A modális logika a klasszikus logika olyan bővítése, amely már modális kijelentéseket is tartalmaz. A modális logikában egy kijelentés nem pusztán igaz vagy hamis lehet, hanem egy bizonyos módon igaz is – például szükségszerű, tudott vagy hitt, kötelező, bizonyítható.

A modális logika legjellemzőbb kifejezései a „lehetséges, hogy A” (jelben: '${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A}}$'), a „szükségszerű, hogy A” (jelben: '${\displaystyle \scriptstyle {\Box A}}$') és ezek átfogalmazásai, például:

„Lehet, hogy holnap tengeri csata lesz.”

„Nixon győzhetett volna.”

„Szükségszerű, hogy egy modális logikáról szóló bevezetőben mindig az alethikus modalitással kezdjék.”

Ezek az operátorok a dualitás elve alapján kölcsönösen kifejezhetők egymással; ha A mondat, akkor

lehetséges A akkor és csak akkor, ha nem szükségszerű, hogy nem A, azaz:

${\displaystyle \Diamond A\Leftrightarrow \,\lnot \Box \lnot A}$

szükségszerű A akkor és csak akkor, ha nem lehetséges nem A, azaz:

${\displaystyle \Box A\Leftrightarrow \,\lnot \Diamond \lnot A}$

A szükségszerűségen és a lehetőségen, azaz az úgynevezett alethikus modalitásokon kívül vizsgálható számos egyéb modalitás is. Ilyenek például a megismerhetőséget (episztemikus modalitás), a meggyőződés fokát (doxatikus modalitás), az időbeli elhelyezkedés szintjeit (temporális modalitás), a valamely normarendszerben megengedhető tevékenységeket (deontikus modalitás), vagy pl. az egy formális rendszerbeli bizonyíthatóságot kifejező állítások.

Bővebben: A modális logika története

A modális logika ugyanolyan régi, mint maga a logika. Arisztotelész foglalkozott vele először, aki a kategorikus szillogizmusok összegyűjtése után fölsorolja a modális szillogizmusokat is. Később a középkori logikusok foglalkoztak bővebben a modális szillogizmusok természetével. Ők már megkülönböztették a de dicto és a de re modalitásokat. Az, hogy melyik modális szillogizmust melyik értelemben tartották elfogadhatónak, szinte kizárólag a filozófiai nézetrendszerükön múlott.^[1] A tizenkilencedik század végén és a huszadik század elején egy ideig kizárólag extenzionális logikával foglalkoztak, ezért a modális logikában nem születtek új eredmények.

A modern modális logika kezdetét általában Clarence Irving Lewis 1918-ban megjelent A Survey of Symbolic Logic című könyvéhez szokás kötni. Ebben Lewis már egy konkrét modális állításkalkulust fejt ki, amelyben konzekvensen alkalmazza a modális operátorokat.^[2] A modális logika elsőrendű bővítése azonban paradoxonokhoz vezetett, amelyekkel kapcsolatos két markáns álláspont a Quine–Marcus vitában kristályosodott ki.^[3] Mindezen viták után a még 17 éves Saul Kripkének (nem kis mértékben Rudolf Carnap korábbi munkásságára támaszkodva^[4]) sikerült szemantikát szerkesztenie a modális kalkulusokhoz, így ezeket azóta már teljes értékű logikaként lehet vizsgálni.

A modális logika elsősorban abban különbözik a klasszikus logikától, hogy a modális kifejezéseket tartalmazó állításainak vizsgálata nem fér el az ún. extenzionális logika keretei között: Extenzionális egy logika, ha benne az összetett kifejezések extenzióját (ez terminusok esetében a jelölt, kijelentések esetében az igazságérték) egyértelműen meghatározza az összetevők extenziója.^[5] Tekintsük a következő két példát:

• Klasszikus logikából jól ismert extenzionális kifejezés például a tagadás:

„Nem igaz, hogy az Esthajnalcsillag a Vénusz.”

Ez az állítás pontosan akkor hamis, ha az Esthajnalcsillag a Vénusz, tehát ha tudjuk az összetevőjének, jelen esetben az azonosságállításnak az igazságértékét, akkor tudjuk az egész mondat igazságértékét is.

• Ellenben a helyzet nem mindig ilyen egyszerű. Előfordulhatnak olyan kifejezések, melyeknél hiába tudjuk az argumentumának igazságértékét, ezekből mégsem vonhatunk le semmilyen következtetést az egész kifejezés igazságértékét illetően. Vegyük például a következő mondatot:

„Esetleges, hogy az Esthajnalcsillag a Vénusz.”

Itt az a tény, hogy az „az Esthajnalcsillag az a Vénusz" azonosságállítás igaz, még magában nem elég ahhoz, hogy egyértelműen eldönthessük, a modális „esetleges, hogy” kifejezéssel ellátott állítás igaz-e vagy hamis. Az ilyen intenzionális (azaz nem extenzionális) kifejezések vizsgálata már az intenzionális logika feladata. A modális logikát ezért is szokás az intenzionális logika első fejezetének tekinteni.^[6]

A modális logikára jellemzően a matematikában mint a logikailag konzekvens mondatoperátorok elméletére tekintenek, ami alatt a következő értendő:

A klasszikus logikának egy olyan bővítése, melyben adott legalább két, általában a ${\displaystyle \scriptstyle \Box }$ és ${\displaystyle \scriptstyle \Diamond }$ szimbólummal jelölt és formulákhoz kapcsolódó operátor, melyekre a következőket kötjük ki:

• ${\displaystyle \scriptstyle \Box A\leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot A}$, azaz érvényes a modális operátorokra vonatkozó De Morgan azonosság, más szóval kifejezhetők egymással.
• Érvényes a következő következtetés:

${\displaystyle \scriptstyle {\frac {A_{1},A_{2},...,A_{n}\Rightarrow B}{\Box A_{1},\Box A_{2},...,\Box A_{n}\Rightarrow \Box B}}}$

azaz ha adott egy helyes következtetés, akkor a premisszákat modalizálva azokból következik a konklúzió modalizáltja is.^[7]

Szokás a ${\displaystyle \scriptstyle \Box }$ jellel jelölt operátort erős, a ${\displaystyle \scriptstyle \Diamond }$ jellel jelölt operátort gyenge modalitásnak is nevezni.

A modális operátorokkal kapcsolatban két érdekes modális logikai típust érdemes még megemlíteni:

• Vannak olyan logikák, az ún. multimodális logikák vagy többdimenziós modális logikák, melyekben több ilyen (nem redundáns) operátor is előfordul. Ilyen logika például a temporális logika.
• Vannak olyan logikák is, az ún. polimodális logikák, amelyekben a modális operátornak nem csupán egy argumentuma van, pl.: ${\displaystyle \scriptstyle {\Box (\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n})}}$. A következőkben bemutatásra kerülő Lewis-i szigorú kondicionális (${\displaystyle {-\!\scriptstyle {\mathsf {3}}}}$) is tulajdonképpen ilyen kétargumentumú modális operátor.

Clarence Irving Lewis alkotta meg a modális logika első formalizált rendszereit abból a célból, hogy szigorítsa a klasszikus logika materiális kondicionálisát. Értelmezésében az általa használt ${\displaystyle {\scriptstyle A}{-\!\scriptstyle {\mathsf {3}}}{\scriptstyle B}}$ ún. szigorú kondicionális azt fejezné ki, hogy ${\displaystyle \scriptstyle A}$-ból levezethető ${\displaystyle \scriptstyle B}$^[8] (nem pedig hogy ${\displaystyle \scriptstyle A}$ hamis vagy ${\displaystyle \scriptstyle B}$ igaz, ahogy ez a klasszikus logikában van). A modalitásnak ezzel levezethetőségként, bizonyíthatóságként való értelmezésével ma már a modális logikán belül az ún. bizonyíthatósági logika foglalkozik.

A szigorítást Lewis a következőképpen képzeli el:^[9]

Amíg a klasszikus ${\displaystyle \scriptstyle {A\rightarrow B}}$ jelentése:

Nem áll fenn, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$ igaz, de ${\displaystyle \scriptstyle {B}}$ hamis.

Addig ezt a következőképpen lehet szigorítani az alethikus modalitással:

Nem állhat fenn, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$ igaz, de ${\displaystyle \scriptstyle {B}}$ hamis.

Más szóval:

Szükségszerű, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$ hamis, vagy ${\displaystyle \scriptstyle {B}}$ igaz.

