電磁場解析 （でんじばかいせき、英語 : electromagnetic field analysis ）とは、マクスウェルの方程式 を解くことにより、対象物と電磁場 の相互作用 を解析 することである。過去には、マクスウェルの方程式から導出される偏微分方程式 を解析的に解くことを指していたが、現在はもっぱらコンピュータ によって数値計算することを指す。
工学 分野では、電磁界解析 という。電磁場解析には、静電場 （静電界）解析、静磁場 （静磁界）解析、電磁誘導 解析、電磁波 解析等が含まれる。このうち、電磁波解析は高周波回路 や無線通信 用回路、アンテナ やレーダー 等の設計 ・解析、電磁環境適合性 (EMC ) 回折格子 などに使用される。また、比較的低周波（数十Hz - 数百Hz）の磁界 解析は、モーター などの回転器やリニアアクチュエータ （英語版 ）
コンピュータを用いて電磁場の解析を行う分野を 計算電磁気学 （英語 : computational electromagnetics ; CEM ) と呼ぶ[ 1]
散乱 ・放射 ・導波路 などのようないくつかの現実の電磁界問題は、使用される物質の不規則な形状が複雑に関連しており、分析的に手計算することが不可能である。そのため、媒体と境界状態の様々なマクスウェルの方程式の補助方程式は、コンピュータにより計算される。計算電磁気学は、アンテナ・レーダー・衛星 などの通信システム、ナノフォトニック （英語版 ） 医療画像処理 、携帯電話 のアンテナなど様々なアプリケーションの設計とモデリングにおける重要な分野である。
計算電磁気学 (CEM) は、通常、問題の対象物について解く場合、対象物の領域の周りにある電界 と磁界 をコンピュータで計算することによって計算し問題を解く（言い換えると、計算電磁気学 (CEM) で任意形状のアンテナ 構造について解析するには、アンテナ の電磁波 放射パターンについて計算する）。
電磁波 の電力進行方向（ポインティング・ベクトル ）、導波路 の正常モード、媒体による電磁波の分散 、そして、散乱 などは、電磁界解析において重要な項目であり、これらは全て電界 と磁界 の関係からコンピュータ を用いて計算することができる。計算電磁気学のモデルは、対称性 を仮定したり、現実の構造を、筒状や球状あるいはその他の規則正しい幾何学的な形状に簡素化する。計算電磁気学のモデルは、徹底的に対称性を利用することによって、解析対象のシステムの次元を3次元から、2次元、更には 1次元にまで減少させることがある。計算電磁気学は、前述の幾つかの重要事項に挙げたような様々な問題を定式化できる。計算電磁気学の固有値 定式化を用いることによって、特定の構造について、定常状態の正常モードを計算することができる。
過渡応答 やインパルスによる電磁界への影響は、時間領域 の電磁界解析手法であるFDTD法 によって、より正確にモデル化される。曲面を含む物体は、有限要素法 (FEM) や、非直交のグリッドを使用することによって、より正確に扱うことができる。ビーム伝播法 （英語版 ） [ 2] 電磁界 や電力 の関係をモデル化できる場合でも、解析を行う応用分野ごとに計算電磁気学で使われるモデルが決まってくる。
コンピュータを用いた電磁界解析では、一般的に（直交あるいは非直交の）グリッドと呼ばれる空間の離散化（分割）し、媒体をモデル化した後、各グリッドごとにマクスウェルの方程式を解く。当然、計算に使われる空間の離散化は、コンピュータのメモリを消費するため、グリッドの数が多くなるほど、方程式を解く時間が長くなる。
大規模な電磁界解析では、コンピュータで使用するメモリ量や、CPU時間などにより、計算の制限を設定する。2007年現在、計算電磁気学では、スーパーコンピュータ や、高性能クラスタ 、ベクトルプロセッサ 、そして、並列コンピュータ 上で電磁界解析を実行することを問題としている。
電磁界解析で用いられる定式化の典型的なものを、次に挙げる。
電磁界解析を行わなければならなくなったときに、どの手法を選ぶかは十分に検討する必要がある。積分方程式による解析を行うのか、それとも、微分方程式による解析を行うのか。そして、どのような時にどのような理由で高周波回路の近似が使われているのか理解しておく必要がある。
双曲系 の偏微分方程式 としてマクスウェルの方程式を定式化できる。これは双曲型 偏微分方程式 を数値解析 するための強力な数学理論を提供する。
今、電磁波 はx-y平面を伝播し（電力進行方向 がx-y平面）、磁界 がz軸方向にあると仮定する。この場合、電界 はx-y平面にある。この電磁波は、TE波 (Transverse Electric wave) と呼ばれる。
