正則測度

数学の分野における、ある位相空間上の正則測度（せいそくそくど、英: regular measure）とは、その空間内のすべての可測集合について「近似的に開」（approximately open）かつ「近似的に閉」（approximately closed）であるような測度のことを言う。

定義

(X, T) を位相空間とし、Σ を、位相 T を含む X 上のσ-代数とする（したがって、すべての開集合と閉集合は可測集合であり、Σ は少なくとも X 上のボレルσ-代数と同じくらい良質なものである）。μ を (X, Σ) 上の測度とする。X の可測部分集合 A が μ-正則であるとは、

および

が成り立つことを言う。あるいは、A が μ-正則集合であるための必要十分条件は、すべての δ > 0 に対して、

および

を満たすような閉集合 F と開集合 G が存在することを言う。

これら二つの定義は、 が有限である場合には同値となる[1]（そうでない場合には、二つ目の定義の方が強くなる）。すべての可測集合が正則であるとき、μ は正則測度と呼ばれる。

人によっては、集合 F が（閉であるだけでなく）コンパクトであることも必要とする[2]。

例

  • 実数直線上のルベーグ測度は正則測度である：ルベーグ測度の正則性定理を見られたい。
  • 任意の距離空間上の任意のボレル確率測度は、正則測度である。
  • （すべての可測部分集合に対してゼロの値を取るような）自明測度は、正則測度である。
  • 通常位相を備える実数直線上の、正則測度でない測度 μ の自明な例には、以下のようなものがある。
    • ,
    • , and
    • for any other set .

脚注

  1. ^ Paul Halmos (1950). Measure Theory. Springer New York. p. 228. https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9440-2 
  2. ^ Dudley 1989, Sect. 7.1

参考文献

  • Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-19745-9 
  • Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X  MR2169627 (See chapter 2)

関連項目

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