Tehát

${\displaystyle {\scriptstyle A}{-\!\!\scriptstyle {\mathsf {3}}}{\scriptstyle B}{\scriptstyle \iff _{\!\!def}\Box (A\rightarrow B)}}$

Azaz itt már érezhetően nem csak az aktuális szituáció, hanem az összes lehetséges szituáció is szerepet játszik ${\displaystyle {\scriptstyle A}{-\!\scriptstyle {\mathsf {3}}}{\scriptstyle B}}$ igazságának eldöntésében. E jelet egyébként 'horognak' szokás mondani, ezt a kondicionálist pedig Lewis után szigorú kondicionálisnak nevezik.^[10]

A bikondicionális szigorú változatát pedig oda-vissza horoggal szokás jelölni:^[11] ${\displaystyle {\scriptstyle A}{\varepsilon \!\!\!-\!\scriptstyle {\mathsf {3}}}{\scriptstyle B}}$

Kvantifikált modális állításokkal kapcsolatban előfordulhatnak kétértelmű kifejezések. Vegyük például a következő állítást:

„Minden káplár lehet generális.”

Ennek kétfajta olvasata lehetséges:

„Minden káplár számára nyitott a lehetőség, hogy generális legyen.”

„Lehetséges, hogy minden káplár generális legyen” vagy „lehetséges, hogy nincs olyan káplár, aki ne lenne generális.”

Formalizálva a különbség egyből kitűnik:

de re: ${\displaystyle \scriptstyle {\forall x(}}$káplár${\displaystyle \scriptstyle {(x)\land \Diamond }}$ generális ${\displaystyle \scriptstyle {(x))}}$

de dicto: ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond \forall x(}}$káplár${\displaystyle \scriptstyle {(x)\land }}$ generális ${\displaystyle \scriptstyle {(x))}}$

A kétfajta olvasat tehát abban különbözik, hogy a ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond }}$ modális operátor szabad vagy kötött változóra vonatkozik-e. Előbbit nevezzük a de re, „a dologról szóló”, utóbbit a de dicto, „az állításról szóló” olvasatnak.^[12]

A modalitás és kvantifikáció kapcsán felmerülő de re és de dicto értelmezésekkel kapcsolatos viták a nyelvfilozófia és filozófiai logika jellegzetes problémái, melyek Arisztotelésztől a 20. századig jellegzetes és szinte mindig előtérben lévő témái a modális logikával kapcsolatos vitáknak.

Egy kis illusztráció – a teljesség igénye nélkül^[13] –, hogy különböző területek milyen logikákon keresztül miféle modalitásokat vizsgálnak:

• Filozófiában széles körben, például alethikus modalitást, temporális modalitást, episztemikus modalitást, deontikus modalitást,
• A matematika megalapozásánál az intuicionista logikában vagy a bizonyíthatósági logikában.
• Számítástechnikában a dinamikus logikában és temporális logikában,
• Kognitív tudományokban például az autoepisztemikus logikában,
• Nyelvészetben a modalitások tanulmányozásánál.

A modális logika grammatikája mindig egy klasszikus logika grammatikájának bővítése. A bővítés abban áll, hogy a klasszikus logika nyelvébe még bevezetnek egy vagy több modális operátort, majd a dualitás törvénye szerint definiálják azok párjait.

Már fentebb volt szó arról, hogy nem egy szituációt veszünk figyelembe, hanem több lehetséges szituációra terjesztjük ki a modális operátorokkal formuláink igazságfeltételét. Ha a modalitást egyfajta logikai értelemben vett szükségszerűségként értelmezzük, akkor így a ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A}}$ formula akkor lesz igaz, ha ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$ minden ilyen lehetséges szituációban, minden ún. lehetséges világban^[14] igaz. Ehhez hasonló módon a ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A}}$ formula pedig akkor lesz igaz, ha ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$ igazságértéke legalább egy lehetséges világban igaz lesz. A ${\displaystyle \scriptstyle {\Box }}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond }}$ modális operátorokat fölfoghatjuk tehát egyfajta 'álcázott' kvantoroknak, melyek a lehetséges világok fölött kvantifikálnak. Azon formulák esetében, melyekben nem szerepel modális operátor, természetesen nem kényszerülünk másik világokat megvizsgálni – ilyenkor minden úgy működik, ahogy azt a klasszikus logikában megszoktuk.

A lehetséges világoknak ez a felfogása megfelelő szemantikát fog biztosítani a modalitás egy bizonyos, a logikai szükségszerűségre vonatkozó értelmezése mellett. Ahhoz azonban, hogy más, 'megengedőbb' modalitásokra is kiterjesszük a szemantikát, valahol megszorításokat kell bevezetnünk. Erre jók az ún. alternatíva- vagy elérhetőségi relációk, melyek „összekötik” a szóba jöhető lehetséges világokat. Ilyen szóba jöhető lehetséges világ például egy jövőről szóló temporális logikában a holnapi nap egy időpillanata. Ekkor ugyanis a világ összes időpillanatban vett állapotaira lehetséges világként tekintünk, azonban a múltbeli pillanatok nem számítanak majd szóba jöhető időpillanatoknak annak eldöntésében, hogy egy a jövőről szóló állítás igaz-e vagy hamis. Itt tehát az alternatíva reláció az aktuális időpillanatból az összes jövőbeli világ fele mutat majd.

A relációk fogalmát felhasználva így a modális operátorok jelentése a következőképpen néz ki:

• ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A}}$ igaz a.cs.a., ha minden olyan lehetséges világban igaz, mely elérhető az alternatíva-reláció mentén az aktuális világból.
• ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A}}$ hamis a.cs.a., ha minden olyan lehetséges világban hamis, mely elérhető az alternatíva-reláció mentén az aktuális világból, azaz

igaz a.cs.a., ha van olyan lehetséges világ, amely elérhető az alternatíva-reláció mentén az aktuális világból, és ott igaz.

A logikai szükségszerűség esetében ez a reláció egy ekvivalenciareláció volt. A továbbiakban a megszorítások aszerint fognak alakulni, hogy ennek a relációnak mely tulajdonságait fogjuk elhagyni, milyen új tulajdonságokat kötünk ki rájuk, vagy mely világokat kötjük össze az alternatívarelációval. Ezek a relációkra vonatkozó szemantikai megszorítások a szintaxisban bizonyos formulák axiómaként való posztulálásával esnek majd egybe. A modális logika azon fejezetét, mely ezen viszonyokat, melyek a klasszikus első- vagy másodrendű logika illetve modális logika közt fennállnak, vizsgálja, korrespondencia-elméletnek nevezik.

A következő (csak látszólag bonyolult) ábra lehetőséget ad arra, hogy adott világok esetén az alternatívarelációkkal hogyan is működtetjük majd a ${\displaystyle \scriptstyle {\Box }}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond }}$ operátorainkat. A világokat a ${\displaystyle \scriptstyle {w_{1},w_{2}...w_{6}}}$ körök fogják jelölni. Az ebbe a körökbe írt ${\displaystyle \scriptstyle {\phi ,\psi ,\chi }}$ formulák jelölik azt, hogy a világban mely formulák igazak.

1. Bemelegítő
   • A ${\displaystyle \scriptstyle {w_{1}}}$ világban igazak a ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \phi }}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \chi }}$ formulák, mert minden elérhető világban, azaz ${\displaystyle \scriptstyle {w_{2}}}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {w_{5}}}$ világban ${\displaystyle \scriptstyle {\phi }}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {\chi }}$ igazak. Vegyük észre azonban, hogy míg ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \phi }}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \chi }}$ igazak a ${\displaystyle \scriptstyle {w_{1}}}$ világban, addig ${\displaystyle \scriptstyle {\phi }}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {\chi }}$ maguk nem igazak ott!
   • ${\displaystyle \scriptstyle {w_{2}}}$-ben ilyesmi nem fog előfordulni: Mikor azt vizsgáljuk, ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \phi }}$ igaz-e (igaz), akkor ${\displaystyle \scriptstyle {w_{3}}}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {w_{5}}}$ mellett magát ${\displaystyle \scriptstyle {w_{2}}}$-t is meg kell vizsgálnunk, mivel van egy reflexív alternatívarelációja!
   • Hasonló okok miatt nem igaz ${\displaystyle \scriptstyle {w_{3}}}$-ban ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \chi }}$.
2. Izolált világok
   • Furcsák azok a világok, melyeket nem kapcsol alternatívareláció sem magához, sem máshoz. Ezekben a világokban, mint például ${\displaystyle \scriptstyle {w_{4}}}$-ben, megeshet például, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \phi }}$ igaz, mivel nincsen olyan elérhető világ, melyben ne lenne igaz, hasonlóképpen ugyanitt ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond \phi }}$ hamis, hiszen nincs olyan elérhető világ, melyben igaz lenne.
3. Iterált operátorok. Mi van akkor, ha több modális operátort használunk egymás után?
   • Már beláttuk, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {w_{2}}}$-ben ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \phi }}$ igaz. Nézzük azonban meg a ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \Box \phi }}$ formulát! Ebben az esetben minden elérhető világban (${\displaystyle \scriptstyle {w_{2},w_{3}}}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {w_{5}}}$) meg kell nézni, hogy minden onnan elérhető világban igaz-e ${\displaystyle \scriptstyle {\phi }}$! Így ez a formula már nem lesz igaz, mivel ${\displaystyle \scriptstyle {w_{3}}}$-ból és ${\displaystyle \scriptstyle {w_{5}}}$-ből is elérhető a ${\displaystyle \scriptstyle {w_{6}}}$ világ, ahol ${\displaystyle \scriptstyle {\phi }}$ nem igaz. Az, hogy a ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A}}$ alakú formulák esetén ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \Box A}}$ alakú formulák is igazak legyenek, tranzitivitást igényelnek az elérhető világok közt, mint amilyen például a ${\displaystyle \scriptstyle {w_{1},w_{2},w_{4}}}$ világok közt is van. (Ilyesmiről bővebben lásd majd a K4, S4 és OS4 rendszereket!)
   • De vehetjük például érdekességként a ${\displaystyle \scriptstyle {w_{6}}}$-beli ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \Box ...\Box \chi }}$ formulát. Ez mindenképpen igaz lesz, hiszen, ${\displaystyle \scriptstyle {w_{6}}}$-ból csak ${\displaystyle \scriptstyle {w_{5}}}$ elérhető, és ${\displaystyle \scriptstyle {w_{5}}}$-ből csak ${\displaystyle \scriptstyle {w_{6}}}$, és mindkettőben igaz a ${\displaystyle \scriptstyle {\chi }}$ formula.

