A racionális törtfüggvény a valós számok halmazának olyan önmagára való leképezése, amelyben a hozzárendelést két polinom hányadosával adjuk meg:

${\displaystyle y={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}}}}$ .

A függvény két polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény hányadosa. Az együtthatók lehetnek racionális, valós vagy komplex számok, az egyetlen kikötés, hogy ${\displaystyle Q_{n}(x)}$ nem lehet nulla, emiatt nem lehet az azonosan nulla polinom.

A leképezés értelmezési tartománya azokból a valós számokból áll, amelyekre ${\displaystyle Q_{n}(x)}$ nem nulla.

Ha a ${\displaystyle Q_{n}}$ polinom foka nulla, azaz konstans, akkor a függvény polinomfüggvény, vagyis racionális egészfüggvény.

Egyébként, ha a nevező foka nagyobb, akkor valódi racionális törtfüggvényről van szó.

Ha ez nem teljesül, akkor a racionális törtfüggvény nem valódi. Polinomosztással egy polinom és egy racionális törtfüggvény összegeként ábrázolható.

A táblázat mutat néhány példát a számláló különböző ${\displaystyle z}$ fokaira és a nevező különböző ${\displaystyle n}$ fokaira:

Példa	Alternatív írásmód	z =	n =	Függvénytípus
${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {3x^{3}-4x+5}{2}}}$	${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {3}{2}}x^{3}-2x+{\frac {5}{2}}}$	3	0	racionális egészfüggvény
${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {2x-1}{x^{2}+1}}}$		1	2	valódi racionális törtfüggvény
${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {(x-1)^{2}\cdot (x+2)}{x\cdot (2-3x^{2})}}}$	${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{3}-3x+2}{2x-3x^{3}}}}$	3	3	nem valódi racionális törtfüggvény
${\displaystyle f\colon x\mapsto x+1+{\frac {1}{x-1}}}$	${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{2}}{x-1}}}$	2	1	nem valódi racionális törtfüggvény

Mivel ${\displaystyle Q_{n}(x)}$-nek legfeljebb n nullhelye van, a függvény értelmezési tartománya legfeljebb n+1 nyílt intervallum uniója. Ezeken a nyílt intervallumokon a függvény folytonos és akárhányszor differenciálható. Az összefüggő zárt résztartományokon integrálható. A függvény grafikonja általában egy vagy több aszimptotával rendelkezik.

Az m illetve n fokszámú polinomokkal definiált törtfüggvényeket (m/n)-edfokúnak nevezzük, s a grafikonjuk r rendszámát az egyenletük implicit alakjában szereplő legmagasabb fokszámmal adjuk meg:

${\displaystyle {\begin{cases}y.Q_{n}(x)=P_{m}(x)\\y.a_{m}x^{m}+\dots =a_{n}x^{n}+\dots \end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}r=m+1,~(m+1\geq n)\\r=n,~(m+1<n)\end{cases}}}$

A görbe hiperbola (kúpszelet), explicit illetve implicit egyenlete:

${\displaystyle y={\frac {a}{x}}~;~xy=a}$

(Az ábrán ${\displaystyle a<0}$ együtthatójú görbe, aszimptotái a koordináta-rendszer tengelyei.)

A függvény és grafikonja az egyenes arányosság transzformáltja.

Pontosabban: negatív egész kitevőjű hatványfüggvény. Grafikonja hiperbolikus típusú görbe. Páros kitevő esetén a két ága az Y tengelyre, páratlan kitevő esetén az origóra szimmetrikus.

Az n-edfokú polinom reciprokaként megadott racionális törtfüggvény, melynek grafikonja a nevezőtől függően változatos alakú és számú nyílt görbeívből áll. A görbe rendszáma: r = n+1.

Az ábrán az ${\displaystyle y={\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}}$ explicit alakban adott harmadrendű görbe látható. (Ennek speciális esete az Agnesi-féle görbe)

A racionális törtfüggvényeknek szakadásuk van a nevező gyökeinél. Emellett még a végtelenben vett viselkedés is kérdéses.

