Armoniche sferiche
Dall'alto verso il basso: da l=0 a 4l,m e yl,-m sono equivalenti tra di loro ma ruotate di 90 gradi attorno all'asse z. In analisi matematica , le armoniche sferiche sono un insieme ortogonale di soluzioni dell'equazione di Legendre , introdotte per la prima volta da Laplace nel 1782 .[ 1] orbitali atomici , nella rappresentazione del campo gravitazionale dei pianeti e dei campi magnetici delle pulsar , e nella caratterizzazione della radiazione di fondo . Nella grafica 3D , giocano un ruolo determinante nell'illuminazione globale e nel riconoscimento di forme 3D. Sono anche alla base dei sistemi di geodesia utilizzati nell'EGM96 , il geoide standard di riferimento del WGS84 .
Le armoniche sferiche sono funzioni complesse continue limitate delle variabili angolari
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
meccanica quantistica , nel caso di moti centrali (per esempio nel calcolo delle configurazioni elettroniche di un atomo ), e nell'approssimazione del campo gravitazionale terrestre.
Definizione
Le soluzioni dell'equazione di Legendre sono di tipo polinomiale (avendo posto
l
{\displaystyle l}
polinomi di Legendre che sono ottenibili per
m
=
0
{\displaystyle m=0}
polinomi di Legendre associati e hanno la forma:[ 2]
P
l
m
(
x
)
=
(
− − -->
1
)
m
(
1
− − -->
x
2
)
m
2
d
m
P
l
(
x
)
d
x
m
,
{\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}P_{l}(x)}{dx^{m}}},}
dove
P
l
(
x
)
{\displaystyle P_{l}(x)}
polinomi di Legendre . In particolare si definiscono armoniche sferiche o funzioni sferiche le funzioni
Y
l
m
(
θ θ -->
,
φ φ -->
)
=
(
− − -->
1
)
m
+
|
m
|
2
{
2
l
+
1
4
π π -->
(
l
− − -->
|
m
|
)
!
(
l
+
|
m
|
)
!
}
1
2
P
l
|
m
|
(
cos
-->
θ θ -->
)
e
i
m
φ φ -->
,
{\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )={(-1)^{\frac {m+|m|}{2}}}\left\{{\frac {2l+1}{4\pi }}{\frac {(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}\right\}^{\frac {1}{2}}P_{l}^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },}
con la condizione
|
m
|
≤ ≤ -->
l
.
{\displaystyle |m|\leq l.}
Le armoniche sferiche, scritte in coordinate cartesiane, assumono la forma di polinomi complessi omogenei di grado
l
.
{\displaystyle l.}
Sia
n
^ ^ -->
{\displaystyle {\hat {n}}}
versore , quindi un oggetto geometrico individuato dalle coordinate
(
θ θ -->
,
φ φ -->
)
.
{\displaystyle (\theta ,\varphi ).}
[
Y
l
m
(
n
^ ^ -->
)
]
⋆ ⋆ -->
=
(
− − -->
1
)
m
Y
l
− − -->
m
(
n
^ ^ -->
)
.
{\displaystyle \left[Y_{l}^{m}({\hat {n}})\right]^{\star }=(-1)^{m}Y_{l}^{-m}({\hat {n}}).}
Parità totale. Sotto inversione di tutte le coordinate
x
→ → -->
− − -->
x
,
y
→ → -->
− − -->
y
,
z
→ → -->
− − -->
z
{\displaystyle x\to -x,y\to -y,z\to -z}
θ θ -->
→ → -->
π π -->
− − -->
θ θ -->
,
φ φ -->
→ → -->
φ φ -->
+
π π -->
{\displaystyle \theta \to \pi -\theta ,\varphi \to \varphi +\pi }
l
{\displaystyle l}
P
Y
l
m
(
θ θ -->
,
φ φ -->
)
=
Y
l
m
(
π π -->
− − -->
θ θ -->
,
φ φ -->
+
π π -->
)
=
(
− − -->
1
)
l
Y
l
m
(
θ θ -->
,
φ φ -->
)
{\displaystyle PY_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}
Parità nel piano
x
y
{\displaystyle xy}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
m
{\displaystyle m}
P
x
y
Y
l
m
(
θ θ -->
,
φ φ -->
)
=
Y
l
m
(
θ θ -->
,
φ φ -->
+
π π -->
)
=
(
− − -->
1
)
m
Y
l
m
(
θ θ -->
,
φ φ -->
)
{\displaystyle P_{xy}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi +\pi )=(-1)^{m}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}
Parità lungo
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
z
→ → -->
− − -->
z
{\displaystyle z\to -z}
P
z
Y
l
m
(
θ θ -->
,
φ φ -->
)
=
Y
l
m
(
π π -->
− − -->
θ θ -->
,
φ φ -->
)
=
(
− − -->
1
)
l
+
m
Y
l
m
(
θ θ -->
,
φ φ -->
)
{\displaystyle P_{z}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )=Y_{l}^{m}(\pi -\theta ,\varphi )=(-1)^{l+m}Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}
poiché
P
z
=
P
P
x
y
{\displaystyle P_{z}=P\,P_{xy}}
Armoniche sferiche e armoniche cilindriche
Le funzioni di Bessel sono legate alle funzioni di Bessel cilindriche
J
α α -->
{\displaystyle J_{\alpha }}
[ 3]
j
α α -->
(
x
)
=
π π -->
2
x
J
α α -->
+
1
/
2
(
x
)
.