A leggyengébb ún. normális modális logika a Kripke után elnevezett K modális logika. Ez az a modális logika, amikor a szemantika keretstruktúrájában semmilyen tulajdonságot nem követelünk meg sem a világoktól, sem az alternatívarelációtól. Általában véve normális modális logikának mondjuk ezen logika bővítéseit.

Ennek a logikának a karakterisztikus formulája – és majd a leendő kalkulusának axiómája – a K formula:

K : ${\displaystyle \scriptstyle {\Box (A\rightarrow B)\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)}}$

Általában egy modális kalkulus a klasszikus kalkulus (például Frege–Hilbert-típusú kalkulus) valamilyen bővítése lesz. A bővítés abban áll, hogy további axiómákat és levezetési szabályokat illesztünk a klasszikus kalkulushoz. Természetesen a legszűkebb ilyen kalkulus a K kalkulus lesz, minden további kalkulusunk ennek lesz bővítése.

K-ban igaz formulák
${\displaystyle \scriptstyle {\land }}$	${\displaystyle \scriptstyle {\Box (A\land B)\leftrightarrow (\Box A\land \Box B)}}$
	${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond (A\land B)\rightarrow (\Diamond A\land \Diamond B)}}$
	${\displaystyle \scriptstyle {(\Box A\land \Diamond B)\rightarrow \Diamond (A\land B)}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\lor }}$	${\displaystyle \scriptstyle {(\Box A\vee \Box B)\rightarrow \Box (A\vee B)}}$
	${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond (A\vee B)\leftrightarrow (\Diamond A\vee \Diamond B)}}$
	${\displaystyle \scriptstyle {\Box (A\vee B)\rightarrow (\Box A\vee \Diamond B)}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\rightarrow }}$	${\displaystyle \scriptstyle {\Box (A\rightarrow B)\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)}}$
	${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond (A\rightarrow B)\leftrightarrow (\Box A\rightarrow \Diamond B)}}$
	${\displaystyle \scriptstyle {\Box (A\rightarrow B)\rightarrow (\Diamond A\rightarrow \Diamond B)}}$
	${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond (A\rightarrow B)\rightarrow (\Diamond A\rightarrow \Diamond B)}}$

Nem a K axióma azonban az egyetlen, amivel egy klasszikus kalkulust mindig kibővítünk. Új levezetési szabályt is felveszünk. Az új levezetési szabály az ún. szükségességi szabály, avagy a Modális Generalizálás szabálya:

(MG)  : Ha ${\displaystyle \scriptstyle {\vdash _{K}A}}$, akkor ${\displaystyle \scriptstyle {\vdash _{K}\Box A}}$.

Vagy más jelöléssel:

(MG)  : ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {A}{\Box A}}}$

Eszerint, ha egy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$ formula levezethető, akkor az ún. modális generalizáltja, ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A}}$ is levezethető. Emögött azon meggondolás áll, hogy ha egy formula logikai igazság, akkor ezen már az sem erősít, ha szükségszerű, azaz a logikai törvényszerűségnél egyik modalitás sem erősebb.

Általában véve K-hoz később felvett új axiómák felelősek a modális kalkulusok sokszínűségéért, csakúgy, mint a különböző elérhetőségi relációk a lehetséges világ-szemantikában. E két szerep közt nagyon szoros kapcsolat van: A modális axiómák érvényességének volta kikényszerít a modell alternatívarelációjától bizonyos tulajdonságokat és viszont; az alternatívareláció bizonyos tulajdonságai érvényessé tesznek bizonyos modális axiómákat. A modális logikának ezzel foglalkozó fejezetét a modális definiálhatóság elméletének vagy korrespondencia-elméletnek nevezik.

A K logika esetében legfeljebb annyit mondhatunk, hogy a K definiálja a szokásos Kripke-szemantikát.

Az a modális logika, melyben az alternatívarelációra csak a reflexivitás teljesül, lesz a T névvel jelölt modális logika. Az, hogy ez a reflexivitás teljesül, valami ilyesmit jelent:

„Ha valami szükségszerű, akkor az úgy is van.” „Ha valamely állítás igaz bármely elérhető lehetséges világban, akkor az ebben a világban is igaz.”

Az erre a logikára jellemző következő formulát alethikus sémának nevezik:

T-ben igaz formulák
${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {A\rightarrow \Diamond A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Diamond A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond (A\rightarrow \Box A)}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Box \Box A\rightarrow \Box A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Box \Diamond A\rightarrow \Diamond A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Diamond \Box A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A\rightarrow \Diamond \Diamond A}}$

T: ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow A}}$

E formula felelős az alternatívareláció reflexivitásáért, azaz ez a formula modálisan definiálja a reflexivitást. Ennek megfelelően e modális logika kalkulusának egy axiómája is lesz.

Alethikus egy modális logika akkor, ha tétele az alethikus séma. A leggyengébb alethikus logika tehát T lesz.

Az a modális logika, amelyikben az alternatívarelációra csak a tranzitivitás teljesül, lesz a K4 modális logika. Az, hogy a tranzitivitás teljesül, valami ilyesmit jelent:

„Ha valami igaz bármely elérhető lehetséges világban, akkor az ezekben az elérhető világokban is szükségszerű, azaz bármely belőlük elérhető lehetséges világban is igaz.”

A tranzitivitást definiáló formula, és így a rendszer kalkulusának axiómája:

4: ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Box \Box A}}$

E rendszer tehát szigorúan véve nem alethikus rendszer, azonban szoros kapcsolata azokkal igényli a velük való tárgyalást. E logikát az általában szintén nem alethikus logikákat tanulmányozó bizonyíthatósági logikában használják. Ennek oka hogy a K, 4 formulák és a (MG) levezetési szabály ha a ${\displaystyle \scriptstyle \Box A}$-t úgy értjük, hogy ${\displaystyle \scriptstyle A}$ gödel-száma levezethető ${\displaystyle \scriptstyle PA}$-ban, jelentős szerepet játszik Gödel második nemteljességi tételének bizonyításában. Ezért e három ${\displaystyle \scriptstyle PA}$-beli megállapítást Hilbert-Bernays-Löb-féle levezethetőségi feltételeknek is mondják.^[17]

Az előző két logikának inkább csak technikai jelentősége volt, magukban még elégtelenek bármiféle szükségszerűséghez hasonló fogalmunk leírására, inkább csak annak néhány jellegzetes vonását tudták megragadni. Azonban T és K4 logikák tulajdonságait kombinálva adódik az S4 logika, amelyben az alternatívareláció már egyszerre reflexív és tranzitív. Ez a logika már nem pusztán technikai jelentőséggel bír, ugyanis megragadható lesz benne például az episztemikus értelemben vett szükségszerűség, amivel az episztemikus logika foglalkozik. Értelmezzük most a ${\displaystyle \scriptstyle {\Box }}$-operátort ez utóbbi szellemében a „tudom, hogy …” értelemben. A reflexivitás és a tranzitivitás ekkor így fogalmazható:

„Ha tudok valamit, akkor az úgy is van.” „Ha tudok valamit, akkor azt is tudom, hogy tudom azt.”