A végtelenben vett viselkedés szempontjából a nevező és számláló foka döntő fontossággal bír. A szakasz további részében ${\displaystyle z}$ a számláló, ${\displaystyle n}$ a nevező fokszáma. Ha ${\displaystyle x\to \infty }$, akkor ${\displaystyle f(x)}$

• tart ${\displaystyle \operatorname {sgn} \left({\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}\right)\cdot \infty }$-hez, hogyha ${\displaystyle z>n}$, ahol ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ a szignumfüggvény.
• tart ${\displaystyle {\tfrac {a_{z}}{b_{n}}}}$-hez, ha ${\displaystyle z=n}$ (az aszimptota párhuzamos az ${\displaystyle x}$-tengellyel),
• tart ${\displaystyle 0}$-hoz (az ${\displaystyle x}$-tengely vízszintes aszimptota), ha ${\displaystyle z<n}$.

Ha ${\displaystyle x\to -\infty }$, akkor a második és a harmadik esetben ugyanaz a határérték, mint ${\displaystyle x\to \infty }$ esetén. A többi eset:

• Ha ${\displaystyle z-n}$ páros, akkor az érték ugyanaz, mint ${\displaystyle x\to \infty }$ esetén.
• Ha ${\displaystyle z-n}$ páratlan, akkor az előjel ellentettje az ${\displaystyle x\to \infty }$ értékének.

Ahogy majd később írjuk, polinomosztással a függvény felbontható egy polinom és egy valódi racionális törtfüggvény összegére. A polinom aszimptotikus görbét ad. A ${\displaystyle z=n+1}$ speciális esetben ferde aszimptota adódik. Az aszimptotikus görbe vizsgálatával az ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ viselkedése egyszerűbben elemezhető.

Példák:

• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {2x-1}{x^{2}+1}}}$ lineáris törtfüggvény esetén a számláló foka ${\displaystyle z=1}$ és a nevező foka ${\displaystyle n=2}$, így az ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ határérték ${\displaystyle 0}$.
• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{3}-3x+2}{2x-3x^{3}}}}$ racionális törtfüggvény számlálójának foka ${\displaystyle z=3}$, nevezőjének foka ${\displaystyle n=3}$; a főegyütthatók ${\displaystyle a_{3}=1}$ und ${\displaystyle b_{3}=-3}$, tehát adódik az aszimptota egyenlete: ${\displaystyle y=-{\frac {1}{3}}}$.
• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{2}}{x-1}}}$ racionális törtfüggvény számlálójának foka ${\displaystyle z=2}$, nevezőjének foka ${\displaystyle n=1}$; az ${\displaystyle a_{2}=1}$ és ${\displaystyle b_{1}=1}$ főegyütthatókkal adódik, hogy

${\displaystyle f(x)\to \operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{1}}\right)\cdot \infty =+\infty }$, ha ${\displaystyle x\to \infty }$. Mivel ${\displaystyle z-n=1}$ páratlan, azért ${\displaystyle x\to -\infty }$ határértékének előjele az előző ellentettje. A függvény írható úgy is, mint ${\displaystyle f\colon x\mapsto x+1+{\frac {1}{x-1}}}$, a ferde aszimptota egyenlete ${\displaystyle y=x+1}$, amivel az előbbi értékek könnyebben adódnak.

Az ${\displaystyle f={p \over q}\colon x\mapsto {\frac {p(x)}{q(x)}}}$ függvényterm grafikonjának elemzésére a következő diszkusszió végezhető.

Mivel szakadásai a ${\displaystyle q}$ gyökeiben vannak, a gyökök száma pedig véges, azért az ${\displaystyle f}$ periodikusságáról nem lehet szó.

