数学において、CR多様体（CRたようたい、英: CR manifold）とは，微分可能多様体で，複素数空間の中の実超曲面の幾何構造をモデル化したものである．

CR は，コーシー・リーマン，あるいは，複素 (Complex)・実 (Real)^[1] の省略形である．

CR多様体のモデルは複素数空間 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 内の領域の滑らかな境界である.

領域 ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$ の滑らかな境界${\displaystyle M}$ について, 次で定義される複素化（英語版）(complexified)された接束 ${\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes \mathbb {C} }$ の部分ベクトル束 ${\displaystyle L}$ を考えよう:

${\displaystyle L:=\mathbb {C} TM\,\cap \,T^{1,0}\mathbb {C} ^{n}.}$

ここで, ${\displaystyle T^{1,0}\mathbb {C} ^{n}}$ は ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ の正則接束を表すとする. このとき, ${\displaystyle L}$ は次を満たす:

• ${\displaystyle [L,L]\subset L}$,
• ${\displaystyle L\cap {\overline {L}}=\{0\}}$.

ただし, ${\displaystyle {\overline {L}}}$ は ${\displaystyle L}$ の複素共役とする.

CR多様体とは，微分可能多様体 ${\displaystyle M}$ とその上の複素化（英語版）(complexified)された接束 ${\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes \mathbb {C} }$ の部分ベクトル束 ${\displaystyle L}$ で次の条件を満たすものの組 ${\displaystyle (M,L)}$ のことである:

• ${\displaystyle [L,L]\subset L}$ ( ${\displaystyle L}$ は可積分(integrable)である ),
• ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$.

ここで, ${\displaystyle {\overline {L}}}$ は ${\displaystyle L}$ の複素共役とする. このとき，ベクトル束 ${\displaystyle L}$ を多様体 ${\displaystyle M}$ 上のCR構造という．

${\displaystyle L}$ の階数 ${\displaystyle {\rm {rank}}_{\mathbb {C} }\,L}$ をCR次元, ${\displaystyle \dim M-2\;{\rm {rank}}_{\mathbb {C} }\,L}$ をCR余次元という．

CR余次元が1のとき, ${\displaystyle (M,L)}$ は超曲面型(hypersurface type)であるという.

${\displaystyle M}$ を超曲面型のCR多様体とする．レヴィ形式 ${\displaystyle h}$ は，直線束

${\displaystyle V={\frac {TM\otimes {\mathbb {C} }}{L\oplus {\bar {L}}}}}$

に値を持つ ${\displaystyle L}$ 上で定義されたベクトル値形式（英語版）(vector valued form)で，

${\displaystyle h(v,w):={\frac {1}{2i}}[v,{\bar {w}}]\mod L\oplus {\bar {L}},\quad v,w\in L}$

により与えられる．${\displaystyle h}$ は，可積分条件により，${\displaystyle v}$ と ${\displaystyle w}$ が ${\displaystyle L}$ の切断へどのように拡張するかには依存せず，${\displaystyle L}$ 上の半双線型形式を定義する．この形式 ${\displaystyle h}$ は，同じ形で束 ${\displaystyle L\oplus {\bar {L}}}$ 上のエルミート形式へ拡張できる．この拡張された形式も，レヴィ形式と呼ばれることもある。

代わりに，レヴィ形式は双対性の言葉で特徴付けることもできる．V を消滅させる複素余接束の部分直線束を考えると，

${\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\bar {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes {\mathbb {C} }}$

となる．各々の切断 α∈Γ(H₀ M ) に対し，

${\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\bar {w}})=-\alpha ([v,{\bar {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\bar {L}}.}$

とする．形式 h_α は α を伴う複素数値エルミート形式である．

多様体が超曲面型でない場合も，レヴィ形式の一般化が存在する．ただし，この場合，値は直線束でなく，ベクトル束となる．よって，レヴィ形式ではなく，構造のレヴィ形式の集まりという。

超曲面型の抽象的CR多様体について，レヴィ形式はその上に擬エルミート計量を与える．この計量は，正則接ベクトル上で定義されているだけでなく，退化している．

${\displaystyle M}$ が超曲面型の CR 多様体で単一の函数 ${\displaystyle F=0}$ で定義されているとする．このとき，${\displaystyle M}$ のレヴィ形式(エフゲニオ・エリア・レヴィ（英語版）(Eugenio Elia Levi)の名に因む)とは^[2]、エルミート 2-形式

${\displaystyle h=i\partial {\bar {\partial }}F|_{L}}$

のことを指す．レヴィ形式は ${\displaystyle L}$ 上の計量を定める．${\displaystyle M}$ は，${\displaystyle h}$ が正定値であるとき，強擬凸(strictly pseudoconvex)と呼ばれ，${\displaystyle h}$ が半正定値のときは擬凸(pseudoconvex)と呼ばれる．CR多様体の理論の解析的な存在性と一意性の結果の多くは，レヴィ形式の強擬凸性によるものである．

この命名は擬凸領域の研究から来ている: ${\displaystyle M}$ が ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 内の(強)擬凸領域の境界であることと，CR多様体として(強)擬凸であることは同値である．

