Nel 1934, fu avvicinato dal Werder Brema ma, invece di unirsi a loro, disse alla DFB che il Werder stava offrendo offerte finanziarie ai giocatori (a quel tempo il calcio era ancora strettamente amatoriale in Germania e non erano consentiti pagamenti ai giocatori).
La vicenda si è conclusa con la multa e la sospensione di alcuni dirigenti, giocatori e presidente della squadra.
Ha giocato dal 1934 al 1942 in 28 partite internazionali per la Germania e ha segnato 27 gol.
A soli 19 anni, il giovane tedesco Conen ha avuto un notevole impatto alla seconda Coppa del Mondo FIFA con i suoi tre gol nella sua prima partita del torneo contro il Belgio il 27 maggio. La partita è stata pareggiata sul 2-2 prima che il potente attaccante segnasse tre volte negli ultimi 17 minuti per consegnare ai tedeschi una vittoria per 5-2 a Firenze, in Italia. Questo risultato poteva essere pareggiato solo da Gerd Müller nel mondiale del 1970 contro il Perù. Riuscì a colpire il vincitore quando i tedeschi presero la medaglia di bronzo con una vittoria per 3-2 nello spareggio per il terzo posto contro l'Austria.
Due anni dopo, a 21 anni, la carriera di Conen fu interrotta a causa di una malattia. Questo lo ha tenuto lontano dal calcio per tre anni e mezzo. Conen è stato coraggioso e ha lottato per tornare in nazionale il 25 giugno 1939. In questa data a Copenaghen contro la Danimarca Conen ha fatto la rimonta perfetta, con un gol nella vittoria per 2:0. Durante la seconda guerra mondiale nel 1942, ha giocato la sua ultima partita internazionale. La nazionale tedesca ha vinto questa partita finale 5:3 Budapest contro l'Ungheria. Conen e un giovane Fritz Walter erano in fiamme per l'equipaggio di Sepp Herberger.
Dopo la fine della guerra Conen ha lavorato come allenatore, a metà degli anni '50, con l'Eintracht Braunschweig nel nord e il Wuppertaler SV nell'ovest. In seguito ha allenato il Bayer Leverkusen e in seguito altre squadre della città di Leverkusen come SV Schlebusch e BV Opladen. Conen morì nella primavera del 1990 a Leverkusen, solo pochi mesi prima che la Germania Ovest vincesse la sua terza Coppa del Mondo.
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