In matematica, la funzione Xi (Ξ) di Riemann è una funzione definita in modo tale da avere un'equazione funzionale particolarmente semplice. Essa è una variante della funzione zeta di Riemann.

La funzione ${\displaystyle \xi }$ (xi minuscola) originale di Riemann è stata rinominata in funzione Ξ (Xi maiuscola) dal matematico tedesco Edmund Landau.

La funzione ${\displaystyle ~\xi ~}$ fu definita, infatti, da Landau come^[1]:

${\displaystyle \xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)}$

per ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$, con ${\displaystyle \zeta (s)}$ che indica la funzione zeta di Riemann e ${\displaystyle \Gamma (s)}$ la funzione Gamma.

L'equazione funzionale per la ${\displaystyle ~\Xi ~}$ di Landau è ${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)~.}$

Invece, la funzione originale di Riemann fu rinominata da Landau^[1] in funzione ${\textstyle ~\Xi ~}$ come ${\textstyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right),}$ che obbedisce all'equazione funzionale ${\textstyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$

Si noti che la funzione ${\displaystyle ~\Xi ~}$ sopra riportata è invero la funzione originariamente indicata da Riemann con la lettera minuscola ${\displaystyle ~\xi ~}$^[1]. Entrambe sono funzioni intere e puramente reali per argomenti reali.

La forma generale per numeri interi pari positivi è

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

dove B _n indica l'n-esimo numero di Bernoulli. Per ${\displaystyle n=1}$ si ha ${\textstyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}.}$

La funzione ${\displaystyle \xi }$ ha la seguente espansione in serie

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

dove

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$ e la sommatoria è presa sugli zeri non banali ρ della funzione zeta, in numero di ${\displaystyle |\Im (\rho )|.}$

Questa espansione gioca un ruolo di particolare importanza nel criterio di Li, secondo il quale l'ipotesi di Riemann equivale ad avere ${\displaystyle \lambda _{n}>0,\forall n>0.}$

Una semplice espansione con prodotto infinito è data da:

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}$ dove ρ spazia sulle radici di ξ.

Per garantire la convergenza nell'espansione, il prodotto dovrebbe essere preso sulle "coppie corrispondenti" di zeri: quei fattori per una coppia di zeri della forma ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle 1-\rho }$ dovrebbero, quindi, essere raggruppati insieme.

• (DE) Edmund Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, III, New York, Chelsea, 1974 [1909].
• (EN) J. B. Keiper, Power series expansions of Riemann’s $\xi$ function, in Mathematics of Computation, LVIII, n. 198, 1º maggio 1992, pp. 765–765, DOI:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.

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