Az S4 nagyon fontos még a bizonyíthatóság modalitása szempontjából is, ahol is az intuicionista logika bizonyíthatóság-fogalmát írja le.^[18]

A reflexivitásért és tranzitivitásért felelős formulák természetesen az előző két logika jellemző formulái lesznek:

S4-ben igaz formulák
${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\leftrightarrow \Box \Box A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond \Diamond A\leftrightarrow \Diamond A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond \Box \Diamond A\leftrightarrow \Diamond A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond \Box \Diamond \Box A\leftrightarrow \Diamond \Box A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Box \Diamond \Box \Diamond A\leftrightarrow \Box \Diamond A}}$

re: ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow A}}$

tra: ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Box \Box A}}$

A kalkulus axiómái is ennek megfelelően ezek lesznek.

Az így axiomatizált logika deduktíve ekvivalens a C. I. Lewis-nél szereplő S4 kalkulussal, innen is kapta ezt az elnevezést.

Szokás egyébként az S4 bevezetése mellett szintaktikai érveket is felhozni. Szintaktikai értelemben modalitásnak nevezik azon jelsorozatokat, melyek a ${\displaystyle \scriptstyle {\Box }}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\lnot }}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond }}$ jelekből állnak (vagy még ezekből se). A De Morgan azonosságok ismeretében ezek átalakíthatók olyan sorozatokra is, melyek csak a ${\displaystyle \scriptstyle {\Box }}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond }}$ jeleket tartalmazzák. Az S4 bevezetése előtt a feltett kérdés a következő volt: Milyen hosszú nem ekvivalens modalitások lehetségesek az adott modális logikában? Azok közt pedig, amelyek lehetségesek, mi az erősségi sorrend? Pl. ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \Box A}}$ erősebb-e ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A}}$-nál? Erre pl. már T-ben is kaphatunk választ, ott azonban még végtelen sok modalitás lehetséges.

Azon formulák, amelyek a modalitások redukálhatóságát biztosítják, (az ún. modális redukciós törvények) a következők:

${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\leftrightarrow \Box \Box A\qquad \qquad \Box A\leftrightarrow \Diamond \Box A}}$

${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A\leftrightarrow \Diamond \Diamond A\qquad \qquad \Diamond A\leftrightarrow \Box \Diamond A}}$

Ezen négy ekvivalenciából mindegyiknek egyik iránya rendelkezésünkre állt már T-ben. Ha meg akarjuk kapni ezeket, akkor további axiómák felvételére van szükség. Az T és K4 axiómájának együttes felvétele mellett ez az érv szólt, ezek ugyanis biztosítják az első oszlopban lévő ekvivalenciákat és a második oszlopban lévők egyik felét. Ezekkel sem rendelkezünk még azonban az összes ekvivalenciával, így az S4-ben nem ekvivalens modalitások a képen látható módon gyengülnek.

Ha még rendezettebb (háromelemű) ábrát akarunk látni, akkor az utolsó hiányzó ekvivalenciára, ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A\leftrightarrow \Box \Diamond A}}$-ra van szükség. Érdekes módon azonban a T-ben már ez egymaga elegendő az összes többi ekvivalencia levezetésére. Az így kapott logika lesz az S5.^[19]

Ha az T-beli (reflexív) alternatívarelációt szimmetrikussá is tesszük, akkor kapjuk a B modális logikát.

A szimmetria a szemantika szemszögéből:

„Ha egy formula igaz, akkor minden elérhető lehetséges világból elérhető lesz egy olyan lehetséges világ, melyben ez a formula igaz.”

B-ben igaz formulák
${\displaystyle \scriptstyle {(\Diamond \Box A\land \Box \Diamond B)\rightarrow \Box \Diamond (A\land B)}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond \Box A\rightarrow \Box \Diamond A}}$

E modális logika új formulája a B, mely a reláció szimmetriájáért lesz felelős. A jellemző formulák tehát:

T: ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow A}}$

B: ${\displaystyle \scriptstyle {A\rightarrow \Box \Diamond A}}$.

A B modális logika nevét az intuicionista Brouwer-ről kapta, mivel a szimmetriáért felelős sym formulában egyes logikusok intuicionista vonásokat véltek felfedezni, mégpedig a következő gondolatmenet miatt:^[20] Intuicionista logikában a negációt szigorúbban értelmezik. A ${\displaystyle \scriptstyle {\lnot A}}$ szemléletes jelentése nem az, hogy „nem igaz, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$”, hanem hogy „cáfolva van, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$”, azaz „lehetetlen ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$”. Ezt modális logikában egy ${\displaystyle \scriptstyle {\Box \lnot A}}$-val fejezhetnénk ki. Ekkor a negációtörvények az intuicionizmusban a következőképpen fordítódnának:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}\lnot \lnot A\rightarrow A&\rightsquigarrow &\Box \lnot \Box \lnot A&\iff &\Box \Diamond A\rightarrow A\\A\rightarrow \lnot \lnot A&\rightsquigarrow &A\rightarrow \Box \lnot \Box \lnot A&\iff &A\rightarrow \Box \Diamond A\end{array}}}$

Ahol is az intuicionizmus számára megengedett második negációtörvény modális változata B jellemző formulája lenne. Ennek a logikának azonban az intuicionizmushoz valójában nem sok köze van (nem úgy, mint S4-nek).

Ha az S4-ben lévő alternatívarelációt szimmetrikussá vagy a B-ben lévő alternatívarelációt tranzitívvá tesszük, akkor ezzel egyúttal ekvivalenciarelációt is kapunk, és így a már emlegetett logikai szükségszerűség modalitásához jutunk. A szimmetria a szemantika szemszögéből:

„Ha egy formula igaz, akkor minden elérhető lehetséges világból elérhető lesz egy olyan lehetséges világ, melyben ez a formula igaz.”

E modális logikának tulajdonképpen már nincs új formulája, csak a meglévő rendszerek tulajdonságait ötvözi:

tételek S5-ből
${\displaystyle \scriptstyle {\Box (A\vee \Box B)\rightarrow (\Box A\vee \Box B)}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Box (A\vee \Diamond B)\rightarrow (\Box A\vee \Diamond B)}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond (A\land \Diamond B)\leftrightarrow (\Diamond A\land \Diamond B)}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond (A\land \Box B)\leftrightarrow (\Diamond A\land \Box B)}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Box (\Box A\rightarrow \Box B)\vee \Box (\Box B\rightarrow \Box A)}}$

T: ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow A}}$

4': ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Box \Box A}}$

B: ${\displaystyle \scriptstyle {A\rightarrow \Box \Diamond A}}$.

Lehetséges és szokásos azonban az S5 rendszert euklideszi relációval, avagy az ezt definiáló eukl formulával megkapni T-ből. Ez a lehetséges világok nyelvén már kissé bonyolultabbat jelent, mint az előző rendszerek esetében:

„Ha valami igaz egy szomszédos világban, akkor nem csak neki, de minden szomszédos világnak is van olyan szomszédja, amiben igaz.”

Azaz formula szerint:

5: ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A\rightarrow \Box \Diamond A}}$.

E rendszert szokás az analiticitás logikájának nevezni, mivel a ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A}}$ modalitásnak szokás azt a jelentést tulajdonítani, hogy analitikusan igaz, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$.^[21]

Ennél is kézenfekvőbb kimondása ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A}}$-nak S5-ben a következő: Van olyan lehetséges világ, amelyben ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$ igaz. Vegyük észre, hogy az előbbi mondatban nem szerepelt az elérhető szó. Sajnos ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A}}$ esetében már nem élhetünk ilyen leegyszerűsítéssel, mivel a S5 axiómái és alternatívarelációjának tulajdonságai megengedik az egymástól izolált világ(csoportosulás)okat.

Szintaktikai értelemben vett modalitások tekintetében (azaz hogy milyen lényegesen különböző ${\displaystyle \scriptstyle {\Box }}$-${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond }}$ sorozatok lehetségesek a tételei közt és ezek milyen viszonyban állnak egymással) az S5 rendszer igen egyszerű, ugyanis három modalitás van: ${\displaystyle \scriptstyle {\Box }}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond }}$, vagy egyszerűen csak nem modalizált.

Bővebben: Deontikus logika

Az alethikus séma a deontikus modalitás esetében túlzó; vegyük például következő mondatot:

„Ha valami kötelező, akkor az úgy is van.”

