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数学 、特に代数トポロジー や微分幾何学 において、スティーフェル・ホイットニー類 (英 : Stiefel–Whitney class ) は、実ベクトル束 の位相不変量 (topological invariant) であって、ベクトル束の切断 がどこでも（線型）独立な集合を構成するための障害 （英語版 ） ファイバー のベクトル空間としての次元を n とすると、0 番目から n 番目までスティーフェル・ホイットニー類を持つ。i 番目のスティーフェル・ホイットニー類が 0 でないならば、ベクトル束は、どこでも線型独立な切断を ( n − i + 1n 番目のスティーフェル・ホイットニー類が 0 でないことは、束のどの切断もある点で 0 とならねばならないことを示している。1 番目のスティーフェル・ホイットニー類が 0 でないことは、ベクトル束が向き付け可能 ではないことを示している。たとえば、円上の直線束 としてのメビウスの帯 の 1 番目のスティーフェル・ホイットニー類は 0 でなく、一方、円上の自明直線束 S 1 × R
エドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) とハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney) の名前に因んだ命名のスティーフェル・ホイットニー類は、実ベクトル束 に付帯する Z /2Z 特性類 である。
代数幾何学では、非退化二次形式を持つベクトル束に対してスティーフェル・ホイットニー類の類似も定義されていて、エタールコホモロジー群 やミルナーのK-理論 に値を持つ。特別な例として、体上の二次形式のスティーフェル・ホイットニー類を定義することもでき、最初の 2つは判別式 とハッセ・ヴィット不変量 （英語版 ） Milnor 1970 )。
実ベクトル束 E E スティーフェル・ホイットニー類 は、w (E )コホモロジー環 の元である。
H
∗ ∗ -->
(
X
;
Z
/
2
Z
)
=
⨁ ⨁ -->
i
≥ ≥ -->
0
H
i
(
X
;
Z
/
2
Z
)
{\displaystyle H^{\ast }(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}
ここで X E 底空間 であり、Z /2Z Z 2 可換環 である。Hi (X ; Z /2Z )w (E )直和成分 は、w i E )E i w (E ) = w 0 (E ) + w 1 (E ) + w 2 (E ) + …wi (E )Hi (X ; Z /2Z )
スティーフェル・ホイットニー類 w (E )E 不変量 である。つまり、F E X F E 同型 であれば、スティーフェル・ホイットニー類 w (E )w (F )同型 とは、恒等写像 idX X → X を被覆するベクトル束の同型写像 E → F E F w (E )w (F )E F
例としては、円 S 1 自明束 に同型ではない直線束 （つまり、階数 1 の実ベクトル束）が存在する。この直線束 L は、メビウスの帯 （ベクトル束となるベクトル空間の構造をファイバーへいれることのできるファイバー束 ）である。コホモロジー群 H 1 (S 1 ; Z /2Z )L の第一スティーフェル・ホイットニー類 w 1 (L )S 1 L とは同型ではない。
しかし、同じスティーフェル・ホイットニー類を持つ 2つのベクトル束 E F E と F が同じ底空間 X E F 2-球面 S 2 接束 と S 2 X 直線 束が同じスティーフェル・ホイットニー類を持てば、それらは同型である。
エドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) とハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney)により X の i -スケルトンに限定したベクトル束 E 線形独立 な n − i + 1切断 を構成するための障害類 （英語版 ） 2を法とした 還元として発見したことから、スティーフェル・ホイットニー類 w i E ) との名前がついている。ここに n はベクトル束 F → E → X
詳しくは、X をCW-複体 （英語版 ） X の i -番目の胞体コホモロジー群 の中の類 W i E ) を定義した。次元 (n − i + 1) のスティーフェル多様体 （英語版 ） (i-1) -番目のホモトピー群 である係数系は、E の線形独立なベクトルである。ホイットニーは、Wi (E ) = 0X の i -スケルトンへ制限したときに E が n − i + 1)
π i −1V n −i +1F ) は、無限巡回群 か、もしくは、Z /2Z に同型であるので、W i E ) のクラスの、スティーフェル・ホイットニー類である w i E ) ∈ H i X ; Z /2Z )標準的 （英語版 ） π i −1V n −i +1F ) = Z /2Z w 1 (E ) = 0E → X 向き付け可能 であることとは同値である。
