Dopo aver giocato nell'Ivrig/Ramnes a livello giovanile, Kirkevold è passato all'HamKam. Per questa squadra, ha contribuito alla promozione in 1. divisjon arrivata al termine del campionato 2010. Il 3 aprile 2011 ha esordito così in questa divisione, schierato titolare nel pareggio per 1-1 maturato sul campo dell'Asker.[3] Il 3 luglio successivo ha trovato la prima rete in campionato, nel pareggio per 3-3 maturato sul campo del Kongsvinger.[4] È rimasto in squadra fino al termine di quella stessa stagione.
Nel 2012, Kirkevold è stato ingaggiato dal Mjøndalen. Ha debuttato con questa casacca il 9 aprile, schierato titolare nel successo per 0-1 arrivato in casa dell'Alta, grazie proprio ad una sua rete.[5] Kirkevold è rimasto in squadra per un biennio, in cui ha totalizzato complessivamente 62 presenze e 29 reti, tra tutte le competizioni.
Il 15 novembre 2013, il Sandefjord ha reso noto d'aver ingaggiato Kirkevold a parametro zero, col calciatore che si è legato al nuovo club con un contratto biennale, valido a partire dal 1º gennaio 2014.[6] Ha esordito in squadra il 6 aprile, trovando anche una rete nella vittoria per 0-2 sul campo dell'Ullensaker/Kisa.[7] Con 19 reti, si è laureato capocannoniere del campionato ed ha contribuito alla promozione della sua squadra in Eliteserien. In virtù delle sue prestazioni, è stato nominato miglior calciatore della 1. divisjon 2014.[8]
Il 6 aprile 2015 ha giocato quindi la prima partita nella massima divisione locale, impiegato da titolare nel 3-1 inflitto al Bodø/Glimt.[9] Il 26 aprile ha trovato la prima rete in questa divisione, nella sconfitta per 3-2 contro lo Strømsgodset.[10]
Il 3 settembre 2015, i danesi dell'Hobro hanno reso noto l'ingaggio di Kirkevold, che si è legato al nuovo club con un contratto triennale.[11] Ha debuttato in Superligaen l'11 settembre successivo, nella sconfitta interna per 0-3 contro l'Aarhus.[12] Il 28 settembre ha siglato la prima rete nella massima divisione danese, nel 2-2 contro l'Esbjerg.[13]
Il 31 marzo 2016, l'Hobro ha comunicato ufficialmente d'aver ceduto Kirkevold ai norvegesi del Sarpsborg 08 con la formula del prestito, valido fino al 30 giugno successivo.[14] Il 3 aprile è così tornato a calcare i campi dell'Eliteserien, venendo schierato titolare nel pareggio per 0-0 contro il Sogndal.[10] Il 24 aprile ha trovato le prime reti, con una doppietta messa a segno ai danni del Molde, con cui ha contribuito al successo per 4-0 della sua squadra.[15] Il 16 giugno 2016, Hobro e Sarpsborg 08 hanno concordato l'estensione del prestito del calciatore fino al termine della stagione norvegese.[16] Ha chiuso l'annata con 33 presenze e 8 reti, tra campionato e coppa.
Tornato all'Hobro per fine prestito, ha ritrovato la squadra in 1. Division, secondo livello del campionato. È tornato a vestire questa maglia il 5 marzo, schierato titolare nel 2-0 inflitto all'Helsingør.[17] Al termine di quella stessa annata, l'Hobro ha fatto ritorno in Superligaen.
Il 30 luglio 2021, Kirkevold ha fatto ufficialmente ritorno in Norvegia, firmando un contratto con lo Stabæk: ha scelto di vestire la maglia numero 9.[18]
Il 30 gennaio 2022 ha firmato nuovamente per l'HamKam, a cui si è legato con un accordo annuale.[19]
Il 4 settembre 2023 ha prolungato il contratto che lo legava al club, fino al 31 dicembre 2025.[20]
Nazionale
Il 31 ottobre 2017 ha ricevuto la prima convocazione da parte del commissario tecnicoLars Lagerbäck, in vista delle partite amichevoli che la Norvegia avrebbe disputato contro Macedonia del Nord e Slovacchia, previste rispettivamente per l'11 ed il 14 novembre successivi.[21] L'11 novembre ha quindi effettuato il proprio esordio, subentrando ad Alexander Sørloth nella sfida persa per 2-0 contro la selezione macedone.[22]
