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数学では、環付き空間 X のピカール群 (Picard group)は、 X 上の可逆層 （もしくは、直線束 ）の同型 類 Pic(X ) がなす群であり、その演算はテンソル積 から定まる。この構成は、因子類群やイデアル類群 の構成の大域的なバージョンであり、代数幾何学 や複素多様体 の理論でよく使われる。
ピカール群は、層コホモロジー 群
H
1
(
X
,
O
X
∗ ∗ -->
)
{\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}
としても定義することができる。
整スキーム (integral scheme)に対して、ピカール群はカルティエ因子 の類群と同型であることを示すことができる。複素多様体に対し、指数層系列 は、ピカール群の基本的な情報を与える。
エミール・ピカール (Émile Picard) の理論、特に代数曲線 の因子の理論から、ピカールの名前がついている。
体 k の射影空間 P n k ) の可逆層 は、ねじり （英語版 ） 層
O
(
m
)
,
{\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\,}
P n k ) のピカール群は Z に同型である。k 上の 2 つの原点をもつアフィン直線のピカール群は、Z に同型である。
ピカール群（の表現可能函手 (representable functor)のバージョンでの）スキーム構造の構成であるピカールスキーム (Picard scheme) は、代数幾何学、特にアーベル多様体の双対理論 （英語版 ） Grothendieck & 1961/62 で構成されていて、また、Mumford (1966) やKleiman (2005) にも記載がある。ピカール多様体 は、古典的な代数幾何学のアルバネーゼ多様体 の双対である。
古典的な代数幾何学で最も重要な場合は、標数 が 0 の体 の上の非特異 な完備多様体 （英語版 ） V に対し、ピカールスキームの単位元の連結成分 は、Pic0 (V ) と書かれ、アーベル多様体 である。V が曲線である特別な場合は、この成分が V のヤコビ多様体 である。しかしながら、正標数では、井草準一 は被約でない Pic0 (S ) を持つ、従ってアーベル多様体とはならない、滑らかな射影曲面 S の例を構成した。
商
Pic
-->
(
V
)
/
Pic
0
-->
(
V
)
{\displaystyle \operatorname {Pic} (V)/\operatorname {Pic} ^{0}(V)}
有限生成アーベル群 であり、V のネロン・セヴィリ群 V ) と書く。言い換えると、ピカール群は次の完全系列 に適合する。
1
→ → -->
P
i
c
0
(
V
)
→ → -->
P
i
c
(
V
)
→ → -->
N
S
(
V
)
→ → -->
0.
{\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 0.\,}
ランクが有限であるという事実は、フランシス・セヴィリ （英語版 ） 基底定理 (theorem of the base)である。ランクは V のピカール数 (Picard number) であり、しばしば ρ(V ) と書かれる。幾何学的には NS(V ) は、V 上の因子 の代数的同値 （英語版 ） 因子の一次系 （英語版 ） 交叉数 による本質的にトポロジカルな分類である数値的同値 （英語版 ）
f : X → S をスキームの射とする。相対的ピカール函手 (relative Picard functor)（あるいは、スキームであれば相対的ピカールスキーム ）は、任意の S -スキーム T に対し、
Pic
X
/
S
-->
(
T
)
=
Pic
-->
(
X
T
)
/
f
T
∗ ∗ -->
(
Pic
-->
(
T
)
)
{\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))}
により与えられる[ 1]
f
T
:
X
T
→ → -->
T
{\displaystyle f_{T}:X_{T}\to T}
f のベースチェンジであり、fT * はその引き戻しである。
（次数がピカール群 Xs に対して定義されているとき、）すべての幾何学的生成点 s → T に対し、s に沿う L の引き戻し
s
∗ ∗ -->
L
{\displaystyle s^{*}L}
Xs 上の可逆層として、次数 r であれば、
Pic
X
/
S
-->
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)}
L が次数 r であると言う。
「Die Picardgruppe von Ringen 」を参照。
Grothendieck, A. (1961/62), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence , http://www.numdam.org/item?id=SB_1961-1962__7__143_0 Grothendieck, A. (1961/62), VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales , http://www.numdam.org/item?id=SB_1961-1962__7__221_0 Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , OCLC 13348052 Igusa, Jun-Ichi (1955), “On some problems in abstract algebraic geometry”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 41 : 964–967, doi :10.1073/pnas.41.11.964 Kleiman, Steven L. (2005), “The Picard scheme”, Fundamental algebraic geometry , Math. Surveys Monogr., 123 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , pp. 235–321, arXiv :math/0504020 , MR 2223410 Mumford, David (1966), Lectures on Curves on an Algebraic Surface , Annals of Mathematics Studies, 59 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07993-6 , MR 0209285 , OCLC 171541070 Mumford, David (1970), Abelian varieties , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0 , OCLC 138290
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