クラス w 0 (E ) は何も情報を持っていない。なぜなら、定義により 1 に等しいからである。ホイットニーによるこの構成は、創造的な考え方であり、ホイットニー和 （英語版 ） w (E 1 ⊕ E 2 ) = w (E 1 )w (E 2 )ホモロジー多様体 （英語版 ） w 0 (M ) ≠ 1 となることがある。8 を法として 1 になればよいのである[要説明 [要出典 。
本記事を通して、H i X ; G )群 G に係数を持つ空間 X の特異コホモロジー を表すこととする。写像 (map) という用語はいつも位相空間 の間の連続写像 を意味することとする。
次の公理系は、 基底の mod -2 コホモロジーをパラコンパクト基底 を持つ有限ランクの実ベクトルバンドルへ結び付けるスティーフェル・ホイットニー特性類 w の唯一の特徴付けをもたらす。
正規化 (Normalization): 実射影空間 （英語版 ） P 1 (R ) 上のトートロジーラインバンドル （英語版 ）
w
(
γ γ -->
1
1
)
=
1
+
a
∈ ∈ -->
H
∗ ∗ -->
(
P
1
(
R
)
;
Z
2
)
=
Z
2
[
a
]
/
(
a
2
)
{\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} _{2})=\mathbf {Z} _{2}[a]/(a^{2})}
ランク (Rank): w 0 (E ) = 1 ∈ H 0 (X ) と E のランクの i に対し、
w
i
=
0
∈ ∈ -->
H
i
(
X
)
{\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)}
w
(
E
)
∈ ∈ -->
H
≤ ≤ -->
r
a
n
k
E
(
X
)
{\displaystyle w(E)\in H^{\leq \mathrm {rank} E}(X)}
ホイットニー積公式 (Whitney product formula):
w
(
E
⊕ ⊕ -->
F
)
=
w
(
E
)
⌣ ⌣ -->
w
(
F
)
{\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)}
カップ積 (cup product) である。自然性 (Naturality): 任意の実ベクトルバンドル E → X と写像
f
:
X
′
→ → -->
X
{\displaystyle f:X'\to X}
w (f*E ) = f*w (E ) である。ここに f*E は引き戻しバンドル （英語版 ） これらのクラスの一意性は、たとえば、Husemollerのセクション 17.2 - 17.6 1 や Milnor と Stasheff のセクション 8 に証明されている。存在性にはいくつかの証明があり、様々な種類の構成から導かれ、それらは異なった性格を持っている。
このセクションでは、分類空間 の考え方を使う構成を述べる。
任意のベクトル場 V に対し、Grn (V ) で V の n 次元線型部分の空間であるグラスマン多様体 （英語版 ）
G
r
n
=
G
r
n
(
R
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbf {R} ^{\infty })}
で表す。この空間は、自然束 （英語版 ）
γ γ -->
n
→ → -->
G
r
n
{\displaystyle \gamma ^{n}\to Gr_{n}}
n のベクトル束であり、点
W
∈ ∈ -->
G
r
n
(
V
)
{\displaystyle W\in Gr_{n}(V)}
Ẃ により表現される部分空間であるようなファイバー V の自明束 の部分束として定義できる。
f : X → Grn を無限グラスマン多様体の連続写像とすると、同型を除き X 上の写像 f により誘導された束
f
∗ ∗ -->
γ γ -->
n
∈ ∈ -->
V
e
c
t
n
(
X
)
{\displaystyle f^{*}\gamma ^{n}\in {\mathit {Vect}}_{n}(X)}
は写像 [f ] のホモトピー類のみに依存する。したがって、引き戻しの操作は、ホモトピー同値を法とした写像 X → Grn
[
X
;
G
r
n
]
{\displaystyle [X;Gr_{n}]}
から、X 上のランク n のベクトル束の同型類の集合
V
e
c
t
n
(
X
)
{\displaystyle {\mathit {Vect}}_{n}(X)}
への写像を与える。
この構成において重要なことは、X がパラコンパクト空間 であれば、この写像は全単射 であるということである。これが無限グラスマン多様体をベクトル束の分類空間と呼ぶ理由である。
直線束へ上記の構成を限定する、つまり、X 上の直線束の空間 Vect1 (X ) を考えることとする。直線のグラスマン多様体 Gr 1 はまさに無限次の射影空間 である。
P
∞ ∞ -->
(
R
)
=
R
∞ ∞ -->
