A nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, mely egy kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszerből származtatható úgy, hogy a koordináta-rendszert a fókuszokat összekötő szimmetriatengely körül forgatjuk meg. A másik szimmetriatengely körüli forgatás lapított ellipszoid koordináta-rendszert eredményez. Mindkettő tekinthető az ellipszoid koordináta-rendszer egy speciális esetének, ahol két tengely hossza megegyezik.

A lapított koordináta-rendszer hasznos olyan differenciálegyenletek megoldásában, ahol a peremfeltételeket egy nyújtott ellipszoid vagy egy kétköpenyű forgáshiperboloid mentén határozzák meg. Ilyen rendszer alakul ki egy erőtérben, mint amilyet két központ produkál; ezek állnak a fókuszpontokban. Erre példa egy elektron hullámfüggvényének meghatározása két pozitívan töltött mag közelében, mint például a H₂⁺ összetett ionban. A fókuszpontban állhatnak vékony elektródvégek is, az ezek által létrehozott erőtér szerkezete így meghatározható. További példák: egy szakasz (μ = 0) erőtere, vagy egy egyenes, amiből hiányzik egy szakasz. A sokelektronos kétatomos molekulák általános elektronszerkezete is kiváló pontossággal megismerhető a nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer segítségével.^[1]

A legtöbbször használt nyújtott ellipszoid koordináta-rendszert a ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$ koordinátákkal látják el:

${\displaystyle x=a\operatorname {sh} \mu \sin \nu \cos \varphi }$

${\displaystyle y=a\operatorname {sh} \mu \sin \nu \sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\operatorname {ch} \mu \cos \nu }$

ahol ${\displaystyle \mu }$ nemnegatív valós szám, és ${\displaystyle \nu \in [0,\pi ]}$. A ${\displaystyle \varphi }$ azimut a ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ szakasz eleme.

A

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\operatorname {ch} ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\operatorname {sh} ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

trigonometrikus azonosság szerint a konstans ${\displaystyle \mu }$-höz tartozó koordinátafelületek nyújtott ellipszoidok, hiszen ellipszisekből keletkeztek azok fókuszait összekötő egyenesek körüli forgatással. Hasonlóan, a

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\operatorname {ch} ^{2}\mu -\operatorname {sh} ^{2}\mu =1}$

hiperbolikus-trigonometrikus azonosság mutatja, hogy a konstans ${\displaystyle \nu }$-jű koordinátafelületek forgáshiperboloidok.

A ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm a)}$ pontokban elhelyezkedő fókuszoktól mért távolság:

${\displaystyle r_{\pm }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z\mp a)^{2}}}=a(\operatorname {ch} \mu \mp \cos \nu ).}$

A nyújtott elliptikus koordináta-rendszer esetén létezik egy alternatív definíció is a ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ koordinátákkal, ahol ${\displaystyle \sigma =\operatorname {ch} \mu }$ és ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$. Itt a konstans ${\displaystyle \sigma }$-hoz tartozó koordinátafelületek nyújtott ellipszoidok, míg a konstans ${\displaystyle \tau }$ koordinátafelületei teljes forgáshiperboloidok. A ${\displaystyle \tau }$ koordináta az [−1, 1] intervallum eleme, míg ${\displaystyle \sigma \geq 1}$.

A ${\displaystyle \sigma }$ és a ${\displaystyle \tau }$ koordináták egyszerű kapcsolatban állnak az ${\displaystyle F_{1}}$ és ${\displaystyle F_{2}}$ fókuszoktól mért távolsággal. Bármely pontra a fókuszoktól mért távolság összege a ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ összeg ${\displaystyle 2a\sigma }$, míg a távolságok ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ különbsége ${\displaystyle 2a\tau }$. Így az ${\displaystyle F_{1}}$-től mért távolság ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$, míg az ${\displaystyle F_{2}}$-től vett távolság ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$. Ez alapján kapjuk a következő összefüggéseket a ${\displaystyle \sigma }$, ${\displaystyle \tau }$ és ${\displaystyle \varphi }$ koordinátákra:

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)}$

Szemben a megfelelő lapított szferoid koordinátákkal, a (σ, τ, φ) koordináta-rendszer nem elfajult; más szóval, bijektíven megfeleltethető a Descartes-koordinátákkal:

${\displaystyle x=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\cos \varphi }$

${\displaystyle y=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau }$

Az alternatív ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\varphi )}$ koordináták skálázási tényezői:

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$

míg az azimut skálázási tényezője

${\displaystyle h_{\varphi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}$

Így az infinitezimális térfogatelem:

${\displaystyle dV=a^{3}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

és a Laplace-operátor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[(1-\tau ^{2}){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}\\&{}+{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}$

A további differenciáloperátorok, mint ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ és ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ kifejezhetők a ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\varphi )}$ koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Ahogy a gömbkoordináták esetén, Laplace egyenlete megoldható a változók szétválasztásával. A megoldások pontosan a nyújtott ellipszoid harmonikus függvények, melyeket kényelmes akkor használni, ha a peremfeltételek a nyújtott ellipszoid koordináta-rendszer egy koordinátafelületén vannak megadva.

• Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 661. o. (1953)  Uses ξ₁ = a cosh μ, ξ₂ = sin ν, and ξ₃ = cos φ.
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity, 3rd, New York: McGraw-Hill (1968) 
• Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 97. o. (1967)  Uses coordinates ξ = cosh μ, η = sin ν, and φ.

• Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 177. o. (1961)  Korn and Korn use the (μ, ν, φ) coordinates, but also introduce the degenerate (σ, τ, φ) coordinates.
• The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 180–182. o. (1956)  Similar to Korn and Korn (1961), but uses colatitude θ = 90° - ν instead of latitude ν.
• Prolate Spheroidal Coordinates (η, θ, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer Verlag, 28–30 (Table 1.06). o. (1988). ISBN 0-387-02732-7  Moon and Spencer use the colatitude convention θ = 90° − ν, and rename φ as ψ.

• Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics), 2nd, New York: Pergamon Press, 19–29. o. (1984). ISBN 978-0-7506-2634-7  Treats the prolate spheroidal coordinates as a limiting case of the general ellipsoidal coordinates. Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Prolate spheroidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.