デカルトの符号法則

デカルトの符号法則とは、実数係数の一変数多項式の根の数の上限を定める法則である。ルネ・デカルトの方法序説の付録 La Géométrie（英語版） において最初に用いられ、後にカール・フリードリヒ・ガウスにより精密化された[1]。あくまで上限であり、正確な根の数を与えるものではないことに注意。

なお、デカルトの符号法則は ブダンの定理（英語版）の特別な場合と見ることができる。

概要

一変数多項式を冪乗の降順に並べたときの係数の符号の変化に着目する（係数が 0 のときはその項を無視する）。たとえば

において、符号は (++) → (+−) → (−−) と変化する。つまり、符号の変化は1回（(+−) の部分）だけ起こる。

以下、根の個数は重根の重複度を含めて数える。

デカルトの符号法則

以下、実数係数の一変数多項式 の実数根のうち であるものを「正の根」、 であるものを「負の根」と呼ぶ。 また、 の係数の符号が変化する回数を とする。

正の根

正の根の数は を上限とする。

ガウスが と実際の根の個数の偶奇が一致することを示したため、より精密な表現として

正の根の数は のいずれかである。

と言える。

なお、ここで n は を実数の範囲で因数分解したときに二次の冪が残る項の数と等しい。

負の根

負の根の数は のいずれかである。

でなく であることに注意。

例

  • 例1
を考える。実際の根は x = 1, −1（二重根）である。
符号の変化は (++) → (+−) → (−−) で1回であるから、正の根は正確に1つである。
負の根の数を調べるため、 を考える。
符号の変化は (−+) → (++) → (+−) で2回であるから、負の根は2個か0個である。
実際には −1 が重根としてあるから2個となる。
  • 例2
を考える。実際の実数根は x = −1 である。
符号の変化は (++) → (++) → (++) で0回であるから、正の根は存在しない。
負の根の数を調べるため、 を考える。
符号の変化は (−+) → (+−) → (−+) で3回であるから、負の根は3個か1個である。
実際には −1 の1つとなる。

複素根

代数学の基本定理より、実数係数の n 次一変数多項式 は重複度を含めてちょうど n 個の複素根を有する。一方で0でない実数根の個数は最大で 個である。したがって、 が 0 を実数根としてもたなければ、非実数根の個数の最小値は で与えられる。

例

  • 例1
を考える。実際の根は x = 1, −1, i, −i である。
符号の変化は (+−) で1回であるから、正の根は正確に1つである。
負の根の数を調べるため、 を考える。
符号の変化は (+−) で1回であるから、負の根は正確に1つである。
0 が根でないことは明らかだから、非実数根の個数は最小で 個となる。
今の場合、正負の根の数が正確に分かっているため、非実数根の個数も正確に2つであると結論できる。
  • 例2
を考える。実際の根は である。
符号の変化は (++) → (++) → (++) で0回であるから、正の根は0個である。
負の根の数を調べるため、 を考える。
符号の変化は (−+) → (+−) → (−+) で3回であるから、負の根は3個か1個である。
0 が根でないことは明らかだから、非実数根の個数は最小で 個となる。

特別な場合

根の数の可能性が 2 ずつ増減するのは、実数係数の多項式において複素根が存在したとき、その複素根が常にペアとして現れるためである。したがって多項式が複素根を有さないことが予め分かっていれば、正しい根の数が求められる。

発展

無限級数や多変数多項式への応用が存在する[2]。

脚注

  1. ^ Werke 3: 67. 
  2. ^ D. R. Curtiss (June 1918). “Recent extensions of Descartes' rule of signs”. Annals of Mathematics 19 (4): 251–278. doi:10.2307/1967494. JSTOR 1967494. 

関連項目

外部リンク

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Descartes' rule of signsの本文を含む

スタブアイコン

この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

Read other articles:

Daftar kardinal yang diangkat oleh Inosensius III

Paus Inosensius III. Paus Inosensius III (menjabat 1198-1216) melantik 41 kardinal dalam sepuluh konsistori yang ia adakan sepanjang masa kepausannya. Ini meliputi seorang penerusnya yang ia angkat pada akhir 1198.[1] Desember 1198 Ugolino dei Conti di Segni[a] Gérard O. Cist. Desember 1200 Giovanni Conti di Segni Gregorio Benedetto Leone Brancaleone Can. Reg. Matteo Giovanni dei Conti di Segni Desember 1202 Roger Gualterio Raoul de Neuville 1205 Pietro Sasso Nicola de Romani...

