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In meccanica quantistica il gradino di potenziale (o salto di potenziale) è un potenziale proporzionale al gradino di Heaviside:

V(x)=V_{0}\Theta (x)={\begin{cases}0&x<0\\V_{0}&x>0\end{cases}}

Gradino di potenziale e soluzioni classiche.

Questo tipo di studio quantistico è tipico di un fascio di particelle quantistiche che viaggiano nella direzione positiva dell'asse x: per $x<0$ le particelle sono libere, per $x>0$ sono sottoposte ad un potenziale costante $V_{0}$ . Nella meccanica classica le particelle che arrivano alla barriera di potenziale con $E>V_{0}$ superano il gradino di potenziale e proseguono con energia minore e quindi con velocità minore; per $E<V_{0}$ le particelle classiche rimbalzano e riprendono il moto nella direzione opposta. Vedremo che in meccanica quantistica per $E<V_{0}$ si ha una probabilità non nulla che le particelle si trovino oltre la barriera, mentre, per $E>V_{0}$ ci possono essere particelle che rimbalzano sulla barriera.

L'equazione di Schrödinger è in generale:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\,\psi (x)=E\,\psi (x)

poiché il potenziale divide la regione in due zone (vedi figura): la prima per $x<0$ , la seconda $x>0$ , il problema va trattato in ognuna delle due zone separatamente e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza del punto di separazione $x=0$ .

{\begin{cases}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)=E\,\psi (x)&x<0\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V_{0}\,\psi (x)=E\,\psi (x)&x>0\end{cases}}

Dobbiamo cercare soluzioni che siano appartenenti a ${\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} )$ e imporre inoltre che siano continue con derivata prima continua nel punto di discontinuità $x=0$ . Bisogna subito chiarire che non esistono soluzioni per $E<0$ , mentre si possono presentare i due casi: $E>V_{0}$ ed $E<V_{0}$ .

Consideriamo il caso $E>V_{0}$ . Riscriviamo le equazioni:

{\begin{cases}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+k^{2}\psi (x)=0&x<0\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+q^{2}\psi (x)=0&x>0\end{cases}}

dove $k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$ e $q^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}$ . Queste equazioni hanno soluzione generale in termini di esponenziale complesso date da:

{\begin{cases}\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}&x<0\\\psi (x)=Ce^{iqx}+De^{-iqx}&x>0\end{cases}}

con A, B, C, D coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Nel caso $x>0$ , si deve porre $D=0$ poiché fisicamente non vi può essere onda di ritorno. Queste funzioni d'onda corrispondono al moto di un fascio di particelle incidenti. Ricordiamo che la densità di corrente di probabilità, associata a una funzione d'onda $\psi$ è definita come:

J=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{\ast }{\frac {d}{dx}}\psi -\psi {\frac {d}{dx}}\psi ^{\ast }\right){\text{.}}

Dunque, indicando con $J_{i}$ il flusso di particelle incidenti, che si muovono lungo l'asse x con velocità $v=\hbar \,k/m$ , l'onda piana incidente, per $x<0$ , è quella con l'esponenziale positivo:

J_{i}=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(A^{*}e^{-ikx}{\frac {d}{dx}}Ae^{ikx}-Ae^{ikx}{\frac {d}{dx}}A^{*}e^{-ikx}\right)={\frac {\hbar k}{m}}|A|^{2}.

Quindi, si deve porre $A=1$ , in modo da considerare il flusso unitario di particelle incidenti. Le nostre soluzioni sono:

\psi (x)={\begin{cases}e^{ikx}+Be^{-ikx}&x<0\\Ce^{iqx}&x>0\end{cases}}

Le costanti B e C sono fissati dalla condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in $x=0$ ; La

1+B=C

è dovuta al raccordo delle funzioni d'onda in $x=0$ e la

k\,(1-B)=q\,C

esprime la continuità delle derivate prime della funzione d'onda.

Ricaviamo B e C:

B={\frac {k-q}{k+q}}

C={\frac {2k}{k+q}}

Classicamente il fascio di particelle incidenti attraverserebbe il gradino di potenziale, subendo un'attenuazione della quantità di moto, invece nel caso quantistico si ha una componente riflessa:

J_{r}=-{\frac {\hbar k}{m}}\vert B\vert ^{2}=-{\frac {\hbar k}{m}}\left({\frac {k-q}{k+q}}\right)^{2}

cioè un flusso di particelle riflesse con la stessa velocità, in modulo, del flusso incidente $v=\hbar \,k/m$ . Ricordando la definizione del coefficiente di riflessione, R, definito come modulo del rapporto tra $J_{r}$ e $J_{i}$ , risulta:

R=|B|^{2}=\left({\frac {k-q}{k+q}}\right)^{2}

Una parte del flusso incidente viene riflesso, ma una parte viene trasmessa oltre il gradino di potenziale:

J_{t}={\frac {\hbar q}{m}}|C|^{2}={\frac {\hbar q}{m}}\left({\frac {2k}{k+q}}\right)^{2}

Ricordando la definizione di coefficiente di trasmissione, T, definito come modulo del rapporto tra $J_{t}$ e $J_{i}$ , otteniamo:

T={\frac {q}{k}}|C|^{2}={\frac {4kq}{(k+q)^{2}}}

dove vale sempre la relazione $R+T=1$ .

Consideriamo ora il caso $E<V_{0}$ , per cui $q^{2}$ è un numero

immaginario che riscriviamo nella forma

q^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}=-\lambda ^{2}<0{\text{.}}

La soluzione dell'equazione di Schrödinger nel caso $x>0$ diventa:

\psi (x)=C\,e^{-\lambda x}

infatti l'esponenziale positivo non converge all'infinito. Valgono in tal caso tutti i risultati visti sopra con la sostituzione di $q\,\rightarrow \,i\lambda$ :

B={\frac {k-i\lambda }{k+i\lambda }}

C={\frac {2k}{k+i\lambda }}

Soluzioni dell'equazione di Schrödinger per un gradino di potenziale.

In particolare, i coefficienti di riflessione e trasmissione diventano:

R=\left\vert {\frac {J_{r}}{J_{i}}}\right\vert =\left\vert {\frac {k-i\lambda }{k+i\lambda }}\right\vert ^{2}=1

T=\left\vert {\frac {J_{t}}{J_{i}}}\right\vert =0,

essendo $J_{t}=0$ . Si ha come nel caso classico riflessione totale, come c'era da aspettarsi, poiché l'energia è molto minore del potenziale. Tuttavia, si ha una probabilità non nulla che il fascio di particelle attraversi la barriera: questo effetto è chiamato effetto tunnel (si veda anche il caso della barriera di potenziale).