2次元平面で、かつ誘電分極 がないという条件が与えられている場合、マクスウェルの方程式は以下のように定式化できる。
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
t
u
¯ ¯ -->
+
A
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
x
u
¯ ¯ -->
+
B
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
y
u
¯ ¯ -->
+
C
u
¯ ¯ -->
=
g
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {u}}+A{\frac {\partial }{\partial x}}{\bar {u}}+B{\frac {\partial }{\partial y}}{\bar {u}}+C{\bar {u}}=g}
ここで、u、A、BおよびCは次のように定義される：
離散双極子近似 （英語版 ） DDA )は、任意形状の対象物による電磁界 の散乱 と吸収 を柔軟に計算できる手法である。定式化は積分形のマクスウェル方程式 に基づいている。離散双極子近似(DDA)は、分極 可能な箇所の有限な配列によって連続な対象物を近似する。分極 された箇所は、各部分の電場 に対応する双極子モーメント を持つ。もちろん、双極子 は電場 を介してお互いに作用するため、離散双極子近似(DDA)はしばしば結合双極子近似とも呼ばれる。結果として、線形的な連立方程式は、一般的に共役勾配法 による反復法 を用いて解く。離散化行列には対称性があるため(積分形のマクスウェル方程式 は畳み込み の形となるため)、共役勾配法 による反復 計算を行っている間、行列 とベクトル [要曖昧さ回避 を掛けるのに高速フーリエ変換 を使用することができる。
モーメント法 (method of moments; MoM )境界要素法 (boundary element method; BEM )積分方程式 (「境界積分形」とも呼ばれる) として定式化された線形偏微分方程式 を解く数値解析 の手法である。境界要素法(BEM) は、流体力学 、音響学 、電磁気学 、破壊力学 、および可塑性解析 など、工学と科学の多くの分野で適用できる。
1980年代以降、境界要素法(BEM) はますます一般的に用いられるようになっている。境界要素法(BEM) は、偏微分方程式 で定義された空間の全ての値を計算するというよりは、むしろ境界値だけについて計算するため、体積に対する表面積の比が小さい場合は、メモリの量やCPU時間といったコンピュータ・リソースの問題においてかなり効率的である。概念的に、境界要素法(BEM) は、モデル化された表面上で「メッシュ」を構成し問題を解く。しかしながら、多くの問題において、境界要素法(BEM) は体積を離散化する手法 (有限要素法 、有限差分法 、有限体積法 より、かなり非効率的となる。境界要素法 による定式化は、通常、全てにデータの入った行列を生じさせる。これは、データ量と計算時間が、解析対象物の大きさの二乗に応じて増加する傾向があることを意味する。
境界要素法(BEM) とは対照的に、有限要素 行列は、(各要素は局所的に接続されるだけのため) 行列に必要なデータ量は 通常 解析対象物の大きさに比例して大きくなる。これらの (二乗で増えるデータ量の) 問題を改善するために、圧縮のテクニック(例えば、多重極展開 （英語版 ） [ 3] 階層行列 （英語版 ） [ 4]
境界要素法(BEM) はグリーン関数 によって計算できる問題に適用可能である。通常、グリーン関数 で解く問題は、線型 で均質 である媒体の領域について扱う。これは境界要素を有効に適用できる問題の範囲と一般性に関して大幅な制限を与える。境界要素法(BEM) の定式化で、非線形の問題も扱うこともできる。この場合、一般的に体積の積分方程式を導くことになるが、問題を解こうとする前に体積を離散化する必要があり、境界要素法(BEM) で最もよく引用される（均一物質を境界だけで解くという）利点が無くなることになる。
境界要素法(BEM) を使ったソフトウェアの例：
