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ユークリッド幾何学における平行移動（へいこういどう、英: translation, parallel translation, parallel displacement）とは、すべての点を一定の方向に一定の距離だけ動かす変換である。

平行移動は並進^[1]あるいは並進運動 (translational motion) とも呼ばれる。

平行移動は向きや距離・角度を保ち、非自明なものは不動点を持たない。

一次元の場合、平行移動 $T$ は定数 $a$ を用いて

T (x) = x + a

と表せる。

概観

平行移動は各点に定ベクトルを加える操作として解釈することや、座標系の原点をずらす操作として解釈することもできる。定ベクトル $v$ に対して、 $v$ に対応する平行移動 $T v$ は、点 $P(p)$ を $v$ だけ動かす写像

T v (p) = p + v

として働く。

平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできる^[2]。 $T$ が平行移動であるとき、部分集合 $A$ の写像 $T$ による像を、 $A$ の $T$ による平行移動と呼ぶ。 $T$ が定ベクトル $v$ に対応する平行移動 $T v$ であるとき、 $A$ の $T v$ による平行移動はしばしば $A + v$ と書かれる。

平行移動を剛体運動として記述することもできる（平行移動の他には回転と鏡映）。 $n$ -次元ユークリッド空間において任意の平行移動は等距変換である。平行移動全体の成す集合は平行移動群 $T (n)$ を成す。この群はもとの空間（の加法群）と同型であり、ユークリッド群 $E (n)$ の正規部分群である。 $E (n)$ の $T (n)$ による剰余群は直交群 $O (n)$ に同型:

E (n)/ T (n) ≅ O (n)

である。

ベクトル変数の写像 $f (v)$ に作用する、定ベクトル $δ$ に対応する平行移動作用素 $T δ$ は

T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )

で定義される作用素を言う。

行列表現

非自明な平行移動は不動点を持たないアフィン変換である。一方、行列の積は必ず原点を固定する。にも拘らず、ベクトル空間の平行移動を行列で表すことが、斉次座標系（英語版）を用いた回避方法によって一般に行われる。

例えば三次元の場合において、ベクトル $w = (w x, w y, w z)$ は四成分の斉次座標 $w = (w x, w y, w z, 1)$ で表せる^[3]。

各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル $p$ を、定ベクトル $v$ だけ平行移動させるには、平行移動行列

T_{\mathbf {v} }={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果

T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}

は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、

T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }

で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動

T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }

になる。ベクトルの和は可換であるから、平行移動行列同士の積もそうである（任意の行列の積が非可換であるのとは異なる）。

物理学における平行移動

物理学における平行移動は並進運動とも呼ばれ、物体の位置を変える運動である（回転運動に対照する）。例えば Whittaker (1988, p. 1) によれば、

If a body is moved from one position to another, and if the lines joining the initial and final points of each of the points of the body are a set of parallel straight lines of length $ℓ$ , so that the orientation of the body in space is unaltered, the displacement is called a translation parallel to the direction of the lines, through a distance $ℓ$ . （剛体がある位置から別な位置へ動くとき、剛体の各点の始点と終点を結ぶ直線が平行線集合となり、したがって空間における剛体の向きが変わらないならば、この変位を「その直線方向への距離 $ℓ$ だけの平行移動」と呼ぶ。）

平行移動は物体の各点 $(x, y, z)$ を

(x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)

なる形の式に従って変化させる操作である。ただし、 $(Δ x, Δ y, Δ z)$ は物体の各点に共通のベクトルとする。この物体の各点に共通の平行移動ベクトル $(Δ x, Δ y, Δ z)$ は、（「角」変位 (angular displacement) と呼ばれる回転を含む変位と区別して）ふつう「線型」変位または「直線」変位 (linear displacement) と呼ばれる特定の種類の変位を記述するものである。

時空を考えるとき、時間座標の変化は平行移動であると考えられる。例えば、ガリレイ変換群やポワンカレ群は時間に関する平行移動を含む。

脚注

^ まれに併進とも書く。
^ Osgood & Graustein 1921, p. 330.
^ Paul 1981.

参考文献

Osgood, William F.; Graustein, William C. (1921). Plane and solid analytic geometry. The Macmillan Company
Paul, Richard (1981), Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators, Cambridge, MA: MIT Press
Whittaker, Edmund Taylor (1988). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies (Reprint of fourth edition of 1936 with foreword by William McCrea ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-35883-3