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Inizia la sua carriera nel 1984 nei Linwood Rangers. Nel 1986 passa al St. Mirren, permanendovi fino al 1993. Nel 1993 viene acquistato dal Motherwell. Nel 1996, dopo tanti anni in Scozia, passa ai tedeschi del Borussia Dortmund, vincendo subito la Champions League ai danni della Juventus e giocando titolare.
Successivamente torna in patria accasandosi al Celtic. Qui trascorse otto anni divenendo il perno del centrocampo dei biancoverdi e contribuendo alle numerose vittorie in campionato della squadra di Glasgow. Finì la carriera al Livingston nel 2006, essendo il cosiddetto player-manager (calciatore-allenatore) della squadra.
Dopo essersi ritirato dall'attività agonistica, Lambert ha intrapreso subito la carriera di allenatore. La sua prima esperienza da tecnico arriva nel 2006, sulla panchina del Wycombe Wanderers.
Tra il 2009 ed il 2012 ha allenato il Norwich City, squadra con cui ha vinto la Football League One (terza divisione inglese) nella stagione 2009-2010 e che ha portato alla promozione in Premier League al termine dell'annata successiva. All'esordio in massima serie, la sua squadra ha concluso il campionato con un ottimo 12º posto.
Il 2 giugno 2012 è diventato il nuovo allenatore dell'Aston Villa, per sostituire l'esonerato Alex McLeish. Dopo tre stagioni altalenanti, l'11 febbraio 2015 è stato sollevato dall'incarico, con la squadra ferma al terzultimo posto in classifica.
Il 15 novembre 2015 viene ingaggiato dal Blackburn Rovers, squadra militante nel Championship, firmando un contratto triennale. Il 28 aprile 2016 comunica alla società di voler lasciare la panchina dei i Rovers al termine della stagione.