まず，接コーシー・リーマン作用素 ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}}$ を定義しよう．複素多様体の境界として実現されるCR多様体について，この作用素は ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ の境界制限とみなすことができる．また，一般のCR多様体について(複素多様体の境界として実現されない場合も含めて)，定義することができる．これは Webster 接続を用いて記述される．作用素 ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}}$ は複体をなす，すなわち，${\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}\circ {\overline {\partial }}_{b}=0}$ が成立する．この複体のことを接コーシー・リーマン複体，あるいは，コーン・ロッシ複体という．この複体とそのコホモロジー群についての基本的な文献として，Joseph. J. Kohn と Hugo Rossi によるものが挙げられる.^[3]

作用素 ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}}$ により消える関数をCR関数といい，正則関数のアナロジーになっている．また，CR関数の実部をCR多重調和関数という．

接コーシー・リーマン複体に付随して，CR幾何学と多変数複素解析学において基本的な対象となるコーンラプラシアン ${\displaystyle \Box _{b}}$ が次で定義される:

${\displaystyle \Box _{b}:={\overline {\partial }}_{b}{\overline {\partial }}_{b}^{*}+{\overline {\partial }}_{b}^{*}{\overline {\partial }}_{b}}$

ここで，${\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}^{*}}$ は ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}}$ の${\displaystyle L^{2}(M)}$ についての形式的共役を表すとする(体積形式は，CR構造に付随する接触形式から誘導されるものとする)．作用素 ${\displaystyle \Box _{b}}$ は，非負自己共役である．コンパクトな強擬凸CR多様体について，作用素 ${\displaystyle \Box _{b}}$ は正の離散固有値をもつ．その核空間は，CR関数から構成されるため，無限次元である．もし，作用素 ${\displaystyle \Box _{b}}$ の正の固有値全体が正定数により下から抑えられていた場合，閉値域をもつ．

具体例として，ハイゼンベルク群(Heisenberg group)の作用素 ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}}$ を考察してみよう．通常のハイゼンベルク群 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} }$ について，その上の左不変な正則ベクトル場

${\displaystyle L_{j}:={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+i{\overline {z}}_{j}{\frac {\partial }{\partial t}}(j=1,2,\dotsm ,n)}$

を考える．ここで，${\displaystyle (z_{1},z_{2},\dotsm ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} }$ とする．このとき，関数 ${\displaystyle u}$ について，

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L}}_{j}u\;d{\overline {z}}_{j}}$

が成立する．ここで，${\displaystyle {\overline {L}}_{j}}$ は ${\displaystyle L_{j}}$ の複素共役を表すとする．関数については ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}^{*}}$ は 0 であるから，ハイゼンベルク群における関数についてのコーンラプラシアンは次で与えられる:

${\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L}}_{j}.}$

さて，次の交換子の計算に注意する:

${\displaystyle [L_{j},{\overline {L}}_{j}]=-2iT.}$

ただし，${\displaystyle T:={\frac {\partial }{\partial t}}}$ とする. 上の等式を用いれば，簡単な計算によって，コーンラプラシアンが次のように書き換えられることがわかる:

${\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L}}_{j}+{\overline {L}}_{j}L_{j})+inT.}$

右辺の1番目の項は，実作用素である(実際に，コーンラプラシアンの実部となっている)．これをサブラプラシアンといい，${\displaystyle \Delta _{b}}$ で表すことが多い．部分積分から，非負であることがすぐにわかる．このとき，${\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+inT}$ と表すこともできる．

CR幾何学の基本的な問題のひとつとして，与えられたCR多様体が，複素数空間の実部分多様体として実現できるかという問題(CR埋め込み問題)がある．

大域的なCR埋め込み問題について，実5次元以上のコンパクトな強擬凸CR多様体については，Louis Botet de Monvel により肯定的に解決された．

実3次元の場合は，反例が存在する: 3次元球面 ${\displaystyle S^{3}}$ の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない．この例は，Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された).

局所的なCR埋め込み問題について，実3次元の場合には， Louis Nirenberg による反例が存在する．実7次元以上の場合は，倉西正武(実9次元以上の場合)と赤堀隆夫(実7次元の場合)により肯定的に解決された．

実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は，未解決である．

• エフゲニオ・エリア・レヴィ（英語版）(Eugenio Elia Levi)
• 擬凸性

• Levi, Eugenio Elia (1910), “Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse” (Italian), Annali di Matematica Pura e Applicata, s. III, XVII (1): 61–87, doi:10.1007/BF02419336, JFM 41.0487.01, http://www.springerlink.com/content/yr0150m4tq64j465/ . An important paper in the theory of functions of several complex variables. An English translation of the title reads as:-"studies on essential singular points of analytic functions of two or more complex variables".
• Boggess, Albert (1991). CR Manifolds and the Tangential Cauchy Riemann Complex. CRC Press 
• Hill, D. and Nacinovich, M. (1995). “Duality and distribution cohomology of CR manifolds”. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 22 (2): 315–339. http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASNSP_1995_4_22_2_315_0. 
• Chern S. S. and Moser, J.K. (1974). “Real hypersurfaces in complex manifolds”. Acta Math. 133: 219–271. doi:10.1007/BF02392146. 
• Harvey, F.R. and Lawson, H.B., Jr. (1978). “On boundaries of complex analytic varieties”. Ann. Math. 102 (2): 223–290. doi:10.2307/1971032. JSTOR 1971032.