Egy polinomfüggvény akkor páros vagy páratlan, ha minden kitevője páros vagy páratlan. Ha a számláló és a nevező típusa is ilyen, akkor az ${\displaystyle f}$ racionális törtfüggvény páros vagy páratlan. Nevezetesen:

• Ha ${\displaystyle p}$ és ${\displaystyle q}$ egyszerre páros vagy páratlan, akkor a racionális törtfüggvény páros.
• Ha ${\displaystyle p}$ és ${\displaystyle q}$ egyike páros, másika páratlan, akkor ${\displaystyle f}$ páratlan.

Egyéb esetben nehéz ${\displaystyle f}$ szimmetriáját meghatározni.

Példák:

• Az ${\displaystyle f(x)={\frac {2x^{3}-3x}{x^{2}+1}}}$ függvény szimmetrikus az origóra, mivel ${\displaystyle p}$ páratlan és ${\displaystyle q}$ páros, a függvény páratlan.
• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{5}-x^{3}}{x^{3}+x}}}$ függvény szimmetrikus az y tengelyre, mivel ${\displaystyle p}$ és${\displaystyle q}$ is páratlan, így a hányados függvény páros. Kiemelve egy x-et a számlálóból és a nevezőből, egyszerűsíthetjük a függvényt az ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{4}-x^{2}}{x^{2}+1}}*{\frac {x}{x}}}$. Mivel itt ${\displaystyle p}$ és ${\displaystyle q}$ páros, azért a hányados függvény is páros.
• Az ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{x-1}}}$ függvényről nem lehet szimmetriát megállapítani az alakja alapján, de megmutatható, hogy szimmetrikus a P(1, 1) pontra, ugyanis:

  ${\displaystyle f(1+x)-1={\frac {1+x}{(1+x)-1}}-1={\frac {1+x}{x}}-{\frac {x}{x}}={\frac {1}{x}}}$ és

  ${\displaystyle 1-f(1-x)=1-{\frac {1-x}{(1-x)-1}}={\frac {x}{x}}+{\frac {1-x}{x}}={\frac {1}{x}}}$.

Eszerint elvégezve az átalakításokat ${\displaystyle f(1+x)-1=1-f(1-x)}$, tehát szimmetrikus az szimmetrikus a P(1, 1) pontra. Egy alternatív módszer, hogy belátjuk, hogy a függvény megkapható ${\displaystyle g\colon x\mapsto {\frac {1}{x}}}$-ből eltolással, azaz 1-gyel x irányba, és 1-gyel y irányba.

A racionális törtfüggvény nincs értelmezve a ${\displaystyle q}$ polinom gyökeiben. Nullhelyei azok a helyek, melyek gyökei ${\displaystyle p}$-nek, de nem gyökei ${\displaystyle q}$-nak.

Speciális esetben az ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ valós szám mind a számlálónak, mind a nevezőnek gyöke. Polinomosztással kiemelhető egy vagy több ${\displaystyle x-a}$ tényező mind a számlálóból, mind a nevezőből. Hogy hányszor, azt a gyök multiplicitásának nevezik.

• Ha a nevezőben nagyobb a multiplicitás, akkor a hely pólushely, és a nevezőbeli multiplicitás a pólushely multiplicitása.
• Különben a szakadás megszüntethető.

Példák:

• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x-1}{(2x-4)^{2}}}}$ függvény értelmezési tartománya ${\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{2\}}$, mivel a ${\displaystyle q\colon x\mapsto (2x-4)^{2}}$ nevezőnek nullhelye ${\displaystyle x=2}$. A függvénynek nullhelye van ${\displaystyle x=1}$-ben, mivel ez a ${\displaystyle p\colon x\mapsto x-1}$ számlálónak egy olyan nullhelye, ami nem gyöke a nevezőnek. ${\displaystyle x=2}$ kétszeres pólus.
• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x^{2}-x}{x^{2}-1}}}$ függvény értelmezési tartománya ${\displaystyle \mathbb {D} _{f}=\mathbb {R} \setminus \{\pm 1\}}$. Itt azonban 1 a számláló és a nevező közös gyöke. Kiemelve az ${\displaystyle (x-1)}$ tényezőt, adódik, hogy ${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {x\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}}}$. Innen ${\displaystyle x=-1}$ egyszeres pólus, ${\displaystyle x=1}$ megszüntethető szakadás, ${\displaystyle x=0}$ nullhely. Az ${\displaystyle x=1}$ helyen nincs nullhely, mivel itt a függvény nincs értelmezve. ${\displaystyle f}$ folytonos folytatására ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {x}{x+1}}}$ és ${\displaystyle \mathbb {D} _{\tilde {f}}=\mathbb {R} \setminus \{-1\}}$.