Ez természetesen kerülendő a modalitás deontikus értelmezése esetében. Ehelyett kevesebbet követelünk az alternatívarelációtól: nem azt követeljük meg, hogy reflexív legyen, hanem csak azt, hogy definitív legyen.^[22] Ezt a következőképpen fogalmazhatnánk meg:

„Ha valami kötelező, akkor az megengedett.”

vagy lehetséges a világok nyelvén:

Deontikus modalitások esetében a lehetséges világokra a következőképp érdemes gondolni: Az aktuális világ szomszédjai olyan világok, amelyek morális szempontból ideális(abb)ak. Így a lehetséges világok nyelvén a fenti mondat a következőképpen fogalmazható:

„Ha valami minden elérhető lehetséges világban igaz, akkor van is olyan elérhető lehetséges világ, melyben igaz.”

Így az erre a rendszerre jellemző formula a következő lesz:

SDL-ben igaz formulák
${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Diamond A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond (A\rightarrow A)}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A\vee \Diamond \lnot A}}$
${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond (\Diamond A\vee \Diamond \lnot A)}}$

D vagy ser : ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Diamond A}}$

Az alethikus sémához hasonlóan nevezhetjük ezt deontikus sémának is. A leggyengébb deontikus rendszert, standard deontikus logikának nevezzük és SDL-lel jelöljük.^[23]

Formális jelentősége még e rendszernek, hogy bármilyen normális rendszernek ha van ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A}}$ alakú tétele, akkor az tartalmazza SDL-t is, azaz egy modális logika akkor és csak akkor deontikus, ha van ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond A}}$ alakú tétele.

Úgy tűnik azonban, hogy az SDL rendszernek még nem részei az olyan kijelentések, mint például a következők:

„Ha valami kötelezően kötelező, akkor az kötelező” „Elvárt, hogy ha valami kötelező, akkor az úgy is legyen.”

Ezek biztosításához egy további szigorítást kell eszközölnünk az alternatívareláción. A szomszédos világok legyenek törvény szerint tökéletesek; kössük ki azt, hogy azon világok, melyek a definitivitás következtében alternatívarelációban állnak az aktuális világgal, magukkal is relációban álljanak (azaz onnantól már követeljük meg reflexívnek az alternatívarelációt). Ezzel az ún. másodlagos szerialitás tulajdonságát fogalmaztuk meg. Ez már elegendő ahhoz, hogy a fenti tulajdonságok érvényesek legyenek. Az e rendszert meghatározó formula a második mondattól kölcsönzi az alakját:

ser2 : ${\displaystyle \scriptstyle {\Box (\Box A\rightarrow A)}}$

Ezzel az újonnan alkotott SDL+ rendszert meghatározó formulák a következők:

ser : ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Diamond A}}$

ser2 : ${\displaystyle \scriptstyle {\Box (\Box A\rightarrow A)}}$

Amennyiben tovább bővítjük SDL-t (ezúttal a T bővítéséhez hasonló módon) a tranzitivitással, akkor nyerhetjük a OS4^[24] rendszert. Az erre a rendszerre jellemző formulák:

ser : ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Diamond A}}$

tra : ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Box \Box A}}$

Utóbbi deontikus olvasata:

„Ha valami kötelező, akkor elvárt, hogy kötelező is legyen”

vagy némi egyszerű ekvivalens átalakítással nyerhető ebből a ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond \Diamond A\rightarrow \Diamond A}}$ formula ami pedig valami ilyesmi:

„Ha megengedett, hogy valami meg legyen engedve, akkor az már meg is van megengedve”

Látható, hogy a tranzitivitás beengedése a deontikus logikába egy meglehetősen szigorú kötelességfogalomhoz vezet. Ez már nem is annyira a törvényi, hanem inkább egy lelkiismereti kötelezettségfogalomhoz áll közelebb.

Az OS5 esetében, ha alethikus rokonához, S5-höz hasonlóan a relációt még ezentúl szimmetrikussá is tesszük, a jellemző (részben már ismert) formulák a következők lesznek:

ser : ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Diamond A}}$

tra : ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A\rightarrow \Box \Box A}}$

sym: ${\displaystyle \scriptstyle {A\rightarrow \Box \Diamond A}}$

„Ha valami tény, akkor kötelező, hogy meg legyen engedve.”

Azonban ez a rendszer csak névleg deontikus, valójában e három tulajdonság már biztosítja az alethikus sémát:

1. szerialitás: Tetszőleges világra igaz, hogy egy alternatívareláció mentén elérhető belőle egy másik világ
2. szimmetria: E másik világból is elérhető ekkor már az előző világ.
3. tranzitivás: Tehát az eredeti világból elérhető saját maga is.

Ezzel beláttuk, hogy OS5 valójában egy alethikus rendszer, méghozzá a logikai szükségszerűség rendszere.

Bővebben: Bizonyíthatósági logika

Vannak olyan tipikusan matematikai modalitások is, mint a bizonyíthatóság. Gödel használta először a modális operátort ilyen kontextusban, mikor a konstruktív bizonyítások logikáját, az intuicionista logikát megfeleltette C. I. Lewis egyik modális kalkulusának – ez a logika S4 volt. Később több megfeleltetést is leírtak, és új modális logikák is születtek a kutatások során.

A másik, híresebb modális kalkulus a GL. Ennek a kalkulusnak két szemantikája is van, az egyik a szokásos Kripke-féle lehetséges világ-szemantika, a másik pedig a Peano-aritmetika. Itt a ${\displaystyle \scriptstyle \Box A}$-nak a Peano-aritmetika ${\displaystyle \scriptstyle Biz(\ulcorner A\urcorner )}$ kifejezés felel meg, tehát ez a modális logika a Peano-aritmetika bizonyíthatóság fogalmát ragadja meg. Erről is kiderült, hogy jó fordítás abban értelemben, hogy akkor és csak akkor vezethető le egy formula a GL-ben, ha a neki megfelelő formula levezethető a Peano-aritmetikában.

Kripke-szemantika szerint a GL kalkulus modelljei az irreflexív, tranzitív, és inverz-jólfundált keretstruktúrák. Külön érdekesség, hogy az utolsó tulajdonság elsőrendben nem, csak másodrendben definiálható tulajdonság.

Bővebben: Temporális logika

Az elkövetkező néhány egyszerű temporális logika tárgyalása kapcsán példát mutathatunk polimodális rendszerre. E logikában lényegében két operátor fog szerepelni; egy a múltra, egy a jövőre vonatkozó modalitást fogja képviselni a következő módon:

Temporális operátorok	Erős modalitás ${\displaystyle \scriptstyle {(\Box )}}$	Gyenge modalitás ${\displaystyle \scriptstyle {(\Diamond )}}$
Jövőre vonatkozó modalitás:	${\displaystyle \scriptstyle {GA}}$: „Mindig úgy lesz, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$.”	${\displaystyle \scriptstyle {FA}}$: „Majd lesz úgy, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$.”
Múltra vonatkozó modalitás:	${\displaystyle \scriptstyle {HA}}$: „Mindig úgy volt, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$.”	${\displaystyle \scriptstyle {PA}}$: „Volt már úgy, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$.”

A két modalitáshoz tartozó rendszerek együtt fognak bővülni; Egy tételben tetszőlegesen megcserélhetjük a múlt-jövő modális operátorokat. Ezt a szabályt analógiás szabálynak hívják.

Temporális logikában a lehetséges világokat érdemes egymást követő időpillanatoknak elképzelni. Az itt bemutatott temporális rendszerek az időfelfogással kapcsolatosan tesznek más és más megszorításokat. Az itt szereplő rendszerek relációira nem lesz jellemző a reflexivitás, ez azonban nem zárja ki, hogy ne lenne ilyen értelmezés; ebben az esetben a modalitások a következőhöz hasonlóan alakulnak: ${\displaystyle \scriptstyle {\Box A}}$: „Most és mindig úgy volt, hogy ${\displaystyle \scriptstyle {A}}$.”

Mivel a temporális logika egy bimodális logika, azaz két modális operátor szerepel benne. A két gyenge operátort, (azaz a ${\displaystyle \scriptstyle {\Diamond }}$ megfelelőit) ${\displaystyle \scriptstyle {F}}$-fel (mint future) és ${\displaystyle \scriptstyle {P}}$-vel (mint past) fogjuk jelölni. Innen az ábécét folytatva ${\displaystyle \scriptstyle {\lnot F\lnot A\Leftrightarrow GA}}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {\lnot P\lnot A\Leftrightarrow HA}}$

A két modalitás kapcsolatát, nevezetesen hogy 'ellentétes irányúak', már a legalapvetőbb rendszerben meg kell teremteni. Ezt a feladatot látják el az antisym_f és antisym_p axiómák, amelyek azt követelik meg, hogy amerre az egyik modalitás mentén lehet menni, onnan a másik modalitással lehet visszajönni.

Ezen kívül általában minden axióma „kétszer szerepel” majd, mivel mindkét operátorra ki kell mondani őket. Így lesz ez minden levezetési szabállyal is, például a modális generalizációval is (mely utóbbit speciálisan itt szokás temporális generalizációnak mondani és (TG)-vel jelölni).

