有限単純群の分類
有限単純群の分類 (classification of the finite simple groups ) とは、数学 において全ての有限単純群 を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。
これらの群 は、全ての有限群 を構成する基本的な要素として見ることが出来る。
この分類定理の証明は、主に1955年から2004年にわたり出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上 もの成果の集大成である。ダニエル・ゴーレンシュタイン (d.1992) とライアン （英語版 ） ソロモン （英語版 ） [ 2]
分類定理 ― 全ての有限単純群 は以下の群のいずれかと同型 である:
分類定理は数学の多くの分野において応用がある。
有限群 （また他の数学的対象 に対するそれらの作用 ）の構造についての疑問は、有限単純群のそれへと簡約することが出来る。
分類定理のお陰で、そのような疑問は単純群や散在群の族をチェックすることで答えることが出来る。
1983年にダニエル・ゴーレンシュタイン は有限単純群が完全な分類が成されたと発表した。
しかしこれは準薄群 （英語版 ） Aschbacher (2004) によりアナウンスされた。
以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。
クラス
表記
位数
例外
重複
素数位数の巡回群
Cp p
p なし
なし
交代群 An n > 4)
n
!
2
{\displaystyle {\frac {n!}{2}}}
なし
A5 ≃ A 1 (4) ≃ A 1 (5) A6 ≃ A 1 (9) A8 ≃ A 3 (2)
リー型の群
クラス
表記
位数
例外
重複
古典的シュヴァレー群
A n q )
q
1
2
n
(
n
+
1
)
(
n
+
1
,
q
− − -->
1
)
∏ ∏ -->
i
=
1
n
(
q
i
+
1
− − -->
1
)
{\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)}
A 1 (2)[ 注釈 1] A 1 (3)[ 注釈 2] A 1 (4) ≃ A 1 (5) ≃ A5 A 1 (7) ≃ A 2 (2)A 1 (9) ≃ A6 A 3 (2) ≃ A8
B n q )n > 1)
q
n
2
(
2
,
q
− − -->
1
)
∏ ∏ -->
i
=
1
n
(
q
2
i
− − -->
1
)
{\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}
B 2 (2)[ 注釈 3] Bn (2m Cn (2m B 2 (3) ≃ 2 A 3 (22 )
C n q )n > 2)
q
n
2
(
2
,
q
− − -->
1
)
∏ ∏ -->
i
=
1
n
(
q
2
i
− − -->
1
)
{\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}
なし
Cn (2m Bn (2m
D n q )n > 3)
q
n
(
n
− − -->
1
)
(
q
n
− − -->
1
)
(
4
,
q
n
− − -->
1
)
∏ ∏ -->
i
=
1
n
− − -->
1
(
q
2
i
− − -->
1
)
{\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}
なし
なし
例外的シュヴァレー群
E 6 (q )
q
36
(
3
,
q
− − -->
1
)
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
{
2
,
5
,
6
,
8
,
9
,
12
}
(
q
i
− − -->
1
)
{\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)}
なし
なし
E 7 (q )
q
63
(
2
,
q
− − -->
1
)
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
{
2
,
6
,
8
,
10
,
12
,
14
,
18
}
(
q
i
− − -->
1
)
{\displaystyle {\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)}
なし
なし
E 8 (q )
q
120
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
{
2
,
8
,
12
,
14
,
18
,
20
,
24
,
30
}
(
q
i
− − -->
1
)
{\displaystyle q^{120}\prod _{i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right)}
なし
なし
F 4 (q )
q
24
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
{
2
,
6
,
8
,
12
}
(
q
i
− − -->
1
)
{\displaystyle q^{24}\prod _{i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right)}
なし
なし
G 2 (q )
q
6
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
{
2
,
6
}
(
q
i
− − -->
1
)
{\displaystyle q^{6}\prod _{i\in \{2,6\}}\left(q^{i}-1\right)}
G 2 (2)[ 注釈 4] なし
古典的スタインバーグ群
2 A n q 2 )n > 1)
q
1
2
n
(
n
+
1
)
(
n
+
1
,
q
+
1
)
∏ ∏ -->
i
=
1
n
(
q
i
+
1
− − -->
(
− − -->
1
)
i
+
1
)
{\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)}
2 A 2 (22 )[ 注釈 5] 2 A 3 (22 ) ≃ B 2 (3)
2 Dn (q 2 )n > 3)
q
n
(
n
− − -->
1
)
(
4
,
q
n
+
1
)
(
q
n
+
1
)
∏ ∏ -->
i
=
1
n
− − -->
1
(
q
2
i
− − -->
1
)
{\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}
なし
なし
例外的スタインバーグ群
2 E6 (q 2 )
q
36
(
3
,
q
+
1
)
∏ ∏ -->
i
∈ ∈ -->
{
2
,
5
,
6
,
8
,
9
,
12
}
(
q
i
− − -->
(
− − -->
1
)
i
)
{\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right)}
なし
なし
3 D4 (q 3 )
q
12
(
q
8
+
q
4
+
1
)
(
q
6
− − -->
1
)
(
q
2
− − -->
1
)
{\displaystyle q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}
なし
なし
鈴木群
2 B 2 (q )q = 22n + 1
q
2
(
q
2
+
1
)
(
q
− − -->
1
)
