Nativo della Sicilia, Puccio comincia a gareggiare in bicicletta a otto anni con i colori dell'UV Menfi, ottenendo diverse vittorie tra i giovanissimi. Nel 2002 si trasferisce con la famiglia a Petrignano di Assisi, in Umbria[4]. Dopo aver corso e ottenuto alcuni successi da esordiente di secondo anno con l'UC Bastia, nel 2004 inizia l'esperienza con la maglia dell'UC Petrignano, squadra con cui, da allievo e junior, ottiene oltre 20 vittorie[4].
Nel 2008 passa tra gli Under-23 con la toscana Bedogni-Grassi-Natalini, dove milita per tre anni, conquistando una vittoria, alla Coppa del Grano 2009, e diversi piazzamenti[4]. Nel 2011 approda ad un'altra squadra toscana, il Team Hopplà: in quella stagione vince cinque gare, tra cui due in maglia azzurra, il Giro delle Fiandre e la terza tappa del Toscana-Terra di ciclismo, entrambe corse valide per la Coppa delle Nazioni UCI[4].
Dopo aver già raggiunto un preaccordo nel giugno 2011[5], ottiene il primo contratto da professionista all'inizio del 2012, firmando per il team britannico Sky[3]. Il 5 maggio 2013, alla conclusione della cronometro a squadre del Giro d'Italia svoltasi nell'Isola d'Ischia e vinta dal suo team, grazie ai migliori piazzamenti ottenuti indossa la prestigiosa maglia rosa; mantiene il primato per un solo giorno.
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