Az első (pontosabban nulladik) rendszerben tehát csak azt kötjük ki, hogy az alternatívareláció ne legyen szimmetrikus, mivel a jövőre utaló állításoknak és a múltra utaló állítások pontosan egy (egymásnak ellenkező) irányba mutatnak: A szimmetriát jellemző formula S5-ben a következő volt: sym: ${\displaystyle \scriptstyle {A\rightarrow \Box \Diamond A}}$. Ehhez nagyon hasonló módon a különböző modális operátorokat 'ötvözzük össze', hogy az antiszimmetriát elérjük:

antisym_f:${\displaystyle \scriptstyle {A\rightarrow GPA}}$

antisym_p:${\displaystyle \scriptstyle {A\rightarrow HFA}}$

Azaz:

„Ha valami jelen pillanatban igaz, akkor mindig igaz lesz, hogy valaha igaz volt.” „Ha valami jelen pillanatban igaz, akkor mindig igaz volt, hogy egyszer majd igaz lesz.”

Mivel ezekben az axiómákban mindkét modalitás szerepel, hívják ezeket interakciós axiómáknak is.

Következő lépésben a már ismert tranzitivitást várhatjuk el a temporális logikától. Azaz:

„Ha valami a jövőben mindig igaz lesz, akkor a jövőben is örökké igaz lesz, hogy mindig igaz marad.” „Ha valami a múltban mindig igaz volt, akkor az a múltban is örökké igaz volt, hogy mindig igaz maradt.”

tra_f: ${\displaystyle \scriptstyle {GA\rightarrow GGA}}$

tra_p: ${\displaystyle \scriptstyle {HA\rightarrow HHA}}$

TL1-ben még a világok közt előfordulhattak olyan világok, azaz olyan pillanatok, melyek nem állnak egymás előtt vagy mögött, viszont van közös múltjuk vagy jövőjük. Ezt kiküszöbölendő az alternatívarelációra kiköthetjük azt, hogy bármely két különböző világ relációban álljon egymással, azaz az alternatívareláció legyen trichotóm, más néven összefüggő.^[25] Ezt valahogy így lehetne mondani:

„Ha két állítás a jövőben lesz igaz, akkor a jövőben lesz olyan pillanat is, hogy mindkettő egyszerre lesz igaz, vagy lesz olyan pillanat, hogy csak az egyik igaz, és a másik majd igaz lesz, vagy olyan pillanat lesz, hogy az egyik lesz a jövőben igaz, mikor a másik éppen az.” „Ha két állítás a múltban igaz volt, akkor a múltban is volt olyan pillanat, hogy mindkettő egyszerre volt igaz, vagy volt olyan pillanat, hogy az egyik igaz, de a másik már régebben az volt, vagy olyan pillanat volt, hogy az egyik volt a múltban igaz, mikor a másik éppen az.”

E rendszer jellemző formulái tehát:

H vagy comp_f:${\displaystyle \scriptstyle {(FA\land FB)\rightarrow (F(A\land B)\vee F(A\land FB)\vee F(FA\land B))}}$

H vagy comp_p:${\displaystyle \scriptstyle {(PA\land PB)\rightarrow (P(A\land B)\vee P(A\land PB)\vee P(PA\land B))}}$

A formula H neve H Hintikkára utal. Az összefüggőség leírására egy ezzel ekvivalens formula használata is elterjedt:

H vagy comp_f: ${\displaystyle \scriptstyle {(\Diamond A\land \Diamond B)\rightarrow (\Diamond (A\land B)\vee \Diamond (A\land FB)\vee \Diamond (FA\land B))}}$

H vagy comp_p: ${\displaystyle \scriptstyle {\Box (\Box A\rightarrow B)\vee \Box (\Box B\rightarrow A)}}$

A mostani utolsó lépés már csak az, hogy a ezeket a lehetséges világokat vagy időpillanatokat olyanná tegyük, mint a valós vagy racionális számtest; sűrűvé. Ez azt jelenti, hogy bármely két időpillanat közt is kell legyen egy időpillanat, azaz:

„Ha valami a jövőben igaz lesz, akkor lesz olyan (köztes) pillanat is, hogy ott elmondható: ez a valami a jövőben igaz lesz.” „Ha valami a múltban igaz volt, akkor volt olyan (köztes) pillanat is, hogy ott elmondhattuk volna: ez a valami a múltban igaz volt.”

E rendszer jellemző formulái tehát:

den_f:${\displaystyle \scriptstyle {FA\rightarrow FFA}}$

den_p:${\displaystyle \scriptstyle {PA\rightarrow PPA}}$

Megjegyzendő, hogy [#T |reflexív] vagy [#SDL+|másodlagosan szeriális] alternatívarelációnál ez a két tulajdonság automatikusan teljesül (és a megfelelő tulajdonságokkal rendelkező rendszerekből le is vezethetőek).

Hasonlóan ahhoz, ahogy nulladrendű modális logikában minden lehetséges világra lehetett úgy gondolni, mint egy klasszikus nulladrendű interpretációra, az elsőrendű modális logikára is lehet úgy gondolni, hogy a különböző lehetséges világok különféle klasszikus elsőrendű interpretációk.

Ezt az elgondolást követve minden világhoz tartozna

• egy saját univerzum,
• melynek elemein a többi világétól függetlenül lennének a relációk értelmezve,
• továbbá amelyen különböző szemantikai függvények határoznák meg a relációk és névkonstansok jelöleteit.
• továbbá egy értékelés, ami a kvantoros kifejezéseket kezelné.

Mivel azonban ez a sok függvény, univerzum stb. nem függ a többitől, általában egyetlen univerzumot, függvényt, relációt stb. fogunk minden világra külön értelmezni.

Egy elsőrendű modális logikai modell ez alapján a következő lesz:

${\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {M}}=\langle W,R,U,Q,{\mathfrak {V}}\rangle }$

ahol

• ${\displaystyle \scriptstyle W}$a lehetséges világok halmaza, azaz egy tetszőleges nem üres halmaz.
• ${\displaystyle \scriptstyle R}$ az alternatívareláció ezen a halmazon, azaz ${\displaystyle \scriptstyle W\times W}$ egy tetszőleges része.
• ${\displaystyle \scriptstyle U}$ minden lehetséges individuumok halmaza, azaz egy tetszőleges nem üres halmaz. (Fontos, hogy a kvantifikáció nem feltétlen fut majd ezen az egész halmazon!)
• ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ egy ${\displaystyle \scriptstyle W}$-beli világokhoz \scriptstyle U egy részét rendelő függvény, azaz nem más, mint aki majd mindegyik világról megmondja, hogy benne mely lehetséges individuumok lesznek aktuálisak is. A kvantifikáció tehát ide lesz 'bezárva', ez lesz az ún. kvantifikációs tartomány.
• ${\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {V}}}$ az a szemantikai függvény, ami megmondja, hogy a névkonstansok és a predikátumok az univerzum mely elemeit és azok közti relációkat jelölik.

A kvantifikációs tartományok, azaz ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ szempontjából két jelentősen különböző elsőrendű modális logikát különböztetünk meg.

A történetileg is első és legegyszerűbb eset, hogy minden világban ugyanaz a kvantifikációs tartomány, azaz a ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ világokhoz kvantifikációs tartományt rendelő függvény egy konstans függvény, azaz minden világ kvantifikációs tartománya az ${\displaystyle \scriptstyle U}$ univerzum. Egyszerűen szólva ez annyit jelent, hogy minden világban ugyanazok az individuumok léteznek, tehát nincs olyan individuum, ami az egyik világban létezne, a másikban viszont nem.

Az olyan terminusokat, amelyek minden elérhető lehetséges világban ugyanazt jelölik, merev terminusoknak vagy merev jelölőknek nevezzük. A merev jelölőknek ezen a tulajdonságát a következő formula ragadja meg:

${\displaystyle \scriptstyle t=t\,\,\rightarrow \,\,\Box t=t}$

A Barcan-típusú logikákban tehát minden terminus merev jelölő.

Barcan-típusú logikákban érvényes a következő, kvantor és modális operátor sorrendjének megfordításáról szóló ún. Barcan-formula:

BF : ${\displaystyle \scriptstyle \Diamond \exists xA\rightarrow \exists x\Diamond A}$

A formula természetes nyelvi megfogalmazása problematikusnak tűnik; legyen ${\displaystyle \scriptstyle A}$ az, hogy „${\displaystyle \scriptstyle x}$ marslakó”:

Ha lehet, hogy vannak marslakók, akkor vannak is olyasvalamik, amik marslakók lehetnének.