{\displaystyle q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right)}
なし
なし
リー群
2 F 4 (q )q = 22n + 1
q
12
(
q
6
+
1
)
(
q
4
− − -->
1
)
(
q
3
+
1
)
(
q
− − -->
1
)
{\displaystyle q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}
2 F 4 (2)[ 注釈 6] なし
2 G 2 (q )q = 32n + 1
q
3
(
q
3
+
1
)
(
q
− − -->
1
)
{\displaystyle q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}
なし
なし
ティッツ群 [ 注釈 7] 2 F 4 (2)'
212 (26 + 1)(24 − 1)(23 + 1)(2 − 1)/2 = 971 200
散在型の群
クラス
表記
位数
マシュー群
M11
M12
040
M22
520
M23
200 960
M24
823 040
ヤンコ群
J1
560
J2
800
J3
232 960
J4
775 571 046 077 562 880
コンウェイ群
Co3
766 656 000
Co2
305 421 312 000
Co1
157 776 806 543 360 000
フィッシャー群
Fi22
561 751 654 400
Fi23
089 470 473 293 004 800
Fi24 '
255 205 709 190 661 721 292 800
ヒグマン＝シムズ群
HS
352 000
マクラハラン群
McL
128 000
ヘルド群
He
030 387 200
ルドヴァリス群
Ru
926 144 000
散在型鈴木群
Suz
345 497 600
オナン群
O'N
815 505 920
原田＝ノートン群
HN
030 912 000 000
ライオンズ群
Ly
765 179 004 000 000
トンプソン群
Th
745 943 887 872 000
ベビーモンスター群
B
154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
モンスター群
（フィッシャー＝グリース・モンスター群）
M
017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000
位数の小さなものから20個を以下に列挙する。[ 3]
Gorenstein (1982 , 1983 ) は2巻からなる証明の低階数 （英語版 ） 標数 パートの要点を著し、
Michael Aschbacher , Richard Lyons, and Stephen D. Smith et al. (2011 )
以下のリストは多くが Solomon (2001) より取られている。
年は一般に結果の完全な証明が成された出版日とする。[ 注釈 8]
ゴーレンシュタインは、なぜ分類の証明がコンパクトリー群 の分類のように短くならないのかについて、幾つかの理由を議論している。
最も明らかな理由は、単純群の一覧が完全に複雑だからである：すなわち、26の散在型単純群についてのように、どんな証明にも多くの特別なケースを考慮に入れなくてはならない。そのため、ディンキン図形 を用いたコンパクトリー群のパラメーター化に似た、有限単純群のスッキリとした規則的な説明を誰も発見できていない。
アティヤ などは、この分類は、幾何学的対象上の群の作用を構築し、それらの幾何学的構造を分類することにより単純化されるだろうと提案している。この問題は、単純群と関連するような幾何学的構造を発見するための簡単な方法を、誰も与えられるようにはなっていないということである。BN対 のような幾何学的構造を発見することによりこの分類は機能する。しかしそれが叶うのは、有限単純群の構造のとても長く困難な解析の果てになるだろう。証明の簡略化ため、群の表現論 をより一層利用しようという提案もある。しかし表現論は、群の部分群についてとてもタイトなコントロールを必要とすると言う問題がある。低い階数の群については、そのようなコントロールと表現論はとてもよく働く。しかし高い階数をもつ群については、表現論を用いて分類を単純化することには誰も成功しない。分類作業の初期においては、表現論を用いた努力も相当なされた。しかし高い階数においては、その試みは決して成功しなかった。
この説では、有限単純群の分類を用いて証明された結果を並べる。
^ 3次の対称群S3 と同型。
^ 4次の交代群A4 と同型。
^ 6次の対称群S6 と同型。
^ スタインバーグ群2 A 2 (9)と同型な指数2の正規部分群を持つ。
^ 位数8の四元数群Q8 の、位数9の基本アーベル群C3 ×C3 による拡大の一つと同型。
^ ティッツ群2 F 4 (2)'と同型な指数2の正規部分群を持つ。
^ 李群の系列の例外2 F 4 (2)の正規部分群として得られる群であり、無限系列ではない。
^ よって結果の証明や最初のアナウンスより後の年となっている項目もあるが、それは「間違った」順序で現れる。
Aschbacher, Michael (2004年). “The Status of the Classification of the Finite Simple Groups” . Notices of the American Mathematical Society 51 (7): pp. 736–740. http://www.ams.org/notices/200407/fea-aschbacher.pdf Aschbacher, Michael ; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type 172 , ISBN 978-0-8218-5336-8 , http://www.ams.org/bookstore?fn=20&ikey=SURV-172 Conway, John Horton ; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips ; Parker, Richard A ; Wilson, Robert Arnott (1985), Atlas of Finite Groups : Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple GroupsISBN 0-19-853199-0 Gorenstein, D. (1979), “The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis”, American Mathematical Society. Bulletin. New Series 1 (1): 43–199, doi :10.1090/S0273-0979-1979-14551-8 , ISSN 0002-9904 , MR 513750 Gorenstein, D. (1982), Finite simple groups , University Series in Mathematics, New York: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6 , MR 698782 Gorenstein, D. (1983), The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type , The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6 , MR 746470 en:Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American , December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.Gorenstein, D. (1986), “Classifying the finite simple groups”, American Mathematical Society. Bulletin. New Series 14 (1): 1–98, doi :10.1090/S0273-0979-1986-15392-9 , ISSN 0002-9904 , MR 818060 Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1994), The classification of the finite simple groups 40 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0334-9 , MR 1303592 , http://www.ams.org/online_bks/surv401 Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), The classification of the finite simple groups. Number 2. Part I. Chapter G 40 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0390-5 , MR 1358135 , http://www.ams.org/online_bks/surv402 Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998), The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A , Mathematical Surveys and Monographs, 40 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0391-2 , MR 1490581 Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1999), The classification of the finite simple groups. Number 4. Part II. Chapters 1–4 , Mathematical Surveys and Monographs, 40 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1379-9 , MR 1675976 Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2002), The classification of the finite simple groups. Number 5. Part III. Chapters 1–6 , Mathematical Surveys and Monographs, 40 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2776-5 , MR 1923000 Gorenstein, D. ; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2005), The classification of the finite simple groups. Number 6. Part IV , Mathematical Surveys and Monographs, 40 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2777-2 , MR 2104668 Mark Ronan , Symmetry and the Monster , ISBN 978-0-19-280723-6 , Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
Marcus du Sautoy , Finding Moonshine , Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification, " Notices of the American Mathematical Society . (Not too technical and good on history)Solomon, Ronald (2001), “A brief history of the classification of the finite simple groups” , American Mathematical Society. Bulletin. New Series 38 (3): 315–352, doi :10.1090/S0273-0979-01-00909-0 , ISSN 0002-9904 , MR 1824893 , http://www.ams.org/bull/2001-38-03/S0273-0979-01-00909-0/S0273-0979-01-00909-0.pdf Levi L. Conant prize for expositionThompson, John G. (1984), “Finite nonsolvable groups”, in Gruenberg, K. W.; Roseblade, J. E., Group theory. Essays for Philip Hall , Boston, MA: en:Academic Press , pp. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6 , MR 780566 Wilson, Robert A. (2009), The finite simple groups , Graduate Texts in Mathematics 251, 251 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5 , Zbl 1203.20012 原田 耕一郎 『モンスター: 群のひろがり』岩波書店、1999年。ISBN 978-4000060554 。 D. ゴーレンシュタイン 近藤 武訳 (1986年2月号), “有限単純群の分類定理”, サイエンス 16 (2): pp. pp.98-111 S. オーンズ (2015年11月号), “巨大分類定理を継承 数学者たちの挑戦” , 日経サイエンス 45 (11): pp. pp.88-96, http://www.nikkei-science.com/201511_088.html Gorenstein, Daniel (1988), “The Classification of the Finite Simple Groups, A Personal Journey: The Early Years” , AMS History of Mathematics, Volume 1: A Century of Mathematics in America, Part I AMS , ISBN 0-8218-0124-4 , http://www.ams.org/samplings/math-history/hmath1-gorenstein33.pdf
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