Agilent Technologies社 , MomentumVector Fields社 ConcertoCST社 , CTS MICROWAVE STUDIO, 積分方程式 解析ソフトNumerical Electromagnetic Code (NEC) Sonnet社 , モーメント法 解析ソフトSigrity , SpeedXPEMC Studio , 全波電磁界 解析ソフト, TriD, EMCoSScientific Instrument Service社 , CPO (Charged Particle Optics)IDS S.p.A., ADF Efield ESI Group
高速多重極法 （英語版 ） FMM )は、モーメント法(MoM) (境界要素法 )やエバルトの方法 [ 5] 電磁界 解析手法である。高速多重極法(FMM)は、正確なシミュレーション手法であり、モーメント法(MoM) より計算上効率的である。メモリとプロセッサ実行時間ともに、モーメント法(MoM) より必要量が大幅に減る。高速多重極法(FMM)は、多重極展開 （英語版 ） Greengard （英語版 ） Rokhlin （英語版 ） [ 6] モーメント法(MoM) の高速化に利用できる。
高速多重極法 （英語版 ）
部分要素等価回路 （英語版 ） PEEC )は、電磁界 と回路 を結合した解析に適した、三次元の全波モデル化手法である。モーメント法(MoM) と異なって、部分要素等価回路(PEEC)は、DC から最高周波数 まで、分割の設定している全てのスペクトル で解析が可能な手法である。部分要素等価回路(PEEC)法では、積分方程式 はキルヒホッフの電圧則(KVL) とみなして、部分要素等価回路(PEEC)の基本的なセルに適用される。そして、このことは、三次元の幾何学形状において完全な回路動作を解決する方法となる。等価回路による定式化は、SPICE タイプの回路素子を容易に追加することを可能にする。さらに、この方法によるモデルと解析方法は、時間領域と周波数領域の両方に適用することができる。部分要素等価回路(PEEC)モデルから生じる回路方程式は、修正ループ解析 （英語版 ） [ 7] 修正節点解析法 （英語版 ） [ 8] DC 解析を提供すること以外に、この(MLAやMNAといった)種類の問題について、様々な種類の回路素子を適切な型の行列で直接的に含めることができるため、モーメント法(MoM) よりもいくつもの他の利点を持っている。最近では、非直交の幾何学形状を扱うことができるように部分要素等価回路(PEEC)法が拡張されている。このモデル拡大(従来の直交 座標系での定式化と一致している)は、より一般的な四角形(2次元)や6面体(3次元)の要素に加えた幾何学のマンハッタン表現 を含む。これにより、未知の数を最小限に保つことができ、その結果、非直行な幾何学形状においてもコンピュータの時間を短縮することができる[ 9]
時間領域差分法 FDTD法 FDTD法 は分かり易くて、ソフトウェアで実装するのが簡単になるように考慮されている。
FDTD法 が時間領域 法であるため、一度シミュレーションを実行することにより、広い範囲の周波数領域 を解くことができる。FDTD法 は、一般的なグリッドを使った微分型 の時間領域数値解析 モデル化手法に属する。（偏微分型 の）マクスウェルの方程式 は、中央差分方程式 に変換され、離散化された後、ソフトウェアに実装される。方程式はリープフロッグ法 （英語版 ） 電場 が解かれる。そして、時間領域の次の時刻で、磁場 が解かれる。その後は、この過程が何度も繰り返される。
基本的なFDTD アルゴリズムは、1966年に IEEE Transactions on Antennas and Propagation で Kane Yee が発表した論文[ 10] IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility で1980年に Allen Taflove （英語版 ） [ 11] FDTD法 は、物質の形状と電磁波 との相互作用を扱う科学 や工学 の様々な問題をモデル化するための主要な方法となった。現在のFDTD によるモデル化の応用は、DC 近辺（全地球電離層導波路 （英語版 ） 地球物理学 ）から高周波 （レーダーシグネチャ[ 12] アンテナ 、無線通信 デバイス、デジタルの相互接続、生物医学画像処理）、そして可視光 （フォトニック結晶 、ナノプラズモニクス 、ソリトン 、バイオフォトニクス ）に至る範囲に及ぶ。
現在では、FDTD法を単色波に最適化したNS-FDTD法（非標準FDTD法）も存在し、これは元のFDTD法よりも飛躍的に高い精度で計算できる。[1]