{\displaystyle j_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{\alpha +1/2}(x).}
Le funzioni di Neumann sono legate alle funzioni di Neumann cilindriche
y
α α -->
{\displaystyle y_{\alpha }}
[ 3]
y
α α -->
(
x
)
=
π π -->
2
x
Y
α α -->
+
1
/
2
(
x
)
=
(
− − -->
1
)
α α -->
+
1
π π -->
2
x
J
− − -->
α α -->
− − -->
1
/
2
(
x
)
.
{\displaystyle y_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{\alpha +1/2}(x)=(-1)^{\alpha +1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-\alpha -1/2}(x).}
Le funzioni di Hankel sono definite in modo analogo alle funzioni di Hankel cilindriche
H
α α -->
{\displaystyle H_{\alpha }}
[ 4]
h
α α -->
(
1
)
(
x
)
=
j
α α -->
(
x
)
+
i
y
α α -->
(
x
)
{\displaystyle h_{\alpha }^{(1)}(x)=j_{\alpha }(x)+iy_{\alpha }(x)}
h
α α -->
(
2
)
(
x
)
=
j
α α -->
(
x
)
− − -->
i
y
α α -->
(
x
)
{\displaystyle h_{\alpha }^{(2)}(x)=j_{\alpha }(x)-iy_{\alpha }(x)}
Le prime armoniche sferiche
Le prime armoniche sferiche sono:[ 5]
l = 0
Y
0
0
(
x
)
=
1
2
1
π π -->
{\displaystyle Y_{0}^{0}(x)={\frac {1}{2}}{\sqrt {1 \over \pi }}}
l = 1
Y
1
− − -->
1
(
x
)
=
1
2
3
2
π π -->
e
− − -->
i
φ φ -->
sin
-->
θ θ -->
=
1
2
3
2
π π -->
(
x
− − -->
i
y
)
r
Y
1
0
(
x
)
=
1
2
3
π π -->
cos
-->
θ θ -->
=
1
2
3
π π -->
z
r
Y
1
1
(
x
)
=
− − -->
1
2
3
2
π π -->
e
i
φ φ -->
sin
-->
θ θ -->
=
− − -->
1
2
3
2
π π -->
(
x
+
i
y
)
r
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}e^{-i\varphi }\sin \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}{(x-iy) \over r}\\Y_{1}^{0}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over \pi }}\cos \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over \pi }}{z \over r}\\Y_{1}^{1}(x)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}e^{i\varphi }\sin \theta &&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3 \over 2\pi }}{(x+iy) \over r}\end{aligned}}}
l = 2
Y
2
− − -->
2
(
x
)
=
1
4
15
2
π π -->
e
− − -->
2
i
φ φ -->
sin
2
-->
θ θ -->
=
1
4
15
2
π π -->
(
x
2
− − -->
2
i
x
y
− − -->
y
2
)
r
2
Y
2
− − -->
1
(
x
)
=
1
2
15
2
π π -->
e
− − -->
i
φ φ -->
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
θ θ -->
=
1
2
15
2
π π -->
(
x
z
− − -->
i
y
z
)
r
2
Y
2
0
(
x
)
=
1
4
5
π π -->
(
3
cos
2
-->
θ θ -->
− − -->
1
)
=
1
4
5
π π -->
(
− − -->
x
2
− − -->
y
2
+
2
z
2
)
r
2
Y
2
1
(
x
)
=
− − -->
1
2
15
2
π π -->
e
i
φ φ -->
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
θ θ -->
=
− − -->
1
2
15
2
π π -->
(
x
z
+
i
y
z
)
r
2
Y
2
2
(
x
)
=
1
4
15
2
π π -->
e
2
i
φ φ -->
sin
2
-->
θ θ -->
=
1
4
15
2
π π -->
(
x
2
+
2
i
x
y
− − -->
y
2
)
r
2
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{-2i\varphi }\sin ^{2}\theta &&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(x^{2}-2ixy-y^{2}) \over r^{2}}\\Y_{2}^{-1}(x)&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{-i\varphi }\sin \theta \cos \theta &&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(xz-iyz) \over r^{2}}\\Y_{2}^{0}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}(3\cos ^{2}\theta -1)&&={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}{(-x^{2}-y^{2}+2z^{2}) \over r^{2}}\\Y_{2}^{1}(x)&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{i\varphi }\sin \theta \cos \theta &&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(xz+iyz) \over r^{2}}\\Y_{2}^{2}(x)&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}e^{2i\varphi }\sin ^{2}\theta &&={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}{(x^{2}+2ixy-y^{2}) \over r^{2}}\end{aligned}}}
Meccanica quantistica
Le armoniche sferiche sono importanti in meccanica quantistica perché sono autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale
L
2
{\displaystyle L^{2}}
z
{\displaystyle z}
operatore parità :
Y
l
,
m
(
θ θ -->
,
φ φ -->
)
≡ ≡ -->
⟨ ⟨ -->
θ θ -->
,
φ φ -->
|
l
,
m
⟩ ⟩ -->
.
