数学 におけるガウス和 （ガウスわ、英 : Gauss sum ）あるいはガウスの和 とは、ある特別な1の冪根 の有限和である。典型的に
G
(
χ χ -->
)
:=
G
(
χ χ -->
,
ψ ψ -->
)
=
∑ ∑ -->
χ χ -->
(
r
)
⋅ ⋅ -->
ψ ψ -->
(
r
)
{\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)}
で与えられる。ここで和はある有限可換環 R の元 r について取られ、ψ(r ) は加法群 R + から（複素平面の）単位円 への群準同型で、χ(r ) は単数群 R × から単位円への群準同型である。単元でない r については χ(r ) = 0 と拡張する。ガウス和はガンマ関数 の有限体 における類似物である。
このような和は数論において至る所で現れる。例えば、あるディリクレ指標 χ に対して L (s , χ) と L (1 − s , χ ) を関連付ける方程式が
G
(
χ χ -->
)
/
|
G
(
χ χ -->
)
|
{\displaystyle G(\chi )\ /\ |G(\chi )|}
を含むような、ディリクレのL関数 の関数等式に現れる。ただし χ は χ の複素共役である。
カール・フリードリヒ・ガウス によって元々考えられていたケースは、R が奇素数 p を法とする剰余体 Z /p Z で χ がルジャンドル記号 である二次ガウス和 （英語版 ）
∑ ∑ -->
r
(
r
p
)
e
2
π π -->
i
r
/
p
=
{
p
p
≡ ≡ -->
1
(
mod
4
)
i
p
p
≡ ≡ -->
3
(
mod
4
)
{\displaystyle \sum _{r}\left({\frac {r}{p}}\right)e^{2\pi ir/p}={\begin{cases}{\sqrt {p}}&p\equiv 1{\pmod {4}}\\i{\sqrt {p}}&p\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
を証明した[ 1]
このガウス和の別の表現は、次のようなものである：
∑ ∑ -->
r
e
2
π π -->
i
r
2
p
{\displaystyle \sum _{r}e^{\frac {2\pi ir^{2}}{p}}}
二次ガウス和は、テータ関数 の理論と密接に関連している。
ガウス和の一般論は、19世紀の初頭に、ヤコビ和 とそれらの円分体 内での素元分解を利用することによって構築された。N を法とする整数の剰余環上のガウス和は、ガウス周期 （英語版 ）
ガウス和の絶対値は、有限群上のプランシュレルの定理 の応用の場面で通常現れる。R が p 個の元からなる体で、χ が非自明であれば、その絶対値は p 1/2 となる。二次の場合のガウスの結果に続いて、一般のガウス和の厳密な値を決定することは、長く残されている問題となっている。いくつかの特別な場合については、クンマー和 （英語版 ）
N を法とするディリクレ指標 χ のガウス和は、
G
(
χ χ -->
)
=
∑ ∑ -->
a
=
1
N
χ χ -->
(
a
)
e
2
π π -->
i
a
/
N
{\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}}
となる。さらに χ が原始的 (primitive) であるなら、
|
G
(
χ χ -->
)
|
=
N
{\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}}}
となり、特にこの値は非ゼロである。より一般に N 0 が χ の導手 (conductor) であり、χ0 が χ を誘導するような N 0 を法とする原始的ディリクレ指標であるなら、χ のガウス和は χ0 のガウス和と次の式によって関係付けられる。
G
(
χ χ -->
)
=
μ μ -->
(
N
/
N
0
)
χ χ -->
0
(
N
/
N
0
)
G
(
χ χ -->
0
)
{\displaystyle G(\chi )=\mu (N/N_{0})\chi _{0}(N/N_{0})G(\chi _{0})~}
ここで μ はメビウス関数 である。結果として、N /N 0 が平方因子を持たず N 0 と互いに素であるときにちょうど G (χ) は非ゼロとなることが分かる。G (χ) と他の指標のガウス和との関係には、次のものもある。
G
(
χ χ -->
¯ ¯ -->
)
=
χ χ -->
(
− − -->
1
)
G
(
χ χ -->
)
¯ ¯ -->
.
{\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}}.}
ここで χ は複素共役ディリクレ指標である。また χ′ を N と互いに素な N ′ を法とするディリクレ指標とすると、次が成り立つ。
G
(
χ χ -->
χ χ -->
′ ′ -->
)
=
χ χ -->
(
N
′ ′ -->
)
χ χ -->
′ ′ -->
(
N
)
G
(
χ χ -->
)
G
(
χ χ -->
′ ′ -->
)
.
{\displaystyle G(\chi \chi ^{\prime })=\chi (N^{\prime })\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G(\chi ^{\prime }).}
χ と χ′ が同じ法の指標で、χχ′ が原始的であるときの G (χχ′)、G (χ) および G (χ′) の間の関係は、ヤコビ和 J (χ, χ′) によって調べられる。具体的には、次が成り立つ[ 2]
G
(
χ χ -->
χ χ -->
′ ′ -->
)
=
G
(
χ χ -->
)
G
(
χ χ -->
′ ′ -->
)
J
(
χ χ -->
,
χ χ -->
′ ′ -->
)
.
{\displaystyle G(\chi \chi ^{\prime })={\frac {G(\chi )G(\chi ^{\prime })}{J(\chi ,\chi ^{\prime })}}.}
^ Ireland & Rosen 1990 , p. 75 ^ これはガンマ関数 Γ とベータ関数 B との間にある次の関係式 の類似：
Γ Γ -->
(
x
+
y
)
=
Γ Γ -->
(
x
)
Γ Γ -->
(
y
)
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle \Gamma (x+y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{B(x,y)}}}
Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0335.10001 Berndt, B. C. ; Evans, R. J.; Williams, K. S. (1998). Gauss and Jacobi Sums . Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. Wiley. ISBN 0-471-12807-4 . Zbl 0906.11001 Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory . Graduate Texts in Mathematics . 84 (2nd ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97329-X . Zbl 0712.11001 Section 3.4 of Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004), Analytic number theory , American Mathematical Society Colloquium Publications, 53 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3633-0 , MR 2061214 , Zbl 1059.11001 