多重解像度時間領域法 （multiresolution time-domain; MRTD ）は、ウェーブレット 解析を基本として、FDTD法 を適応型に変換した手法。
有限要素法 FEM ）では、まず適切な偏微分方程式(PDE) および境界条件 から境界値問題を設定し、重み付き残差法により弱形式（積分汎関数）を導出する。次に、解析領域に有限個の計算点を定義し、その点を用いて解析領域を適切に分割する（線分、三角形、四面体などの形状関数を使う）。そして、ガラーキン法などで弱形式を離散化し、線形連立方程式を構築する。そして、最後にその連立方程式を解くことで、計算点における近似解を求める。
有限要素法は、定常状態の問題を解くことを基本とする。離散化において、スカラー場を計算する場合はスカラー形状関数を、ベクトル場を計算する場合はベクトル形状関数を用いる。しかし、ベクトル場を計算する方が煩雑になるため、スカラー場の計算で代用できる問題では、スカラー場を計算する方がよい。
偏微分方程式の数値計算は、解析に使う近似式を作り出すことが肝要である。有限要素法は要素分割の自由度が高いため、差分法（FDTD法）などと比べて精度が高くなる。電磁界解析を行う領域が複雑な領域であるか、要求される精度が全領域で変化する場合、有限要素法は偏微分方程式を解くための良い選択肢となる。
静電場などを計算する場合、支配方程式にはポアソン方程式が用いられ、これを定式化すると最終的には連立1次方程式ができる。また、電磁波などを計算する場合、支配方程式にはヘルムホルツ方程式が用いられ、これを定式化すると最終的には1次の固有方程式ができる。
有限積分法 (finite integration technique; FIT )
擬似スペクトル時間領域法 （pseudospectral time domain; PSTD ）は、一定時間内にマクスウェルの方程式 の計算を完了させるための方法として、離散フーリエ変換 か離散チェビシェフ変換[ 13] FDTD法 と同等程度の無視できるほど少ない位相・速度・異方性の数値解析 誤差しか発生しない。したがって、PSTD法は非常に大きなサイズの問題をモデル化することができる。
マクスウェルの方程式 を解くためのPSTD法に関する最近の総合的な概要は、A. Taflove, S. C. Hagness 編「Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method」[ 14]
擬似スペクトル空間領域法 （Pseudo Spectral Spatial Domain; PSSD ）は、電磁波 の伝播する空間的な方向を選択することによって、マクスウェルの方程式 を解く。したがって電場 と磁場 は、時間の関数として扱われ、さらに(可能であれば)特定の空間的な横軸の次元の関数としても扱われる。一時的な伝播が高速フーリエ変換 を用いて周波数領域で計算されるため、この手法は擬似スペクトルである。電場 と磁場 が時間の関数として扱われるため、この手法により、伝播媒体の任意の分散を最小限の労力ですばやく正確にモデル化できる。J.C.A. Tyrrell他, J.Mod.Opt. 52, 973 (2005) [ 15]
（SPICE やHSPICEなどのような）回路シミュレータ が直接解析できる集中定数 素子の集合や、素子を用いた固有の回路網、あるいは、Sパラメータ 行列を用いるなど、いくつかの手法で伝送路行列 （英語版 ） TLM ）を定式化できる。多くの電磁界解析ソフトウェアがFDTD で解析可能であるという傾向があるが、伝送路行列（TLM）は能力においてFDTD と同じく非常に柔軟性のある解析手法である。
固有モード展開 EME )
物理光学 PO ）は、光学 ・電気工学 および応用物理学 では、高周波近似 （英語版 ） 波長 近似 ）という名称で一般的に使用されている。物理光学 （PO）は、波動 効果を無視する幾何光学 と、厳密な理論 を扱う全波の電磁気学 の、中間的な手法である。「物理（physical）」という言葉は、幾何光学 （geometric optics）や光線光学 （ray optics）より物理的であることを意味し、正確な物理の理論であるということを意味するわけではない。
伝播した電磁場や拡散した電磁場を計算するために、表面の電磁場と、その表面を通過する電磁場を積分法 を用いて見積もり、光線光学を使用して近似 を行っている。物理光学 （PO）での近似は、問題の詳細が摂動 として扱われるという点で、ボルン近似 に類似している。