/
R
∗ ∗ -->
,
{\displaystyle \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},}
これは、無限次元球面 S ∞ によって対蹠的 （英語版 ） S ∞ は可縮 であるので、
π π -->
1
(
P
∞ ∞ -->
(
R
)
)
=
Z
/
2
Z
π π -->
i
(
P
∞ ∞ -->
(
R
)
)
=
π π -->
i
(
S
∞ ∞ -->
)
=
0
i
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}}
を得る。従って、P ∞ (R ) はアイレンベルグ・マックレーン空間 （英語版 ） Z /2Z , 1) である。
アイレンベルグ・マックレーン空間の性質は次のような性質である。任意の X と η を生成子とする f → f* η により与えられる同型に対し、
[
X
;
P
∞ ∞ -->
(
R
)
]
=
H
1
(
X
;
Z
/
2
Z
)
{\displaystyle [X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )]=H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}
であり、また、
H
1
(
P
∞ ∞ -->
(
R
)
;
Z
/
2
Z
)
=
Z
/
2
Z
{\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }
となる。第一の式を適用することは、α : [X , Gr 1 ] → Vect1 (X ) も全射となり、全射である写像
w 1 : Vect1 (X ) → H 1 (X ; Z /2Z );を得る。このことが、直線束に対するスティーフェル・ホイットニー類 w 1 を定義する。
Vect1 (X ) をテンソル積作用素の下の群と考えると、スティーフェル・ホイットニー類は同型である。w 1 : Vect1 (X ) → H 1 (X ; Z /2Z )λ, μ → X に対し、w 1 (λ ⊗ μ) = w 1 (λ) + w 1 (μ)
たとえば、H 1 (S 1 ; Z /2Z ) = Z /2Z
同じ構成を複素ベクトル束 に対して行うと、チャーン類 が X 上の複素直線束と H 2 (X ; Z )P ∞ (C ), a K(Z /2Z , 2) であるからである。この同型は、位相的なラインバンドルに対し成立し、代数的ベクトルバンドルのチャーン類の単射性への障害は、ヤコビ多様体 である。
i > rank(E ) のときはいつでも、wi (E ) = 0 である。Ek がどこでも線型独立 であるような
s
1
,
… … -->
,
s
ℓ ℓ -->
{\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }}
切断 を持っていると、
ℓ ℓ -->
{\displaystyle \ell }
w
k
− − -->
ℓ ℓ -->
+
1
=
⋯ ⋯ -->
=
w
k
=
0
{\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0}
第一スティーフェル・ホイットニー類が 0 であることと、バンドルが向き付け可能 であることとは同値である。特に、多様体 M が向き付け可能であることと w 1 (TM ) = 0 は同値である。
バンドルがスピン構造 を持つことと、第一と第二スティーフェル・ホイットニー類がともに 0 であることとは同値である。
向き付け可能なバンドルに対し、第二スティーフェル・ホイットニー類は自然な射影 H 2 (M , Z ) → H 2 (M , Z /2Z ) の像の中にある（同じことであるが、いわゆる、第三整数係数 のスティーフェル・ホイットニー類が 0 である）ことと、バンドルが spinc 構造 を持つことは同値である。
滑らかな多様体 X のすべてのスティーフェル・ホイットニー数が 0 であることと、多様体が滑らかなコンパクトな多様体の（向きつけられていない）境界であることとは同値である。この条件は充分条件でもある。
ラインバンドルに関する上記の全単射は、4つの公理を満たす函手 θ は次の議論により w と等しいことを意味する。第二の公理は、θ(γ1 ) = 1 + θ1 (γ1 ) であることを意味する。包含写像 i : P 1 (R ) → P ∞ (R ) に対し、引き戻しバンドル i* γ1 は
γ γ -->
1
1
{\displaystyle \gamma _{1}^{1}}
i
∗ ∗ -->
θ θ -->
1
(
γ γ -->
1
)
=
θ θ -->
1
(
i
∗ ∗ -->
γ γ -->
1
)
=
θ θ -->
1
(
γ γ -->
1
1
)
=
w
1
(
γ γ -->
1
1
)
=
w
1
(
i
∗ ∗ -->
γ γ -->
1
)
=
i
∗ ∗ -->
w
1
(
γ γ -->
1
)