{\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\varphi )\equiv \langle \theta ,\varphi |l,m\rangle .}
E si ha:
L
2
Y
l
m
=
l
(
l
+
1
)
ℏ ℏ -->
2
Y
l
m
{\displaystyle L^{2}Y_{l}^{m}={l(l+1)}\hslash ^{2}Y_{l}^{m}}
L
z
Y
l
m
=
m
ℏ ℏ -->
Y
l
m
.
{\displaystyle L_{z}Y_{l}^{m}=m\hslash Y_{l}^{m}.}
Inoltre poiché la parte angolare del laplaciano può essere scritta in funzione di
L
{\displaystyle L}
∇ ∇ -->
Ω Ω -->
2
=
1
r
2
sin
-->
θ θ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
θ θ -->
(
sin
-->
θ θ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
θ θ -->
)
+
1
r
2
sin
2
-->
θ θ -->
∂ ∂ -->
2
∂ ∂ -->
φ φ -->
2
=
− − -->
1
ℏ ℏ -->
2
r
2
L
2
,
{\displaystyle \nabla _{\Omega }^{2}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}=-{\frac {1}{\hslash ^{2}r^{2}}}L^{2},}
possiamo scrivere le soluzioni dell'equazione di Schrödinger come il prodotto di una funzione radiale per una armonica sferica. Infatti il momento angolare è il generatore delle rotazioni e in un sistema a simmetria sferica deve essere una costante del moto :
[
H
,
L
]
=
0.
{\displaystyle [H,L]=0.}
Le armoniche sferiche rappresentano l'ampiezza di probabilità che un sistema caratterizzato dai numeri quantici dell'operatore momento angolare
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
θ θ -->
,
φ φ -->
{\displaystyle \theta ,\varphi }
coordinate sferiche .
Note
^ Un resoconto storico può essere trovato in T.M. MacRobert, Capitolo IV Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications , Pergamon Press, 1967.
^ (EN Introduction to the Physics of Matter , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.13^ a b David J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica , Casa Editrice Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.149^ David J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica , Casa Editrice Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.408^ David J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica , Casa Editrice Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.146
Bibliografia
(EN Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-04-86-61272-0 . (capitolo 8 e capitolo 22 )Eduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen
John D Jackson, Elettrodinamica classica ISBN 978-88-08-09153-6 . Isaac Todhunter An elementary treatise on Laplace's functions, Lamé's functions and Bessel's functions [collegamento interrotto
Norman MacLeod Ferrers An elementary treatise on spherical harmonics and subjects connected with them
William Ellwood Byerly An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics.
Francis A. Tarleton An introduction to the mathematical theory of attraction (vol. 2)
Edmund T. Whittaker and George N. Watson Modern Analysis
Voci correlate
Altri progetti
Collegamenti esterni
(EN spherical harmonic Enciclopedia Britannica (EN Armoniche sferiche MathWorld (EN Armoniche sferiche Encyclopaedia of Mathematics Trattazione analitica mathworld.wolfram.com . Trattazione analitica math.ohio-state.edu . URL consultato il 28 febbraio 2006 (archiviato dall'url originale il 16 febbraio 2006) .
![{\displaystyle \left[Y_{l}^{m}({\hat {n}})\right]^{\star }=(-1)^{m}Y_{l}^{-m}({\hat {n}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8669025b341caa6f54a81956f66b97c1fce666a9)
![{\displaystyle [H,L]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debca8dbe28d5abe4c3b7f45bbf8159bdeb3170a)