Polinomosztással kapjuk a függvény ${\displaystyle p=g\cdot q+r}$ alakját, ahol ${\displaystyle g}$ és ${\displaystyle r}$ polinomok, és ${\displaystyle r}$ fokszáma kisebb, mint ${\displaystyle q}$ fokszáma. Az ${\displaystyle f={p \over q}=g+{r \over q}}$ függvény aszimptotikus viselkedését a ${\displaystyle g}$ polinom határozza meg. A polinomosztást csak a harmadik és a negyedik esethez érdemes elvégezni.

1. ${\displaystyle z<n}$ → az x-tengely aszimptota: ${\displaystyle g(x)=0}$
2. ${\displaystyle z=n}$ → függőleges aszimptota: ${\displaystyle g(x)={\frac {a_{z}}{b_{n}}}}$
3. ${\displaystyle z=n+1}$ → ferde aszimptota: ${\displaystyle g(x)=mx+c\,;m\neq 0}$ (a 4-es speciális esete)
4. ${\displaystyle z>n+1}$ → racionális egészfüggvény mint közelítőfüggvény, lásd approximáció

A racionális törtfüggvények deriválásához általában a hányadosszabályt lehet használni, habár gyakran a láncszabály is hasznos lehet, például ha a nevező egy kéttagú összeg hatványa. A deriválás előtt előnyös elvégezni a polinomosztást, a számláló és a nevező közös tagjainak kiemelését egy külön tényezőbe, hogy a függvény alakja minél egyszerűbb legyen.

Példák:

• Az ${\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {2x-1}{(x^{2}+1)^{2}}}}$ függvény esetén érdemes a láncszabályt is használni, mivel a nevezőben binom hatványa szerepel. A láncszabállyal a ${\displaystyle q}$ nevező deriváltja:

  ${\displaystyle q'(x)=2(x^{2}+1)\cdot 2x=4x(x^{2}+1)}$,

így a teljes függvény deriváltja

${\displaystyle f'(x)={\frac {2\cdot (x^{2}+1)^{2}-(2x-1)\cdot 4x(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{4}}}}$.

A számlálóban kiemelhetünk egy ${\displaystyle (x^{2}+1)}$ tényezőt:

${\displaystyle f'(x)={\frac {2\cdot (x^{2}+1)-(2x-1)\cdot 4x}{(x^{2}+1)^{3}}}{\frac {(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)}}}$.

• Az ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{4}+x^{3}-7x^{2}-12x-4}{3x^{3}+12x^{2}+12x}}}$ függvény polinomosztással

  ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {x^{2}-4}{3x^{3}+12x^{2}+12x}}}$

alakra hozható, ahonnan leolvasható a ferde aszimptota egyenlete:

${\displaystyle y={\frac {1}{3}}x-1}$.

A számláló és a nevező tényezőkre bontása:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {(x+2)(x-2)}{3x(x+2)^{2}}}}$,

felismerhető és kiemelhető mindkét helyen egy ${\displaystyle (x+2)}$ tényező. A deriválásra előkészített alak:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {x-2}{3x^{2}+6x}}{\frac {(x+2)}{(x+2)}}}$;

az egyszerűség kedvéért ebből az

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}x-1+{\frac {x-2}{3x^{2}+6x}}}$;

tényezőt fogjuk deriválni. A hányadosszabállyal

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{3}}+{\frac {1\cdot (3x^{2}+6x)-(x-2)\cdot (6x+6)}{(3x^{2}+6x)^{2}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {-3x^{2}+12x+12}{(3x^{2}+6x)^{2}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {-x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}}$.

