Ha iniziato la sua carriera nel karting nel 2011. Ha gareggiato in doversi campionati come il Super 1 National Rotax Mini Max Championship e ha vinto diversi campionati nazionali di karting.
All'inizio del 2019, Quinn non è riuscito a trovare un posto in un campionato. Tuttavia, a metà stagione gli è stata data l'opportunità di fare il suo debutto nella Eurocup Formula Renault per la sua ex squadra di F4Arden Motorsport. Ha guidato in tre fine settimana, riuscendo a conquistare un podio rispettivamente al Nürburgring e in Catalogna. Quinn è arrivato 13° nella classifica finale.
Nel 2020, Quinn ha sostituito Jackson Walls, che non è stato in grado di recarsi in Europa a causa delle restrizioni di viaggio dovute al COVID-19[3]. Quinn ha ottenuto la pole position per la prima gara della stagione, ha ottenuto un totale di cinque podi durante la stagione e ha vinto la seconda gara a Spa, aiutandolo a raggiungere il quarto posto nel campionato piloti. Ha anche vinto il titolo da rookie.
Nel maggio 2022, Velocity Racing e Arden hanno annunciato una collaborazione nel Campionato Nazionale U.S. F2000, Quinn debutta come loro pilota per le tre gare a Indianapolis[7]. Il britannico riesce a vincere tutte e tre le corse[8].