Valószínűségi vektorváltozó

A valószínűségszámításban a valószínűségi vektorváltozó egy többdimenziós valószínűségi változó. Lényegét tekintve egy valószínűségi mezőn definiált mérhető függvény, ami értékeit -ben veszi fel. A közönséges egydimenziós valószínűségi változók több tulajdonsága közvetlenül vagy kis módosítással átvihető valószínűségi vektorváltozókra.

Nem tévesztendők össze a sztochasztikus vagy valószínűségi vektorokkal, amelyek koordinátái pozitívok és összegük egy. A valószínűségi vektorváltozókra nincs ilyen megkötés, kimenetelük bármilyen vektor lehet.

Definíció

Jelölje a Borel-σ-algebrát. Legyen valószínűségi mező, természetes szám, ami legalább kettő. Ekkor egy dimenziós valószínűségi vektorváltozó egy -leképezés, amire .

Ekvivalens definíciók:

  • mérhető függvény egy alaphalmazú, Borel-σ-algebrával ellátott valószínűségi mezőn.
  • Legyen , ahol valós valószínűségi változók egy valószínűségi mezőn. Ez a definíció azt használja ki, hogy egy -be menő leképezés pontosan akkor mérhető, ha koordinátafüggvényei is.

Tulajdonságok

Momentumok

Ha a komponensei integrálhatók, akkor egy valószínűségi vektorváltozó várható értéke

,

azaz a komponenseinek várható értékeinek vektora.[1]

Ha a komponensek négyzetesen integrálhatók, akkor a második momentuma a kovarianciamátrixa. Ez egy méretű mátrix, ahol az -edik sor és a -edik oszlop metszetében és kovarianciája áll, azaz

.

Függetlenség

Legyenek és valószínűségi vektorváltozók ugyanazon a valószínűségi mezőn. Függetlenségüket az egydimenziós esethez hasonlóan a és generált σ-algebrák segítségével értelmezzük, ahol és kezdeti σ-algebrák.[2]

Eloszlás

A valószínűségi vektorváltozó eloszlása többdimenziós valószínűségeloszlás, és valószínűségi mérték -en. Pontosan ugyanaz, mint komponenseinek közös eloszlása.

A valószínűségi vektorváltozókhoz is rendelhető eloszlásfüggvény. Többdimenziós valószínűségeloszlásnak nevezik.

Folytonos és diszkrét valószínűségi vektorváltozók

A valós értékű vaklószínűségi változókhoz hasonlóan, ha egy valószínűségi vektorváltozónak van sűrűségfüggvénye, akkor abszolút folytonos vagy egyszerűen folytonos valószínűségi változó.[3] Ha egy valószínűségi vektorváltozó legfeljebb megszámlálható végtelen értéket vesz fel, akkor diszkrét.[4]

Konvergencia

Az eloszlásbeli konvergencia, a valószínűségbeli konvergencia és a majdnem biztos konvergencia problémamentesen átvihető, mivel ezek szeparábilis metrikus tereken vannak értelmezve, így -re is érvényesek.

Az eloszlásfüggvény szerinti konvergencia nem megy át; viszont Lévy folytonossági tétele továbbra is használható.

Cramér-Wold-tétel

A Cramér-Wold-tétel lehetővé teszi, hogy az -beli eloszlásbeli konvergenciát redukáljuk -beli eloszlásbeli konvergenciára.

Jelölje a skaláris szorzatot. Legyen valószínűségi vektorváltozók sorozata -ben. A következő állítások ekvivalensek:[5]

  • Az sorozat eloszlásban tart -hez
  • Minden esetén létezik egy valós valószínűségi változó úgy, hogy eloszlásban tart -hez.

Ha a két ekvivalens kifejezés teljesül, akkor eloszlása minden -re ugyanaz, mint .

Általánosítások

Egy lehetséges további általánosítás a véletlen mátrix avagy valószínűségi mátrixváltozó. Ez mátrix értékű valószínűségi változó, mely mátrixváltozós valószínűségi eloszlásból származik.

Jegyzetek

  1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 130.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 95.
  3. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 178.
  4. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 96.
  5. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 335.

Források

  • Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  • Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung, 2., átdolgozott és bővített, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2014). ISBN 978-3-642-45386-1 
  • David Meintrup, Stefan Schäffler. Stochastik. Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag (2005). ISBN 978-3-540-21676-6 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zufallsvektor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.