A szélsőértékek kereséséhez a deriváltat újra beszorozzuk az elhagyott tényezővel:

${\displaystyle f'(x)={\frac {x^{2}(x+2)^{2}-x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}={\frac {x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+4x+4}{3x^{2}(x+2)^{2}}}}$.

A racionális egészfüggvényekkel szemben a racionális törtfüggvényeknek gyakran viszonylag nehéz meghatározni a primitív függvényét. A racionális törtfüggvény alakja szerint a következő összefüggéseket lehet használni, amihez általában a megfelelő alakra kell hozni:

${\displaystyle \int {\frac {1}{mx+a}}dx={\frac {1}{m}}\cdot \ln(mx+a)+C}$ ha ${\displaystyle m,a\in \mathbb {R} ,m\neq 0}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{(mx+a)^{n}}}dx={\frac {1}{m}}\cdot {\frac {-1}{n-1}}\cdot {\frac {1}{(mx+a)^{n-1}}}+C}$ ha ${\displaystyle m,a\in \mathbb {R} ,m\neq 0,n\in \mathbb {N} \setminus \{0;1\}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+1}}dx=\arctan(x)+C}$ vagy ${\displaystyle =-{\rm {arccot(x)+C}}}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}-1}}dx=\operatorname {artanh} (x)+C={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$ ha ${\displaystyle |x|<1}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}-1}}dx=\operatorname {arcoth} (x)+C={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)}$ ha ${\displaystyle |x|>1}$

${\displaystyle \int {\frac {u'(x)}{u(x)}}dx=\ln |u(x)|+C}$ ha ${\displaystyle u(x)\neq 0}$

Szükség lehet a parciális törtekre bontásra is. Példák:

• Keressük az ${\displaystyle f(x)={\frac {5x-1}{3x+2}}}$ függvény primitív függvényét. Polinomosztással:

  ${\displaystyle f(x)={\frac {5}{3}}-{\frac {13}{9x+6}}}$.

Az első szabály alkalmazásával a primitív függvény:

${\displaystyle F(x)={\frac {5}{3}}x-{\frac {13}{9}}\ln(9x+6)}$.

• Keressük az ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+1}{x^{2}-1}}}$ függvény primitív függvényét, ha ${\displaystyle x}$ abszolútértéke legfeljebb 0,5. Polinomosztással

  ${\displaystyle f(x)=1+{\frac {2}{x^{2}-1}}}$.

A negyedik szabállyal:

${\displaystyle F(x)=x+2\cdot \operatorname {artanh} (x)}$.

• Keressük az ${\displaystyle f(x)={\frac {x+2}{x^{2}+4x+5}}}$ függvény primitív függvényét. A függvény írható úgy is, mint

  ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}{\frac {2x+4}{x^{2}+4x+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {u'(x)}{u(x)}}}$, ahol ${\displaystyle u(x)=x^{2}+4x+5}$.

Az utolsó szabály primitív függvénye:

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+4x+5)}$.

• Az ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x+2}}}$ függvény primitív függvénye az ${\displaystyle y=x+1}$ helyettesítéssel határozható meg, miután a nevezőt teljes négyzetté alakítottuk:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{2}+2x+2}}dx&=\int {\frac {1}{(x+1)^{2}+1}}dx=\int {\frac {1}{y^{2}+1}}dy\\&=\arctan(y)+C=\arctan(x+1)+C\end{aligned}}}$