 

Tillinghast Road Historic District

Historic district in Rhode Island, United States United States historic placeTillinghast Road Historic DistrictU.S. National Register of Historic PlacesU.S. Historic district LocationEast Greenwich, Rhode IslandArea160 acres (65 ha)Built1972Architectural styleGreek Revival, Colonial, FederalNRHP reference No.88000167 [1]Added to NRHPMarch 9, 1988 Tillinghast Road Historic District is a historic district encompassing a rural landscape in East Greenwich, Rhode Island...

 

Stefan Ortega

Stefan Ortega Informasi pribadiNama lengkap Stefan Ortega MorenoTanggal lahir 6 November 1992 (umur 31)Tempat lahir Hofgeismar, Jerman[1]Tinggi 186 cm (6 ft 1 in)Posisi bermain Penjaga gawangInformasi klubKlub saat ini Manchester CityNomor 18Karier junior TSV Jahn Calden KSV Baunatal Hessen Kassel2007–2011 Arminia BielefeldKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2011–2014 Arminia Bielefeld 64 (0)2014–2017 1860 Munich 56 (0)2017–2022 Arminia Bielefeld 166 (0)20...

Taman Nasional Wasur

Taman Nasional WasurIUCN Kategori II (Taman Nasional)Wasur NPLocation of Wasur NP in South PapuaLetakPapua Selatan, IndonesiaKota terdekatMeraukeKoordinat8°36′S 140°50′E / 8.600°S 140.833°E / -8.600; 140.833Koordinat: 8°36′S 140°50′E / 8.600°S 140.833°E / -8.600; 140.833Luas4,138 km²Didirikan1990Pihak pengelolaKementerian Lingkungan Hidup dan KehutananSitus webwww.tamannasionalwasur.com Taman Nasional Wasur adalah salah sat...

 

Crain's Chicago Business

Weekly business newspaper in Chicago, Illinois This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article contains content that is written like an advertisement. Please help improve it by removing promotional content and inappropriate external links, and by adding encyclopedic content written from a neutral point of view. (January 2015) (Learn how and when to remove this template messag...

 

Gulat profesional

Halaman ini berisi artikel tentang gulat dalam bentuk hiburan olahraga. Untuk gulat dalam bentuk pertandingan olahraga, lihat Gulat. Gulat pro beralih ke halaman ini. Untuk kegunaan lain, lihat Gulat pro (disambiguasi). Gulat profesionalSebuah pertandingan gulat profesional di Sikeston, Missouri pada Mei 1938, menampilkan dua pegulat bertanding dalam ring sementara wasit (pakaian putih, kanan) memperhatikan pertandinganSeni pendahuluKarnavalGulat tangkapCommedia dell'arteVaudevilleBalai musik...

Достопримечательности Смоленска

Эту статью предлагается удалить.Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/12 января 2021.Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно попытаться улучшить, однако следует воздерживаться от переименований или немот...

 

约翰斯顿环礁

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2021年5月6日)若您熟悉来源语言和主题，请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译，也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议，译文需在编辑摘要注明来源，或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。 约翰斯顿环礁Kalama Atoll 美國本土外小島嶼 Johnston Atoll 旗幟颂歌：《星條旗》The Star-Spangled Banner約翰斯頓環礁�...

 

31e cérémonie des Golden Globes

31e cérémonie des Golden Globes Golden Globes Organisée par la Hollywood Foreign Press Association Détails Date 28 janvier 1974 Lieu Los Angeles États-Unis Résumé Meilleur film dramatique Serpico Meilleur film musical ou de comédie American Graffiti Meilleure série dramatique La Famille des collines Meilleure série musicale ou comique All in the Family Chronologie 30e cérémonie des Golden Globes 32e cérémonie des Golden Globes modifier  La 31e cérémon...

1986–87 Cypriot Third Division

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (October 2016) (Learn how and when to remove this message) Football league seasonCypriot Third DivisionSeason1986–87ChampionsElpida Xylofagou(1st title)PromotedElpida XylofagouEthnikos DefterasRelegatedAPEY YpsonaDynamo PervolionAEK Kythreas← 1985–86 1987–88 → The 1986...

 

Anne Hathaway

Halaman ini berisi artikel tentang aktris. Untuk istri William Shakespeare, lihat Anne Hathaway (istri Shakespeare). Untuk kegunaan lain, lihat Anne Hathaway (disambiguasi). Anne HathawayHathway, 2017LahirAnne Jacqueline Hathaway12 November 1982 (umur 41)Brooklyn, New YorkPekerjaanaktrisTahun aktif1999 - sekarangSuami/istriAdam ShulmanAnak2Tanda tangan Anne Jacqueline Hathaway (lahir 12 November 1982) adalah seorang aktris asal Amerika Serikat. Hathaway memulai debut aktingnya pada ...