Átfordítva a lehetséges világok nyelvére ez azonban csak annyit tesz, hogy

Ha van olyan lehetséges világ, ahol van olyan individuum, ami benne van a „marslakó” extenziójában, akkor van olyan individuum is (mivel itt minden terminus merev, alighanem ugyanez lesz), ami egy lehetséges világban (vélhetően az előbb említettben) benne van a „marslakó” extenziójában.

A paradox jelenséget az okozza, hogy mivel minden világ kvantifikációs tartománya ugyanaz, nevezetesen ${\displaystyle \scriptstyle U}$, ezért azon individuumok, melyek fölött kvantifikálunk, tulajdonképpen lehetséges individuumok, azaz olyan individuumok, melyek fölött bár kvantifikálunk, nem köteleződünk el az adott világbeli létezésük mellett. Ezt a látszólagos ellentmondást többféleképp szokás feloldani, mely megoldások a Kripke-típusú elsőrendű modális logikákhoz vezetnek.

Az előző problémát kezelhetjük úgy is, hogy a szabad logika eszköztárát használjuk fel. Minden világban elkülönítjük az aktuális objektumok körét egy ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {E} }$ ún. egzisztencia-predikátummal, amit a nyelvben a logikai szimbólumok közé szokás felvenni. Ekkor szigorúbb kvantorokat nyerhetünk a következő definíciókkal:

${\displaystyle \scriptstyle {\underline {\exists }}xA\Leftrightarrow _{def}\exists x(\mathbf {E} x\land Ax)}$

${\displaystyle \scriptstyle {\underline {\forall }}xA\Leftrightarrow _{def}\forall x(\mathbf {E} x\supset Ax)}$

A kérdés már csak ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {E} }$ szemantikai értéke maradt: Azonban alighanem erre való az a ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ függvény, amely a Barcan-típusú logikákban konstans ${\displaystyle \scriptstyle U}$ értékű függvény volt. Ha ezt világokhoz ${\displaystyle \scriptstyle U}$-beli részhalmazt rendelő függvénynek vennénk, akkor ez megfelelne ${\displaystyle \scriptstyle E}$ intenziójának. Az eredmény tehát az lenne, hogy az újonnan bevezetett erős ${\displaystyle \scriptstyle {\underline {\forall }}}$ és ${\displaystyle \scriptstyle {\underline {\exists }}}$ kvantorok világról világra változó kvantifikációs tartományát határoztuk meg egy predikátummal.

Természetesen az egzisztencia-predikátumok bevezetése és a kvantorok duplikációja egyáltalán nem szükséges, ez megoldható úgy is, ha a szokásos ${\displaystyle \scriptstyle \forall }$-${\displaystyle \scriptstyle \exists }$ kvantorokkal való kvantifikáció szemantikai értelmezését eleve egy nemkonstans ${\displaystyle \scriptstyle Q}$ által világokhoz rendelt univerzum-részhalmazon belül definiáljuk.

A továbbiakban a félreértés elkerülése végett az egzisztencia-predikátumos megoldással dolgozunk.

Kripke rendszerekben gyorsan lehet cáfolni a (szigorú ${\displaystyle \scriptstyle {\underline {\forall }}}$-${\displaystyle \scriptstyle {\underline {\exists }}}$ kvantorokkal értett) Barcan-formula érvényességét. Érdemes azonban megvizsgálni, hogy milyen feltételek szükségesek és elégségesek az érvényességéhez. Ekkor a következőt állapíthatjuk meg:

A BF: ${\displaystyle \scriptstyle \Diamond {\underline {\exists }}xA\rightarrow {\underline {\exists }}x\Diamond A}$ akkor és csak akkor érvényes, ha minden világ kvantifikációs tartománya tartalmazza az alternatívareláció mentén őt követő világ kvantifikációs tartományát. Más szóval, aki létezik \scriptstyle{w}-ben, létezzen az őt követő \scriptstyle{ w'}-ben is. Vagy matematikai kifejezéssel élve; a világokhoz kvantifikációs tartományt rendelő függvény legyen anti-monoton az alternatívareláció mentén:

${\displaystyle \scriptstyle K\models {\underline {\exists }}x\Diamond A\rightarrow \Diamond {\underline {\exists }}xA\leftrightsquigarrow (\forall w,w'\in W)(wRw'\to D_{w}\supseteq D_{w'})}$

Itt természetesen a két oldalt a kvantorok más nyelv kvantorai: A bal oldalon egy elsőrendű modális nyelvé, a jobb oldalon pedig egy halmazelméleté.

Érdemes megvizsgálni a Barcan-formula konverzét is, ami persze pont fordítva fog működni:

A CBF: ${\displaystyle \scriptstyle {\underline {\exists }}x\Diamond A\rightarrow \Diamond {\underline {\exists }}xA}$ akkor és csak akkor érvényes, ha minden világ kvantifikációs tartománya tartalmazza az alternatívareláció mentén őt megelőző világ kvantifikációs tartományát. Más szóval, aki létezik \scriptstyle{w'}-ben, létezzen az őt megelőző \scriptstyle{ w}-ben is. Vagy matematikai kifejezéssel élve; a világokhoz kvantifikációs tartományt rendelő függvény legyen monoton az alternatívareláció mentén:

${\displaystyle \scriptstyle K\models \Diamond {\underline {\exists }}xA\rightarrow {\underline {\exists }}x\Diamond A\leftrightsquigarrow (\forall w,w'\in W)(wRw'\to D_{w}\subseteq D_{w'})}$

Érdekes módon a Barcan-formula konverzének természetes nyelvi jelentése nem paradox. Jó ötlet lehetne tehát, hogy egy természetes nyelvnek szánt elsőrendű modális logika esetében a konverz Barcan-formula érvényességét megköveteljük, míg a Barcan formula érvényességét elkerüljük. Ez azonban csak ideig-óráig működik, mivel amint szimmetrikus lesz az alternatívareláció, pl. a B és S5 nulladrendű modális logikák elsőrendű bővítéseinél, a monotonitási és antimonotonitási tulajdonságok egymást involválják.

A Kripke-típusú rendszerekben tehát, amelyek a logikai szükségszerűség modalitásáig, tehát S5-ig el akarják kerülni a Barcan-formula érvényességét, ki kell tagadniuk a Barcan-formula konverzét is.

Természetes nyelv leírásakor nem szerencsés, ha (a Barcan-típusú logikákhoz hasonlóan) minden terminus merev, azaz hogy ha egy terminus egy világban jelöl egy individuumot, akkor minden (elérhető) világban ugyanezt az individuumot jelöli. Intuitíción alapuló nyelvfilozófiai érvelések oda vezettek, hogy ez a tulajdonnevek és demonstratívumok esetében helytálló, azonban a deskripciók esetében már problematikus. Az „a Wikipedia alapítója” határozott leírás most Jimmy Wales-et jelöli, azonban intuitíve lehetséges, hogy ne Jimmy Wales alapítsa meg a Wikipediát. Sőt, még az is elképzelhetőnek tűnhet, hogy senki sem alapítja meg a Wikipédiát, ez esetben ennek a leírásnak még jelölete sem lenn az adott lehetséges világban.

A fenti meggondolások okán el szokás várni tehát a merev jelölést a konstansoktól és a változóktól, de nem a deskripcióktól.

Egyre közelítve a nyelvfilozófiához kérdéses lehet aztán, hogy egy lehetséges individuumról, mondjuk a Vulkánról vagy a jelenlegi francia királyról szóló kijelentések (azaz ezen individuumokkal kitöltött predikátumok) milyen igazságértékkel bírnak? Az a logikai diszciplína, ami erre a kérdésre keresi a választ, a szabad logika.^[26] Több válasz is született erre az idők során:

• Az ilyen terminusokat tartalmazó atomi kijelentések néha lehetnek igazak. Ez az ún. pozitív stratégia. Eszerint legalább az olyan önazonosságot kifejező kijelentések, mint például a „Vulkán az a Vulkán”, legalább a logikai formájuk okán igazak kellene legyenek.
• Az ilyen terminusokat tartalmazó atomi kijelentések kivétel nélkül mind hamisak. Ez a negatív stratégia. Az emellett szóló érvek a logikai rendszer egyszerűsége, és az, hogy minden ilyen állítás kimondásakor az ágens egzisztenciálisan elköteleződik a terminus jelöletének létezése mellett. Tehát „a jelenlegi francia király kopasz” kijelentés hamis, mert ilyenkor beleértendő, hogy azt is feltesszük, hogy van egy ilyen individuum, akiről a megállapításokat tesszük. Ilyen azonban nincs. A mai analitikus nyelvfilozófiában ebben a kérdéskörben ez a Bertrand Russelltől eredő álláspont tekinthető a legelfogadottabbnak.
• Az ilyen terminusokat tartalmazó atomi kijelentések nem bírnak igazságértékkel. Ez a stratégia a fregeánus vagy értékréses stratégia. Eszerint a viselő nélküli nevet tartalmazó atomi kijelentésekhez nem rendelünk igazságértéket (vagy gyakorlatban egy harmadik, értékrést kifejező igazságértéket rendelünk hozzájuk).

