Pitagoraszi számhármasok

A pitagoraszi számhármasok az egész oldalhosszúságú derékszögű háromszögek oldalhosszaiból álló számhármasok. A Pitagorasz-tétel értelmében az $(x,y,z)$ pozitív egészekből álló hármas pitagoraszi számhármas, ha megoldásai az $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ diofantoszi egyenletnek.

Példák

Bővebben: Pitagoraszi számhármasok listája

A legkisebb számokból álló pitagoraszi számhármas a $(3,4,5)$ , hiszen $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ . Ebből azonnal kapható végtelen sok pitagoraszi számhármas, ugyanis bármely $d\in \mathbb {Z} ^{+}$ esetén $(3d,4d,5d)$ is az.

Pitagoraszi számhármasok előállítása

Meg fogjuk mutatni, hogy az $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ diofantoszi egyenlet összes megoldása megkapható a következő alakban:

x=2dst,\quad y=d(s^{2}-t^{2}),\quad z=d(s^{2}+t^{2})

vagy ebből x és y felcserélésével, ahol d,s,t pozitív egész számok, s>t, s és t különböző paritásúak és relatív prímek.

Például, ha d=1, s=2, t=1, akkor a fenti példából ismert x=4, y=3, z=5 hármast kapjuk.

Bizonyítás

Az ilyen alakú hármasok valóban mindig kielégítik az egyenletet:

\left(2dst\right)^{2}+d^{2}(s^{2}-t^{2})^{2}=4d^{2}s^{2}t^{2}+d^{2}(s^{4}-2s^{2}t^{2}+t^{4})=d^{2}s^{4}+2d^{2}s^{2}t^{2}+d^{2}t^{4}=d^{2}(s^{2}+t^{2})^{2}.

A másik irányhoz tegyük fel, hogy az x, y, z számokra $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ teljesül. Leosztva a számok d legnagyobb közös osztójával, feltehetjük, hogy legnagyobb közös osztójuk 1. De ekkor x, y és z közül bármely kettő is relatív prím. Speciálisan nem lehet x és y egyszerre páros. De nem lehetnek egyszerre páratlanok sem, mert amúgy $x^{2}+y^{2}$ 2 maradékot adna 4-gyel osztva, ezért nem lehet négyzetszám.

Tehát x és y közül pontosan az egyik páros, a másik páratlan, legyen mondjuk x páros és y páratlan. Az egyenlet szerint z is páratlan. Ekkor:

x^{2}=z^{2}-y^{2}=(z+y)(z-y).

A jobb oldal mindkét tényezője páros: $z+y=2a$ , $z-y=2b$ (a,b pozitív egészek). Itt a és b relatív prímek, hiszen közös osztójuk osztaná $y=a-b,z=a+b$ -t is. Mivel $x^{2}=4ab$ , azaz ab négyzetszám, a és b maguk is négyzetszámok: $a=s^{2}$ , $b=t^{2}$ (s,t pozitív egészek és relatív prímek). Ezzel meg is van a kívánt előállítás: $x^{2}=4s^{2}t^{2}$ miatt $x=2st$ , $y=a-b=s^{2}-t^{2}$ , $z=a+b=s^{2}+t^{2}$ . Mivel y pozitív és páratlan, ezért s>t is teljesül, valamint s és t különböző paritású.

Források

Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.
Weisstein, Eric W.: Pitagoraszi számhármas (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Kapcsolódó szócikkek

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

Read other articles:

Lohri

LohriApi unggun LohriJenisMusiman, tradisionalMaknaPerayaan pertengahan musim dingin, perayaan Titik Balik Musim DinginPerayaanApi unggun, lagu dan tarian (Bhangra dan Gidda )Tanggal13 Januari (kalender Punjabi)Terkait denganSankrant Pongal Bihu (Bhogali / Magh /Bhogi di Telugu) Lohri (bahasa Punjabi: ਲੋਹੜੀ (Gurmukhi), لوہڑی (Shahmukhi)) adalah sebuah perayaan Punjabi populer,[1][2] yang dirayakan oleh orang-orang dari wilayah Punjab di Asia Selatan.[3&#...

Bangbang

Bangbang Irisan daging salmon Koordinat warnaTriplet hex#FA8072sRGBB (r, g, b)(250, 128, 114)CMYKH (c, m, y, k)(0, 49, 54, 2)HSV (h, s, v)(6°, 54%, 98%)SumberDaftar Istilah WarnaX11B: Dinormalkan ke [0–255] (bita)H: Dinormalkan ke [0–100] (ratusan) Merah Genting Genteng atap pecahCommon connotationsGenteng Koordinat warnaTriplet hex#E2725BsRGBB (r, g, b)(226, 114, 91)CMYKH (c, m, y,...