• Az ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}-x-6}}}$ primitív függvénye parciális törtekre bontással kapható a kiemelések után:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{2}-x-6}}dx&=\int {\frac {1}{(x-3)(x+2)}}dx=\int {\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x+2}}\right)dx\\&={\frac {1}{5}}\left(\ln(x-3)-\ln(x+2)\right)+C={\frac {1}{5}}\ln \left({\frac {x-3}{x+2}}\right)+C\end{aligned}}}$

A természettudományokban és a technikában számos alkalmazásuk van a racionális törtfüggvényeknek:

• A legegyszerűbb példa a fordított arányosság, két mennyiség szorzata állandó. Példák:

• Rögzített út megtételéhez szükséges idő és sebesség.
• Adott mennyiségű oldott anyag koncentrációja fordítottan arányos az oldószer térfogatával.
• Adott erő esetén a gyorsított test tömege és gyorsulása.
• Egy síkkondenzátor ${\displaystyle C}$ elektromos kapacitása a lemezek közötti ${\displaystyle d}$ távolság függvényében:

${\displaystyle C(d)=\epsilon _{0}\epsilon _{r}{\tfrac {A}{d}}}$,

ahol ${\displaystyle A}$ a lemezek felülete, ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ a vákuum permittivitása, és ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ a permittivitás.

• A fizika több területén is előkerül az ${\displaystyle f(x;y)={\tfrac {xy}{x\pm y}}}$ függvény a harmonikus középpel összefüggően. Ha az egyiket paraméternek tekintjük vagy adottnak vesszük, akkor a másik racionális törtfüggvénye adódik. KÉt másik függvény reciprokainak összegének reciprokáról van szó.

• Az optikában egy lencse ${\displaystyle f}$ gyújtótávolsága a tárgy ${\displaystyle t}$ és a kép ${\displaystyle k}$ távolságágából számítható: ${\displaystyle f(t;k)={\tfrac {tk}{t+k}}}$; átrendezve hasonló képlet adódik, de összeadás helyett kivonással.
• Párhuzamos kapcsolás esetén két ellenállás, ${\displaystyle R_{1}}$ és ${\displaystyle R_{2}}$ együttes ellenállása: ${\displaystyle R={\tfrac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$. Hasonló teljesül két sorosan kapcsolt kondenzátor kapacitására.
• A mechanikában ha két rugót egymás után függesztünk, és rugóállandójuk ${\displaystyle D_{1}}$ és ${\displaystyle D_{2}}$, akkor az együttes rugóállandó ${\displaystyle D={\tfrac {D_{1}D_{2}}{D_{1}+D_{2}}}}$.
• Feszültségelosztó esetén egy ${\displaystyle R}$ ellenálláson eső ${\displaystyle U}$ feszültség ${\displaystyle U(R)={\tfrac {U_{0}R}{R+R'}}}$, ahol ${\displaystyle U_{0}}$ az elosztandó feszültség és ${\displaystyle R'}$ a másik ellenállás.
• Egy ${\displaystyle R}$ ellenállású fogyasztó által leadott ${\displaystyle P}$ teljesítményére adódik, hogy ${\displaystyle P(R)={\tfrac {U^{2}R}{(R+R_{i})^{2}}}}$, ahol ${\displaystyle U}$ feszültség és ${\displaystyle R_{i}}$ a feszültségforrás belső ellenállása. A legnagyobb lehetséges teljesítmény: ${\displaystyle R=R_{i}}$.
• Egy nem túl rövid ${\displaystyle L}$ induktivitású tekercsre az ${\displaystyle r}$ sugárral összefüggésben teljesül a következő: ${\displaystyle L(r)={\tfrac {\mu _{0}N^{2}\pi r^{2}}{l+r/1,1}}}$, ahol ${\displaystyle l}$ a tekercs hossza, ${\displaystyle N}$ a menetek száma, ${\displaystyle \mu _{0}}$ a mágneses mező konstansa.
• Egy Atwood-féle gép esetén az ${\displaystyle a}$ gyorsulás a következőképpen függ ${\displaystyle m}$ és ${\displaystyle M}$ tömegektől: ${\displaystyle a={\tfrac {m}{2M+m}}\cdot g}$; ${\displaystyle a}$ tekinthető ${\displaystyle m}$ vagy ${\displaystyle M}$ racionális törtfüggvényének.