{\displaystyle i^{*}\theta _{1}(\gamma ^{1})=\theta _{1}(i^{*}\gamma ^{1})=\theta _{1}(\gamma _{1}^{1})=w_{1}(\gamma _{1}^{1})=w_{1}(i^{*}\gamma ^{1})=i^{*}w_{1}(\gamma ^{1})}
i* : H 1 (P ∞ (R ); Z /2Z ) → H 1 (P 1 (R ); Z /2Z ) は同型であるので、
θ θ -->
1
(
γ γ -->
1
)
=
w
1
(
γ γ -->
1
)
{\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})}
1 ) = w (γ1 ) であることが分かる。E を空間 X 上のランク n の実ベクトルバンドルとすると、E は分解写像 （英語版 ） X が存在し、
f
∗ ∗ -->
:
H
∗ ∗ -->
(
X
;
Z
/
2
Z
)
)
→ → -->
H
∗ ∗ -->
(
X
′
;
Z
/
2
Z
)
{\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}
λ λ -->
i
→ → -->
X
′
{\displaystyle \lambda _{i}\to X'}
f
∗ ∗ -->
E
=
λ λ -->
1
⊕ ⊕ -->
⋯ ⋯ -->
⊕ ⊕ -->
λ λ -->
n
{\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}}
f : X′ → X となる。X 上の任意のラインバンドルは、ある写像 g に対し g* γ1 の形をし、自然に θ(g* γ1 ) = g* θ(γ1 ) = g*w (γ1 ) = w (g* γ1 ) となる。このように
V
e
c
t
1
(
X
)
{\displaystyle Vect_{1}(X)}
w となる。上記の四番目の公理からは、
f
∗ ∗ -->
θ θ -->
(
E
)
=
θ θ -->
(
f
∗ ∗ -->
E
)
=
θ θ -->
(
λ λ -->
1
⊕ ⊕ -->
⋯ ⋯ -->
⊕ ⊕ -->
λ λ -->
n
)
=
θ θ -->
(
λ λ -->
1
)
⋯ ⋯ -->
θ θ -->
(
λ λ -->
n
)
=
w
(
λ λ -->
1
)
⋯ ⋯ -->
w
(
λ λ -->
n
)
=
w
(
f
∗ ∗ -->
E
)
=
f
∗ ∗ -->
w
(
E
)
{\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}
であることが分かる。f* は単射であるので、θ = w であるからである。このように、スティーフェル・ホイットニー類は 4つの公理を満たし、一意的な函手である。
写像 w 1 : Vect1 (X ) → H 1 (X ; Z /2Z ) は全単射であるにもかかわらず、対応する写像は高次元では必ずしも単射となるわけではない。たとえば、n を偶数として、接バンドル TSn を考えると、R n +1Sn の標準的な埋め込みを持つ Sn への法バンドル ν はラインバンドルである。Sn は向きつけ可能であるので、ν は自明である。和 TSn ⊕ ν はまさに T R n +1Sn への制限であり、R n +1w (TSn ) = w (TSn )w (ν) = w (TSn ⊕ ν) = 1 である。しかし TSn → Sn は自明ではない。そのオイラー類
e
(
T
S
n
)
=
χ χ -->
(
T
S
n
)
[
S
n
]
=
2
[
S
n
]
≠
0
{\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\not =0}
Sn ] は Sn の基本類 を表し、χ はオイラー標数 を表す。
次元 n の多様体上で考えると、全次数 n のスティーフェル・ホイットニー類の任意の積は、与えられた Z /2Z の元を与える多様体の Z /2Z -基本類 (fundamental class)、ベクトルバンドルのスティーフェル・ホイットニー数 (Stiefel–Whitney number)とペアとすることができる。たとえば、多様体の次元を 3 とすると、3つの線型独立な
w
1
3
,
w
1
w
2
,
w
3
{\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}}
n であれば、独立なスティーフェル・ホイットニー数の数は、n の分割数 となる。
滑らかな多様体の接バンドルのスティーフェル・ホイットニー数を、多様体のスティーフェル・ホイットニー数を呼ぶ。スティーフェル・ホイットニー数はコボルディズム (cobordism)不変量であることが知られている。このことはレフ・ポントリャーギン (Lev Pontryagin)により証明され、B が滑らかなコンパクトな (n +1)–次元多様体で M と等しい境界を持っているとすると、M のスティーフェル・ホイットニー数は、すべて 0 となる[ 1] M のすべてのスティーフェル・ホイットニー数が 0 であれば、M はある滑らかなコンパクトな多様体の境界として実現することができることが、ルネ・トム (René Thom)により証明された[ 2]
