この項目では、群論について説明しています。その他の「積の法則」については「積の法則」をご覧ください。

数学の群論における積の法則（せきのほうそく、英: product formula, 仏: formule du produit^{[注 1]}; 積の公式）は、任意に与えられた二つの部分群およびそれらから作られる積（英語版）および交叉という四つの集合^{[注 2]}の位数（集合の濃度）の関係を記述するものである。

H, K は群 G の部分群とし、部分群の積（英語版） HK は hk (h ∈ H, k ∈ K) の形の G の元全体の成す集合を表す。また H, K, H ∩ K の位数をそれぞれ |H|, |K|, |H ∩ K| とするとき、これらと HK の位数 HK との間に、積の法則と呼ばれる関係式 $${\displaystyle {\mathopen {|}}HK{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}H\cap K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}\qquad (\iff {\mathopen {|}}HK{\mathclose {|}}/{\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}/{\mathopen {|}}H\cap K{\mathclose {|}})}$$が成り立つ^[1]。

初等的な数え上げ問題として、羊飼いの補題 (lemme des bergers) に基づく証明を以下のように与えることができる:

H × K の G への作用を、各対 (h,k) は h を左から、k^-1 を右から掛けるものとして定めれば、この作用に関する単位元の軌道に対する 軌道–固定群の関係式あるいはバーンサイドの補題の応用として所期の積の法則を得ることもできる。

任意の g ∈ G に対し、その属する両側剰余類（英語版）を HgK と書く（これはすなわち、hgk (h ∈ H, k ∈ K) の形の元全体の成す集合である）とき、関係式$${\displaystyle {\mathopen {|}}H\cap (gKg^{-1}){\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}HgK{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}HgK{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}(g^{-1}Hg)\cap K{\mathclose {|}}}$$が成立する^{[注 4]}。無限群の場合は、部分群の指数を用いて、より強い形の $${\displaystyle [H:H\cap (gKg^{-1})]\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}HgK{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot [K:(g^{-1}Hg)\cap K]}$$が成り立つ^{[注 5]}。

• Rotman, J. J. (1995), An Introduction to the Theory of Groups (4 ed.), Springer, ISBN 9780387942858 
• Isaacs, I. Martin (2008), Finite group theory, AMS Bookstore, ISBN 9780821843444 

ポータル 数学