• A geometria is felvethet olyan kérdéseket, amelyekre racionális törtfüggvény adja a választ: Egy test egy ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle 2r}$, és ${\displaystyle r}$ élű téglatest és egy erre illesztett ${\displaystyle l}$ magasságú, ${\displaystyle r}$ sugarú félhenger egyesítése. Adott térfogat esetén a felszín: ${\displaystyle A(r)={\tfrac {(\pi +4)r^{3}+2V}{r}}}$.

Az absztrakt algebrában a polinomok hányadosteste hasonlóan áll elő polinomokból. Egy ${\displaystyle K}$ test fölötti ${\displaystyle n}$ változós polinomgyűrű hányadostestéről van szó absztrakt értelemben.

A racionális törtfüggvények szoros kapcsolatban állnak a polinomok gyűrűjének hányadostestével, de a két fogalom nem azonos. Például a

${\displaystyle p(x)={\frac {x-1}{x^{2}-1}}}$

és a

${\displaystyle q(x)={\frac {1}{x+1}}}$

kifejezések mint a valós együtthatós polinomok hányadostestének elemei egyenlőek, mivel ott ${\displaystyle x^{2}-1}$ osztható ${\displaystyle x-1}$-gyel, és a hányados ${\displaystyle x+1}$. De ha ${\displaystyle p(x)}$-et és ${\displaystyle q(x)}$-et mint racionális törtfüggvényeket tekintjük, akkor nem egyenlőek, hiszen ${\displaystyle q(x)}$ értelmezhető az ${\displaystyle x=1}$ helyen, ${\displaystyle p(x)}$ viszont nem.

Véges test fölött a különbségtétel még egyszerűbb: ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ (maradékosztályok teste modulo egyp prímszám) fölött definiált hányadostestben ${\displaystyle {\tfrac {1}{X^{p}-X}}}$ jóldefiniált racionális függvénye ${\displaystyle X}$-nek, habár szűkebb értelemben véve nem függvény, mivel sehol sem értelmezhető.

Ugyanis behelyettesítve ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{p}}$ elemeit, kapjuk, hogy ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{p}-x}}}$, ami nem értelmezhető, hiszen ${\displaystyle x^{p}-x}$ a kis Fermat-tétel miatt azonosan nulla. Végtelen test fölött ugyanez nem fordulhat elő, csak viszonylag kevés helyen nincs egy racionális törtfüggvény értelmezve. A Zariski-topológia szerint azok a helyek, ahol a függvény nincs értelmezve, Zariski-zárt halmazt alkotnak, és az értelmezési tartomány lezártja a teljes halmaz.

Legyen ${\displaystyle V}$ varietás, amit az ${\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{m}\in k\left[x_{1},\dotsc ,x_{n}\right]}$ polinomok definiálnak. Azaz

${\displaystyle V=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ minden }}f\in S\}}$ esetén. Vagyis

${\displaystyle I(V)=\{f\in k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ ha }}x\in V\}.}$

Az egfész függvények gyűrűje ${\displaystyle k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]/I(V)}$. A racionális függvények teste ennek hányadosteste.

Általánosabb a racionális leképezések fogalma, azaz a kvázi-projektív varietásoké. A racionális függvények egy varietás ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-be menő racionális leképezéseinek speciális esetei.

• Rationale Funktionen - Ein Digitales Lehrbuch © 2000 - 2001 by Henning Koch

Ez a szócikk részben vagy egészben a Rationale Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091
• Dr. Hack & all.: Négyjegyű függvénytáblázatok,…(Nemzeti Tankönyvkiadó, 2004) ISBN 978-963-19-5703-7
• Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)
• Reinhardt, F. – Soeder, H.: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)
• Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó - Typotex, 1993)
• Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.