In matematica, il teorema di Rellich-Kondrachov è un risultato relativo all'immersione compatta in spazi di Sobolev. Il nome del teorema è dovuto a Franz Rellich e Vladimir Iosifovich Kondrashov: Rellich mostrò il teorema in spazi ${\displaystyle L^{2}}$, mentre Kondrashov fornì il caso di ${\displaystyle L^{p}}$.

Sia ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ un dominio lipschitziano aperto e limitato, e sia ${\displaystyle p\in \mathbb {R} }$. Sia

${\displaystyle p^{*}:={\frac {np}{n-p}},}$

allora

• se ${\displaystyle 1\leq p<n}$, lo spazio di Sobolev ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} )}$ è immerso con continuità nello spazio L^p ${\displaystyle L^{p^{*}}(\Omega ,\mathbb {R} )}$, ed è immerso con compattezza nello spazio ${\displaystyle L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} )}$, per ogni ${\displaystyle 1\leq q<p^{*}}$: ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{p^{*}}(\Omega )\qquad W^{1,p}(\Omega )\subset \subset L^{q}(\Omega )\quad 1\leq q<p^{*};}$
• se p=n, lo spazio di Sobolev ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} )}$ è immerso con compattezza nello spazio ${\displaystyle L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} )}$, per ogni ${\displaystyle 1\leq q<\infty }$: ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\subset \subset L^{q}(\Omega )\quad 1\leq q<\infty ;}$
• se p>n, lo spazio di Sobolev ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} )}$ è immerso con compattezza nello spazio ${\displaystyle C({\bar {\Omega }},\mathbb {R} )}$: ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\subset \subset C({\bar {\Omega }})\quad 1\leq q<\infty ;}$

Dal momento che un'immersione è compatta se e solo se l'operatore di inclusione è compatto, il teorema di Rellich-Kondrakov implica che ogni successione uniformemente limitata in ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} )}$ possiede una sottosuccessione convergente in ${\displaystyle L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} )}$. Enunciato in tal modo, questo risultato è conosciuto come teorema "di selezione" di Rellich-Kondrakov.

Il teorema di Rellich-Kondrakov può essere utilizzato per dimostrare la disuguaglianza di Poincaré, che afferma che per ${\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} )}$ (dove ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ soddisfa le medesime assunzioni poste in precedenza):

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}}$

per qualche costante ${\displaystyle C}$ dipendente soltanto da p e dalla geometria del dominio ${\displaystyle \Omega }$, dove:

${\displaystyle u_{\Omega }:={\frac {1}{\mathrm {meas} (\Omega )}}\int _{\Omega }u(x)\,\mathrm {d} x}$

denota il valor medio di ${\displaystyle u}$ su ${\displaystyle \Omega }$.

• (EN) Evans, Lawrence C., Differential Equations, Partial, 2nd, American Mathematical Society, 2010, ISBN 0-8218-4974-3.
• (DE) Franz Rellich, Ein Satz über mittlere Konvergenz, in Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. 1930, 24 gennaio 1930, pp. 30-35, Zbl 56.0224.02.

• Disuguaglianza di Sobolev (Teorema di immersione di Sobolev)
• Immersione continua
• Immersione compatta
• Operatore compatto
• Spazio di Sobolev
• Spazio Lp

• (EN) Rellich selection theorem, in PlanetMath.

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