Nella teoria della probabilità, la funzione caratteristica di una generica distribuzione di probabilità definita sulla retta reale, concetto principalmente sistematizzato da Lukacs, è genericamente una qualsiasi funzione del tipo:

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\,e^{itx}\,dx,}$

dove ${\displaystyle X}$ è una qualsiasi variabile casuale con la distribuzione in questione, ${\displaystyle t}$ è un numero reale, ${\displaystyle \operatorname {E} }$ indica il valore atteso e ${\displaystyle F}$ è la funzione di distribuzione cumulativa. La prima definizione è un integrale di Riemann-Stieltjes ed è valida indipendentemente dall'esistenza della funzione di densità di probabilità ${\displaystyle f}$, mentre la seconda è valida nel caso in cui la densità esista.

Se ${\displaystyle X}$ è una variabile casuale vettoriale, si può considerare l'argomento ${\displaystyle t}$ come vettore e ${\displaystyle tX}$ come prodotto scalare.

Una funzione caratteristica esiste per ogni variabile casuale. Inoltre, esiste una biiezione fra funzioni di distribuzione cumulativa e funzioni caratteristiche. In altre parole, due distribuzioni di probabilità non condividono mai la stessa funzione caratteristica, a meno che non coincidano.

Data una funzione caratteristica ${\displaystyle \phi }$, è possibile ricostruire la funzione di ripartizione ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle F_{X}(y)-F_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-itx}-e^{-ity}}{it}}\,\phi _{X}(t)\,dt.}$

In generale questo è un integrale improprio; la funzione integranda può essere anche condizionatamente integrabile piuttosto che Lebesgue-integrabile, cioè l'integrale del suo valore assoluto può essere infinito.

Si può inoltre accedere, qualora esista, alla funzione di densità di probabilità operando come segue

${\displaystyle {\frac {F_{X}(x+\xi )-F_{X}(x-\xi )}{2\xi }}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-it(x-\xi )}-e^{-it(x+\xi )}}{2it\xi }}\,\phi _{X}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{it\xi }-e^{-it\xi }}{2it\xi }}\,e^{-itx}\phi _{X}(t)\,dt.}$

Compare così la definizione di seno all'interno dell'integrale

${\displaystyle {\frac {F_{X}(x+\xi )-F_{X}(x-\xi )}{2\xi }}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(t\xi )}{t\xi }}\,e^{-itx}\phi _{X}(t)\,dt.}$

Facendo il limite di ${\displaystyle \xi \rightarrow 0}$ otteniamo

${\displaystyle \lim _{\xi \rightarrow 0}{\frac {F_{X}(x+\xi )-F_{X}(x-\xi )}{2\xi }}=f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-itx}\phi _{X}(t)\,dt.}$

Le funzioni caratteristiche sono usate nella dimostrazione più comune del teorema del limite centrale.

Le funzioni caratteristiche possono essere anche usate per trovare i momenti di una variabile casuale. A condizione che il momento ${\displaystyle n}$-esimo esista, la funzione caratteristica può essere derivata ${\displaystyle n}$ volte e

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{n}\right)=(-i)^{n}\,\phi _{X}^{(n)}(0)=(-i)^{n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\phi _{X}(t)\right]_{t=0}.}$

Nozioni correlate includono la funzione generatrice dei momenti e la funzione generatrice di probabilità.

La funzione caratteristica è strettamente legata alla trasformata di Fourier: la funzione caratteristica di una distribuzione con funzione di densità ${\displaystyle f}$ è proporzionale alla trasformata di Fourier inversa di ${\displaystyle f}$.

Le funzioni caratteristiche sono particolarmente utili nel trattare funzioni di variabili casuali indipendenti. Ad esempio, se ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ è una successione di variabili casuali indipendenti, e

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}$

dove le ${\displaystyle a_{i}}$ sono costanti, allora la funzione caratteristica per ${\displaystyle S_{n}}$ è data da

${\displaystyle \phi _{S_{n}}(t)=\prod _{i=1}^{n}\phi _{X_{i}}(a_{i}t).}$

• Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003

• Funzione di distribuzione
• Funzione di densità di probabilità

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione caratteristica, su MathWorld, Wolfram Research.

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