Focke-Wulf A 32 Bussard

A 32 Bussard Role AirlinerType of aircraft Manufacturer Focke-Wulf Designer Wilhelm Bansemir First flight 1930 Primary user NOBA Number built 5 The Focke-Wulf A 32 Bussard (German: Buzzard) was a small airliner produced in Germany in the early 1930s. It was developed rapidly at the request of NOBA when Messerschmitt was unable to deliver aircraft on schedule. Based closely on the A 20, the A 32 had a revised fuselage with greater seating capacity, and an engine of over twice the power. ...

St. Elijah Church, Timișoara

Orthodox church in Timișoara, Romania St. Elijah ChurchBiserica Sf. IlieReligionAffiliationRomanian OrthodoxEcclesiastical or organizational statusRomanian Orthodox ChurchPatronElijah the TishbiteYear consecrated1936StatusActiveLocationLocation12 Andrei Șaguna Street, TimișoaraGeographic coordinates45°45′29″N 21°15′26″E / 45.75806°N 21.25722°E / 45.75806; 21.25722ArchitectureArchitect(s)Ion NigaGeneral contractorJosef Ecker, Jr.Groundbreaking1911Complete...

Prem Chand Bairwa

7th Deputy Chief Minister of Rajasthan Prem Chand Bairwa7th Deputy Chief Minister of RajasthanIncumbentAssumed office 15 December 2023Serving with Diya KumariGovernorKalraj MishraChief MinisterBhajan Lal SharmaMinistry and Departments Higher Education Technical Education Ayurveda, Yoga & Naturopathy, Unani, Siddha & Homeopathy (AYUSH) Transport & Road Safety Preceded bySachin PilotMember of Rajasthan Legislative AssemblyIncumbentAssumed office 3 December 2023Preced...

Information Operations Roadmap

USA Pentagon Military Visioning (2003-2006) This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Information Operations Roadmap – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2021) The Information Operations Roadmap is a document commissioned by the Pentagon in 2003 and declassified in January 2...

Mile Jedinak

Mile Jedinak Informasi pribadiNama lengkap Michael John JedinakTanggal lahir 3 Agustus 1984 (umur 39)Tempat lahir Sydney, AustraliaTinggi 1,89 m (6 ft 2+1⁄2 in)Posisi bermain GelandangKarier junior000 Sydney UnitedKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2001–2006 Sydney United 82 (12)2003–2004 → Varteks (pinjaman) 0 (0)2005 → South Coast United (pinjaman) 18 (7)2006–2009 Central Coast Mariners 45 (8)2009–2011 Gençlerbirliği 38 (4)2009–2010 → Antalyaspo...

Antonov A-2

Antonov A-2 dan desain terkait adalah keluarga glider pelatihan dua-kursi yang diproduksi di Uni Soviet pada 1930-an dan 40-an, semua berasal dari keluarga satu kursi Antonov A-1. Mereka diproduksi dalam jumlah besar, dengan setidaknya 2.300 dibangun pada tahun 1937, dan bersama-sama dengan single-seaters, produksi melebihi 7.600 pada tahun yang sama. Spesifikasi (U-s5) Karakteristik umum Kru: Dua, pilot dan instruktur Panjang: 5,80 m (19 ft 0 in) Lebar sayap: 13.80 m (45 ft 3 in) T...

Promozione Toscana 1980-1981

Voce principale: Promozione 1980-1981. Promozione1980-1981 Competizione Promozione Sport Calcio Edizione Organizzatore FIGC - LNDComitato Regionale Toscana Luogo Italia Cronologia della competizione 1979-1980 1981-1982 Manuale Nella stagione 1980-1981 la Promozione era sesto livello del calcio italiano (il massimo livello regionale). Qui vi sono le statistiche relative al campionato in Toscana. Il campionato è strutturato in vari gironi all'italiana su base regionale, gestiti dai Comi...

Al-Mukhtar ats-Tsaqafi

Artikel ini perlu diwikifikasi agar memenuhi standar kualitas Wikipedia. Anda dapat memberikan bantuan berupa penambahan pranala dalam, atau dengan merapikan tata letak dari artikel ini. Untuk keterangan lebih lanjut, klik [tampil] di bagian kanan. Mengganti markah HTML dengan markah wiki bila dimungkinkan. Tambahkan pranala wiki. Bila dirasa perlu, buatlah pautan ke artikel wiki lainnya dengan cara menambahkan [[ dan ]] pada kata yang bersangkutan (lihat WP:LINK untuk keterangan lebih lanjut...

Eyalet di Erzurum

Eyalet di ErzurumEyalet di Erzurum - LocalizzazioneL'eyalet di Erzurum nel 1609 Dati amministrativiNome completoErzurum Eyaleti Lingue ufficialiturco ottomano Lingue parlateturco ottomano, arabo CapitaleErzurum Dipendente daImpero ottomano PoliticaForma di StatoEyalet Forma di governoEyalet elettivo dell'Impero ottomano Capo di StatoSultani ottomani Nascita1521 Fine1864 Territorio e popolazioneBacino geograficoMesopotamia Massima estensione29.690 km2 nel XIX secolo EconomiaCommerci conImpero ...

