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Le formule di Waring sono formule algebriche utilizzate nella soluzione di un sistema simmetrico, e derivano dalle teorie di Edward Waring, matematico britannico del XVIII secolo.

Le formule più utilizzate sono quelle per potenze del binomio di ordine ${\displaystyle n=2}$ oppure ${\displaystyle n=3}$, che sono quelle del quadrato e cubo del binomio. Questo calcolo serve a trasformare le potenze del binomio di variabili ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ in somme e prodotti di queste variabili. Tali somme e prodotti di queste variabili sono riconducibili alla forma canonica di un sistema simmetrico. Da notare che: ${\displaystyle s=a+b}$ e ${\displaystyle p=ab}$.

1. ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=s^{2}-2p;}$
2. ${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=s^{3}-3ps;}$
3. ${\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a+b)^{4}-4a^{3}b-6a^{2}b^{2}-4ab^{3}=(a+b)^{4}-4ab(a^{2}+b^{2})-6a^{2}b^{2}=s^{4}-4p(s^{2}-2p)-6p^{2}=s^{4}-4ps^{2}+2p^{2};}$
4. ${\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)^{5}-5ab(a^{3}+b^{3})-10a^{2}b^{2}(a+b)=s^{5}-5ps^{3}+5p^{2}s;}$
5. ${\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a+b)^{6}-6ab(a^{4}+b^{4})-15a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-20a^{3}b^{3}=s^{6}-6ps^{4}+9p^{2}s^{2}-2p^{3};}$
6. ${\displaystyle a^{7}+b^{7}=(a+b)^{7}-7ab(a^{5}+b^{5})-21a^{2}b^{2}(a^{3}+b^{3})-35a^{3}b^{3}(a+b)=s^{7}-7ps^{5}+14p^{2}s^{3}-7p^{3}s;}$
7. ${\displaystyle a^{8}+b^{8}=(a+b)^{8}-8ab(a^{6}+b^{6})-28a^{2}b^{2}(a^{4}+b^{4})-56a^{3}b^{3}(a^{2}+b^{2})-70a^{4}b^{4}=s^{8}-8ps^{6}+20p^{2}s^{4}-16p^{3}s^{2}+2p^{4}.}$

Per il postulato di Peano, la formula di Waring è deducibile per ogni potenza ${\displaystyle n.}$ Infatti la proprietà ${\displaystyle P(n)}$ è stata dedotta per ${\displaystyle n=2,3,4,}$ nei quali sono stati messi in evidenza i successivi passaggi algebrici, ed è perciò generalizzabile a ${\displaystyle n}$ qualsiasi.

Come già per la quarta potenza nella quale viene sostituita la formula della seconda potenza del binomio, la ricorsione delle prime 4 in quelle di ordine ${\displaystyle n}$-esimo, permette di esprimere il tutto in potenze della somma e prodotto delle variabili ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b.}$ È opportuno vedere le formule di Waring in relazione ai sistemi simmetrici in quanto sono nate ed essenzialmente si usano in questo contesto, nel quale è necessario trasformare le variabili in somme e prodotti.

La risoluzione con questo metodo per ogni potenza ${\displaystyle n}$ è evidente se si considera il triangolo di Tartaglia: data una potenza ${\displaystyle n,}$ per ogni termine del tipo ${\displaystyle a^{k}b^{(n-k)}}$, ne esiste uno del tipo ${\displaystyle a^{(n-k)}b^{k}}$. Con un raccoglimento a fattor comune dei due termini, si otterranno: un termine del tipo ${\displaystyle a^{(n-k)}b^{(n-k)}(a^{(2k-n)}+b^{(2k-n)})}$, per ${\displaystyle n-k<k}$, ossia ${\displaystyle n<2k}$.

Le formule di Waring sono deducibili (per una data potenza ${\displaystyle n}$) dalla formula di Tartaglia, scomponendo la sommatoria in tre tipi di termini:

• ${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$,
• ${\displaystyle a^{n/2}b^{n/2},\quad }$ per ${\displaystyle n}$ pari,
• ${\displaystyle a^{m}b^{m}(a^{o}+b^{o}),}$ dove:

${\displaystyle m=[1;n],}$

${\displaystyle o=[1;n-2k]}$ con ${\displaystyle k}$ numero intero.

Dunque, nelle sommatorie troviamo: la potenza ${\displaystyle n}$-esima del binomio, il prodotto dei termini elevato a metà potenza, dei termini "misti" di potenze del prodotto dei termini e di loro somme secondo multipli interi di 2 (fino a ${\displaystyle n}$; o ${\displaystyle n-1}$, se ${\displaystyle n}$ è dispari).

Abbiamo riportato le formule di Waring per potenze superiori alla quarta per generalizzare agevolmente la formula, a ${\displaystyle n}$ qualsiasi.

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)^{n}-\sum _{i=1}^{f_{1}}T_{i}a^{i}b^{i}[a^{n-2i}+b^{n-2i}]-f_{2},}$

dove:

• per ${\displaystyle n}$ dispari, ${\displaystyle {f_{1}}=n/2}$ e ${\displaystyle {f_{2}}=0}$;
• per ${\displaystyle n}$ pari, ${\displaystyle {f_{1}}=[n/2-1]}$ e ${\displaystyle {f_{2}}={T_{i}}a^{n/2}b^{n/2}}$, con ${\displaystyle T_{i}}$ coefficiente ${\displaystyle i}$-esimo del triangolo di Tartaglia per la potenza ${\displaystyle n}$, iniziando a contare da quello più a sinistra.

• Edward Waring
• Problema di Waring

• (EN) Eric W. Weisstein, Formule di Waring, su MathWorld, Wolfram Research.

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