手術理論 （英語版 ） k +1)-次元多様体
w
2
w
4
k
− − -->
1
{\displaystyle w_{2}w_{4k-1}}
ド・ラーム不変量 （英語版 ）
スティーフェル・ホイットニー類 wk は、(Wu 1955 ) で吳文俊 （英語版 ） ウー類 (Wu classes) vk のスティンロッドの平方根 （英語版 ） Sq (v ) = w である。ウー類はいつも暗にスティンロッドの平方根の項でスティンロッドの平方根を表現するコホモロジー類として定義される。多様体 X を n 次元とすると、次数 n-k のコホモロジー類 x に対し、
v
k
∪ ∪ -->
x
=
S
q
k
(
x
)
{\displaystyle v_{k}\cup x=Sq^{k}(x)}
⟨ ⟨ -->
v
k
∪ ∪ -->
x
,
μ μ -->
⟩ ⟩ -->
=
⟨ ⟨ -->
S
q
k
(
x
)
,
μ μ -->
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle Sq^{k}(x),\mu \rangle }
n-k のコホモロジー類 x に対し同じことになる[ 3]
元
β β -->
w
i
∈ ∈ -->
H
i
+
1
(
X
;
Z
)
{\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )}
i + 1 整数 スティーフェル・ホイットニー類と呼ばれる。ここに β はボックシュタイン準同型 （英語版 ） Z → Z /2Z に対応する。
β β -->
: : -->
H
i
(
X
;
Z
/
2
)
→ → -->
H
i
+
1
(
X
;
Z
)
.
{\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2)\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).}
たとえば、第三の整数スティーフェル・ホイットニー類は、Spinc 構造 への障害である。
スティンロッド代数 （英語版 ）
w
2
i
{\displaystyle w_{2^{i}}}
S
q
i
(
w
j
)
=
∑ ∑ -->
t
=
0
i
(
j
+
t
− − -->
i
− − -->
1
t
)
w
i
− − -->
t
w
j
+
t
.
{\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.}
を満たす[ 4]
^ Pontrjagin, L. S. (1947). “Characteristic cycles on differentiable manifolds” (Russian). Math. Sbornik N. S. 21 (63): 233–284. ^ Milnor, J. W.; Stasheff, J. D. (1974). Characteristic Classes . Princeton University Press. pp. 50–53. ISBN 0-691-08122-0 ^ Milnor, J. W.; Stasheff, J. D. (1974). Characteristic Classes . Princeton University Press. pp. 131–133. ISBN 0-691-08122-0 ^ (May 1999 , p. 197)
![{\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} _{2})=\mathbf {Z} _{2}[a]/(a^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83764336a90032dafb6a173c3e257df593f8f196)
![{\displaystyle [X;Gr_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba81fe48bb76522c8763f8f2ff67ec3622572613)
![{\displaystyle [X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )]=H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb5190f5b220365d60e970ff5b2caeef34e39af)
![{\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\not =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10fd2a9a4d285c3337f6cde3a715a011c799addc)