BIAM Model School and College, Bogura

Private model school in Bogra, Bangladesh, RajshahiBIAM Model School and College, BoguraLocationUposhohor, NishindaraBogra, Bangladesh, Rajshahi, 5800InformationSchool typePrivate Model SchoolMottoThe toughest task for a human is to humaniseOpened2005; 19 years ago (2005)School boardBoard of Intermediate and Secondary Education, RajshahiSchool codeEIIN: 132097PrincipalMd. Mustafizur RahmanEnrollment± 4860 (in 2018)LanguageBengaliColor(s) Web...

Distrik Ernakulam

Distrik Ernakulam adalah satu dari 14 distrik yang ada di negara bagian Kerala, India. Ernakulam adalah distrik dengan populasi terbanyak ketiga di Kerala, setelah Malappuram dan Thiruvananthapuram.[1] Demografi Berdasarkan data statistik tahun 2018, distrik ini memiliki populasi sebesar 3/427.659 jiwa.[2] Populasi masyarakat urbannya mencapai 68% dari total jumlah penduduk.[3] Data Sensus India 2011 menunjukkan bahwa Ernakulam berada pada posisi 104 distrik dengan pop...

Wyoming

U.S. state This article is about the U.S. state. For other uses, see Wyoming (disambiguation). State in the United StatesWyomingState FlagSealNicknames: Equality State (official);Cowboy State; Big Wyoming[1]Motto: Equal RightsAnthem: WyomingMap of the United States with Wyoming highlightedCountryUnited StatesBefore statehoodWyoming TerritoryAdmitted to the UnionJuly 10, 1890[2] (44th)Capital(and largest city)CheyenneLargest county or equivalentLaramieLargest metro an...

Stevonnie

Fictional character StevonnieSteven Universe characterStevonnie as they appear in Mindful EducationFirst appearanceAlone Together (2015)Last appearanceBismuth Casual (2020)Created byRebecca SugarVoiced byAJ MichalkaIn-universe informationSpecies25% Gem 75% HumanGenderNon-binary[1]AffiliationCrystal GemsWeaponSword ShieldNationalityAmerican Stevonnie (/stəˈvɒni/ stə-VON-ee) is a fictional character in the animated series Steven Universe and Steven Universe Future, created by Rebec...

Chambre des lords

« House of Lords » redirige ici. Pour le groupe musical, voir House of Lords (groupe). Pour les autres articles nationaux ou selon les autres juridictions, voir Chambre des pairs (homonymie). Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (décembre 2021). Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci ...

Grenadine (boisson)

Pour les articles homonymes, voir Grenadine. Cet article est une ébauche concernant une boisson. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Grenadine à différentes dilutions La grenadine est un sirop de couleur rouge, à l'origine à base de pulpe de grenade. Elle est encore fabriquée ainsi dans les pays méditerranéens (Espagne, Maghreb…), mais en France il s'agit aujourd'hui le plus souvent d'un as...

Todd Haimes Theatre

Broadway theater in Manhattan, New York Selwyn Theatre redirects here. For the former theater in Boston (opened 1914), see Park Square Theatre (Boston). For the former theater in Boston (1867–1870), see Selwyn's Theatre. For the former theater in Chicago, see Harris and Selwyn Theaters. Todd Haimes TheatreSelwyn Theatre (1918–2000)American Airlines Theatre (2000–2024)Address227 West 42nd StreetManhattan, New York CityUnited StatesCoordinates40°45′24.6″N 73°59′17.0″W / ...

Kjeller

Cet article est une ébauche concernant une localité norvégienne. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. KjellerGéographiePays NorvègeComté AkershusKommune LillestrømCoordonnées 59° 59′ 00″ N, 11° 02′ 00″ Emodifier - modifier le code - modifier Wikidata Kjeller est située près de Lillestrøm dans la kommune de Skedsmo en Norvège, ceci à 25 km au n...

Shebaa-boerderijen

Kaart van de Shebaa-boerderijen De Shebaa-boerderijen (Arabisch: مزارع شبعا Mazāri‘ Šib‘ā) vormen een klein maar politiek omstreden gebied op de grens tussen de Golanhoogten en het zuiden van Libanon. Het is ongeveer 28 km² groot en ligt op de westflank van de Hermonberg. In 1967 had Israël dit gebied veroverd en in 1981 geannexeerd. Het was toen een deel van de Golanhoogten. Toen het Israëlische leger zich in 2000 uit het zuiden van Libanon terugtrok, hield Israël de...

/profillengkap.com/index.php/article/Nefertite Nguvu

Clyde Arc

The Harbinger (novel)

The Sexual Life of Savages in North-Western Melanesia

Perjanjian Perdagangan Bebas Eropa Tengah

Bartosz Kwiecień

Pagirikan, Pasekan, Indramayu

رولاند كوخ