回折均一理論 （英語版 ） UTD ）は、電気的に小さい不連続や、同一点で一次元以上の不連続について、電磁気学 の散乱 問題を解くための高周波解析手法である。
回折均一理論は、準光学 （英語版 ） 近接 （英語版 ） 光線回折 を使用する。これらの係数は、回折点から遠方での各方向について電磁界の強さと位相 を計算するために使用される。そして、これらの電磁界は、完全な解を得るために入射電磁界と反射電磁界に加えられる。
検証は、多くの電磁界シミュレーションソフトウェアの大きな問題の1つである。ユーザは、現在開発されているシミュレーションによって、シミュレーションできる有効な範囲を理解して習得しなければならない。シミュレーションが正しいか間違っているかということでなく、「結果は現実からどれくらい外れているか?」を確認する必要がある。
この質問に答えるために、以下の3ステップで検証する：
シミュレーション結果と分析公式での比較 解析手法間での相互比較 測定とのシミュレーション結果の比較
電磁界シミュレータ (electromagnetic field solver ) とも言う。解析可能な構造の次元によって、2.5次元と3次元に分けられる。
2.5次元のシミュレータでは、例えば多層配線基板のように、複数の層で構成され各層に2次元の図形が存在する構造を解析することができる。しかし、同一の層には異なる電気物性をもつ構造を配置することはできない（異なる2つの層を接続するスルーホールを除く）。
以下に主な電磁場解析ソフトウェアを挙げる。
^ 電気学会編『計算電磁気学』, 2003, ISBN 978-4563067236
^ ビーム伝播法 ^ 近似品質管理付きACAによる正則化最小二乗解の高速計算法 濱田昌司(京大) ^ "Hierarchical Matrices", Bebendorf, Springer , ISBN 978-3-540-77146-3 ^ 力とポテンシャルの計算, 古明地勇人 (産技研) ^ "A Fast Algorithm for Particle Simulations", L.Greengard and V.Rokhlin, Journal of Computational Physics 73, 315-348 (1987) ^ 「電子機器内部の電流分布推定に関する考察」 p.12-13, 穴吹幸彦(法政大), 2005 ^ サイペック , 2003, ISBN 4-89808-040-5 ^ Partial Element Equivalent Circuit (PEEC) homepage ^ "Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell's Equations in Isotropic Media" , Kane S. Yee, IEEE Transactions on Antennas and Propagation Vol.AP-14,No.3 MAY,1966^ "Application of the Finite-Difference Time-Domain Method to Sinusoidal Steady-State Electromagnetic-Penetration Problems" , Allen Taflove , IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, vol.EMC-22, No.3, Aug. 1980^ 用語集-シグネチャ , ASTER SCIENCE PROJECT^ 「離散チェビシェフ変換を用いた画像圧縮」熱田 幸一(東海大) 他 ^ 「Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method」 A. Taflove, S. C. Hagness 編 Artech House, 2005, ISBN 978-1580538329
^ "Pseudospectral spatial-domain: a new method for nonlinear pulse propagation in the few-cycle regime with arbitrary dispersion" , J.C.A. Tyrrell他, Journal of Modern Optics, Volume 52, Issue 7 May 2005 , pages 973 - 986
ウィキメディア・コモンズには、
電磁場解析 に関連するカテゴリがあります。
