数学 における無限降下法 （むげんこうかほう、英 : infinite descent , 仏 : méthode de descente infinie 、羅 : la descente infinie [ 1] 自然数 が整列集合 であるという性質を利用した、証明 の一手法である。背理法 の一種であり、数学的帰納法 の一型とも見なせる。17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマー によって始められたとされ、彼はこの証明法を好んで用いた。最も古い使用例は『原論 』にある[ 2] ユークリッド は「すべての合成数は素数で割り切れる（『原論』の用語では「通約できる」）」ことを無限降下法で示した[ 3]
自然数に関する命題 の証明に威力を発する場合があり、典型的には不定方程式 に自然数解が存在しないことを示す際に用いられる。具体的には、自然数解が存在すると仮定し、ひとつの解から（ある意味で）より「小さい」別の自然数解が構成できることを示すのである。その構成法より、小さい解を次々に得ることができるはずであるが、自然数の（空集合でない）部分集合には最小の元があるから、これは矛盾 である。よって、仮定が間違っていたのであり、解が存在しないことが示されたことになる。小さい解を次々に得る様子が「無限に降下」していくように感じられることから、「無限降下法」と呼ばれる。
この証明は次のように書き換えることもできる。解が存在するとすると、最も「小さい」ものが存在する。先の構成法から、より小さいものが得られるが、これは最も「小さい」という仮定に矛盾する。よって、解は存在しない。
この証明のポイントは、最も「小さい」ものが存在するはずの、性質の良い「大小関係」を考えることである。必ずしも解そのものの大小関係である必要はなく、解に対してある自然数を対応させる関数 の値の大小関係であれば十分である。
2の平方根 が無理数 であることは古くから知られていたが、その証明を無限降下法で表現することもできる。2の平方根が有理数 であると仮定すると、2つの自然数 p , q を用いて
2
=
p
q
{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}
と表せる。平方して分母を払うと
2
q
2
=
p
2
{\displaystyle 2q^{2}=p^{2}\,}
を得る。よって p は偶数である。p = 2P とすると、P も自然数であって
2
q
2
=
4
P
2
{\displaystyle 2q^{2}=4P^{2}\,}
となる。両辺の2を払って
q
2
=
2
P
2
{\displaystyle q^{2}=2P^{2}\,}
を得る。よって q も偶数である。q = 2Q とすると、
2
=
P
Q
{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {P}{Q}}}
であるから、p > P , q > Q
方程式
a
2
+
b
2
=
3
(
s
2
+
t
2
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=3(s^{2}+t^{2})\,}
が自明な解 a = b = s = t = 0 以外に整数解を持たないことを、無限降下法で証明できる。非自明な整数解 (a 1 , b 1 , s 1 , t 1 ) が存在すると仮定すると、
a
1
2
+
b
1
2
=
3
(
s
1
2
+
t
1
2
)
{\displaystyle a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3(s_{1}^{2}+t_{1}^{2})\,}
より a 1 2 + b 1 2 は 3 の倍数である。平方数を 3 で割った余りは 0 か 1 であるから、a 1 , b 1 ともに 3 の倍数でなければならないことが分かる。そこで、a 1 = 3a 2 , b 1 = 3b 2 とおくと、
s
1
2
+
t
1
2
=
3
(
a
2
2
+
b
2
2
)
{\displaystyle s_{1}^{2}+t_{1}^{2}=3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})\,}
となる。すなわち、新しい解 (s 1 , t 1 , a 2 , b 2 ) を得た。4つの数の和について
|
a
1
|
+
|
b
1
|
+
|
s
1
|
+
|
t
1
|
>
|
s
1
|
+
|
t
1
|
+
|
a
2
|
+
|
b
2
|
{\displaystyle |a_{1}|+|b_{1}|+|s_{1}|+|t_{1}|>|s_{1}|+|t_{1}|+|a_{2}|+|b_{2}|\,}
であるから、新しい解の方が小さい。こうして次々に「小さい」解を得ることができるが、これは矛盾である。したがって、方程式は非自明な解を持たない。
フェルマーは、無限降下法をしばしば「私の方法」と呼び、この方法によって数々の命題を証明したと主張した。彼は詳しい証明をほとんど残していないが、『算術 』への45番目の書き込みにおいて、唯一完全に近い証明を残している[ 4] [ 5] 合同数 ではない」ということである。この証明中に、不定方程式
x 4 - y 4 = z 2
が非自明な整数解を持たないこと（これよりフェルマーの最終定理 の n = 4 の場合が導かれる）を、無限降下法によって示している。
フェルマーはまた、友人カルカヴィへの手紙の中で、「4 で割って 1 余る素数 が二個の平方数の和 で表せる」という命題を「直角三角形の基本定理 」と呼び、この命題を無限降下法で示したと述べた[ 注釈 1]
もし、4 で割って 1 余る素数のうち、二個の平方数の和で書けないものがあるとすると、それより小さいもので、同じ性質を持つものを構成することができる。この構成法により、次々に小さなものを得ることができる。これは矛盾である。
無限降下法は、典型的には「解が存在しない」などの否定的命題の証明に用いられるが、このように肯定的命題にも用いられる[ 7]
フェルマー以後も、無限降下法の考えはしばしば用いられている。たとえば、楕円曲線 の有理点 のなす群 が有限生成アーベル群 であることを主張するモーデルの定理 の証明には、有理点の高さに関する、無限降下法と似た議論が用いられる[ 8]
^ フェルマーは以下のように述べた。
「4の倍数よりも1だけ大きい素数はどれも二つの平方数で作られる」ということを証明しなければならなくなったとき，たいへんな苦境に陥った[ 6]
足立恒雄 『フェルマーを読む』日本評論社 、1986年6月。ISBN 978-4-535-78153-5 。 足立恒雄『フェルマーの大定理 整数論の源流』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 ア24-1 Math & Science〉、2006年9月。ISBN 978-4-480-09012-6 。 シャーラウ, W.、オポルカ, H. 著、志賀弘典 訳『フェルマーの系譜 数論における着想の歴史』日本評論社、1994年11月。ISBN 978-4-535-78213-6 。 From Fermat to Minkowski : lectures on the theory of numbers and its historical development (New York : Springer, 1985)の翻訳。シルヴァーマン, J.H.、テイト, J.『楕円曲線論入門』足立恒雄・木田雅成・小松啓一・田谷久雄 共訳、丸善出版、2012年7月。ISBN 978-4-621-06453-5 。 Rational points on elliptic curves (New York ; Tokyo : Springer-Verlag, 1992)の訳. 第2版謝辞(1994.6)あり。高瀬正仁 『フェルマ 数と曲線の真理を求めて』現代数学社〈双書・大数学者の数学 17〉、2019年1月。ISBN 978-4-7687-0500-1 。
