelepipeds exist”. 《Mathematics of Computation》 80 (274): 1037–1040. arXiv:0907.0220. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. .

참고 문헌

Leech, John (1977). “The Rational Cuboid Revisited”. 《American Mathematical Monthly》 84 (7): 518–533. doi:10.2307/2320014. JSTOR 2320014.
Shaffer, Sherrill (1987). “Necessary Divisors of Perfect Integer Cuboids”. 《Abstracts of the American Mathematical Society》 8 (6): 440.
Guy, Richard K. (2004). 《Unsolved Problems in Number Theory》. Springer-Verlag. 275–283쪽. ISBN 0-387-20860-7.
Kraitchik, M. (1945). “On certain rational cuboids”. 《Scripta Mathematica》 11: 317–326.
Roberts, Tim (2010). “Some constraints on the existence of a perfect cuboid”. 《Australian Mathematical Society Gazette》 37: 29–31. ISSN 1326-2297.