 

Saint-Aubin, Aisne

Saint-AubinSaint-Aubin Lokasi di Region Hauts-de-France Saint-Aubin Koordinat: 49°30′31″N 3°11′23″E / 49.5086°N 3.1897°E / 49.5086; 3.1897NegaraPrancisRegionHauts-de-FranceDepartemenAisneArondisemenLaonKantonCoucy-le-Château-AuffriqueAntarkomuneVal de l'AilettePemerintahan • Wali kota (2008–2014) Benoit PhiliponLuas • Land18,36 km2 (323 sq mi) • Populasi2316 • Kepadatan Populasi20,38/km2 (0,9...

قائمة الكواكب غير الشمسية المكتشفة سنة 2010

فيما يلي قائمة الكواكب الخارجية المكتشفة عام 2010. تضم الكواكب الخارجية التي كُشف النقاب عنها بطريقة السرعة الموجّهية فقط، قيمة الكتلة هي في الواقع حدٌ أدنى (لمزيد من المعلومات طالع أدنى كتلة) الاسم الكتلة (MJ) نصف القطر (RJ) دور مداري (بالأيام) نصف المحور الرئيسي (AU) درجة حرارة ا�...

 

Natal Bank Building

Bank building in Johannesburg, South Africa Natal Bank BuildingBank MuseumNatal Bank Building, 90 Market Str Johannesburg.General informationStatusCompletedLocationJohannesburg, South AfricaCompleted1903Technical detailsFloor count3 plus basementDesign and constructionArchitect(s)Carter & McIntosh The Natal Bank Building is situated on Stand 194 (previously 756) at 90 Market Street (now known as Albertina Sisulu Road) in the city of Johannesburg. Natal Bank was the second bank to open a b...

 

Javi Chica

Spanish footballer In this Spanish name, the first or paternal surname is Chica and the second or maternal family name is Torres. Javi Chica Chica (left) in action for Espanyol in 2010Personal informationFull name Francisco Javier Chica TorresDate of birth (1985-05-17) 17 May 1985 (age 39)Place of birth Barcelona, SpainHeight 1.76 m (5 ft 9 in)Position(s) Full-backYouth career Martinenc1996–2004 EspanyolSenior career*Years Team Apps (Gls)2003–2006 Espanyol B 48...

LGBT rights in Iraq

LGBT rights in IraqIraqStatusExplicitly illegal since 2024[1][2][3]previously illegal under morality lawsPenalty15 years imprisonment, fines, and deportationGender identityNoMilitarySame-sex military service banned since 2007Discrimination protectionsNoneFamily rightsRecognition of relationshipsNo recognition of same-sex unionsAdoptionNo Lesbian, gay, bisexual, and transgender (LGBT) people in Iraq face severe challenges not experienced by non-LGBT residents. Openly L...

 

Tyler Perry

American actor and filmmaker (born 1969) For the basketball player, see Tylor Perry. For the rock duo, see Toxic Twins. Tyler PerryPerry being interviewed for Boo! A Madea Halloween in 2016BornEmmitt Perry Jr. (1969-09-13) September 13, 1969 (age 54)New Orleans, Louisiana, U.S.OccupationsActorfilm producerdirectorwriterplaywrightentrepreneurYears active1992–presentPartnerGelila Bekele (2009–2020)Children1Websitetylerperry.com Tyler Perry (born Emmitt Perry Jr.; September 13, 19...

 

Erwood railway station

Former railway station in Wales This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Erwood railway station – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2017) (Learn how and when to remove this message) ErwoodThe former station at ErwoodGeneral informationLocationErwood, PowysWalesCoordinates52°05′10�...

Couderc noir

Variety of grape Couderc noir is a red wine hybrid grape that was formerly grown primarily in the South West France wine region and around the Gard département in the Languedoc-Roussillon region. The vine produces high yields and ripens late, creating a wine that is deeply colored with a distinct, earthy flavor. Couderc noir is normally used for mass commercial and table wines.[1] The grape was planted throughout France following the devastation of the phylloxera epidemic in the late...

 

Genomslående tunga

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2018-12) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. En genomslående tunga, också kallad fritunga och frisvängande tunga, är på vissa blåsinstrument en tonalstrande tunga som vibrerar fritt genom det hål den sitter fästad över, och som den bara nästan täcker. S�...