Az értékréses szemantika mellett teszi le a voksát Ruzsa Imre, az intenzionális logikával foglalkozó neves magyar logikus is, aki Arthur C. Prior munkásságát jócskán továbbfejlesztve jelentőset alkotott az intenzionális értékréses szemantika terén. Ő egész munkássága során az előbbi, szigorú értékréses koncepciót vallotta.

Az értékrés megjelenésének legjellemzőbb oka (modalitástól és lehetséges világoktól függetlenül) a határozott leírások 'sikertelensége'. Egy határozott leírás akkor jelöl sikertelenül, ha nem tud kijelölni senkit (pl. „A jelenlegi francia király kopasz”), vagy ha sikertelenül jelöl egy individuumot (pl. ha a sejtés helyes, „Az Odüsszeia szerzője”). A határozott leírásokat, vagy más néven deskripciókat kezelő logikai operátor az ún. deskriptor, melynek jelölése és szemléletes jelentése:

${\displaystyle \scriptstyle \iota xA}$: „Azon ${\displaystyle \scriptstyle x}$, melyre igaz, hogy ${\displaystyle \scriptstyle A}$”.

A ${\displaystyle \scriptstyle \iota }$ szintaxisa tehát a kvantorokéval azonos. Szemantikája pedig a következőképpen alakul:

${\displaystyle \scriptstyle \iota xA}$ a ${\displaystyle \scriptstyle w}$ világban az ${\displaystyle \scriptstyle u}$ individuumot jelöli, ha ${\displaystyle \scriptstyle A}$ a ${\displaystyle \scriptstyle w}$ világban csak és kizárólag ${\displaystyle \scriptstyle u}$-ra igaz, egyébként pedig a ${\displaystyle \scriptstyle \Theta }$ ún. nullentitást jelöli.

A nullentitás hivatott tehát jelképezni jelölés sikertelenségét. Ezt követően a kijelentésekben bevezetésre kerül az igazságértékrés, amelyet vagy szintén ${\displaystyle \scriptstyle \Theta }$-val vagy egy 2-es jellel szokás jelölni, intuitív jelentése pedig hogy a mondat értelmetlen abban az értelemben, hogy az igazságértéke megállapíthatatlan.

Az igazságértékrés továbbfertőződésére kétfajta koncepció létezik:

• A megengedő: Az értékrések 'továbbfertőznek' mindent: Minden olyan kijelentés, amelynek része egy értékréses atomi kijelentés, értékréses. Emögött az a meggyőződés áll, hogy értelmetlenséget tartalmazó bármilyen beszéd értelmetlen.
• A szigorú: Az értékrések bizonyos helyzetekben képesek eltűnni, pl. hogy ha egy ${\displaystyle \scriptstyle A\land B}$ kijelentésben ${\displaystyle \scriptstyle A}$ bár értékréses, ${\displaystyle \scriptstyle B}$ viszont hamis, akkor e koncepció képviselői szerint joggal mondhatnánk, hogy ez a kijelentés hamis, mert az egyik tagja hamis. Hasonló meggondolások szólnak a duális ${\displaystyle \scriptstyle A\vee B}$ és más logikai konnektívumok mellett is.

A két koncepció tulajdonképpen annyiban különbözik egymástól, hogy a klasszikus kétértékű logikában hogyan értelmezik pl. a fenti ${\displaystyle \scriptstyle A\land B}$ alakú formulák igazságfeltételeit. Inkább az-e, hogy igaz, ha mindkét tag igaz (ez az első koncepció szerint teljesül), vagy hamis, ha legalább az egyik tag hamis (ez a második koncepció szerint teljesül).

Az értékrés a modális szemantikában ott tud segíteni, hogy modális kontextusokban is előfordulhat, hogy amíg egy individuum létezett egy adott világban, addig egy másikban már könnyen előfordulhat, hogy nem létezik. Ugyanígy, egy világban még sikeresen jelölő deskripció egy másik világban már lehet hogy több dolgot jelöl ki, vagy egyáltalán nem jelöl senkit.

Ruzsa Imre azért is tartja még fontosnak az értékrés bevezetését a modális logikába, mert az így kapott logika érdemben képes hozzászólni a Barcan-formulák érvényességével kapcsolatos vitához: Míg a Barcan-típusú logikában mind a Barcan formula mind a konverze érvényes, a Kripke-típusú logikában mind a Barcan-formula, mind a konverze érvénytelen, a Prior-típusú logikában az intuitíve problematikus Barcan-formula érvénytelen, míg az elfogadható konverze érvényes.

• Ruzsa Imre. Logikai szintaxis és szemantika II.. Budapest: Akadémiai Kiadó (1988). ISBN 963-05-5313-9 
• Alexander Chagrov – Michael Zakharyaschev. Modal Logic. Oxford: Clarendon Press (1997). ISBN 978-0-19-853779-3 
• Robert A. Bull és Krister Segerberg (2001). „Basic Modal Logic”. Handbook of Philosophical Logic 3, Kiadó: Springer. ISBN 0-7923-7160-7. 
• James W. Garson (2001). „Quantification in Modal Logic”. Handbook of Philosophical Logic 3, Kiadó: Springer. ISBN 0-7923-7160-7. 
• Johan Van Benthem (2001). „Correspondence Theory”. Handbook of Philosophical Logic 3, Kiadó: Springer. ISBN 0-7923-7160-7. 
• Carnielli, Walter, Pizzi, Claudio. Modalities and Multimodalities (2008) 
• van Benthem, Johan. Modal Logic and Classical Logic. Nápoly: Bibliopolis (1983). ISBN 88-7088-113-X 
• Goldblatt, Robert. Logic and the Modalities in the Twentieth Century. Elsevier (2006). ISBN 978-0-444-51622-0 
• McNamara, Paul. Deontic Logic. Elsevier (2006). ISBN 978-0-444-51622-0 . (Szó szerint ugyanaz, mint a külső hivatkozásoknál található link.)
• Ruzsa, Imre. Klasszikus, modális és intenzionális logika. Budapest: Akadémiai Kiadó (1984). ISBN 963-05-3084-8 
• Ruzsa, Imre, Máté András. Bevezetés a modern logikába. Budapest: Osiris Kiadó (1997). ISBN 963-379-185-5 
• Gamut, L. T. F. Intensional Predicate logic. The University of Chicago Press (1990). ISBN 0-226-28088-8 
• Kneale, William, Kneale, Martha. The Development of Logic. Clarendon Press (1984). ISBN 0-19-824773-7 
• Åqvist, Lennart. Deontic Logic. Springer (2001). ISBN 1-4020-0665-9 
• Burgess, John P. Basic Tense Logic. Springer (2005). ISBN 1-4020-0599-7 
• Fitting, Melvin (1999). „Barcan Both Ways”. Journal of Applied Non-Classical Logics 9, 329-344. o. 
• Fitting, Melvin (1999). „On Quantified Modal Logic”. Fundamenta Informaticae 39, 1-5-121. o. 
• Fitting, Melvin. First-Order Alethic Modal Logic. Blackwell, 410—421. o. (2002) 
• szerk.: Solomon Feferman: Kurt Gödel Collected Works (angol, német nyelven). Oxford: Oxford University Press (1986). ISBN 0-19-503964-5 

• Modal logic. Stanford Encyclopedia of Philosophy. (Hozzáférés: 2010. április 26.)
• Zalta, Edward N: Basic Concepts in Modal Logic (pdf). Stanford University, 1995. (Hozzáférés: 2010. április 26.)
• McCarthy, John: Modal Logic (html). Stanford University, 1996. (Hozzáférés: 2010. április 26.)
• Simon, András: A modális logika matematikai logikája (PostScript). Budapesti Műszaki Egyetem. (Hozzáférés: 2010. április 26.)
• McNamara, Paul: Deontic Logic. Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2006. (Hozzáférés: 2010. április 26.)
• Lokhorst, Gert-Jan: Mally's Deontic Logic. Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2004. (Hozzáférés: 2010. április 26.)
• Galton, Antony: Temporal Logic. Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2008. (Hozzáférés: 2010. április 26.)
• Gamut, L. T. F. Logic, Language and Meaning 2: Intensional Logic and Logical Grammar. University of Chicago Press (1990). ISBN 978-0-226-28086-8. Hozzáférés ideje: 2010. április 26. 

• Elmosódott halmazok logikája
• Értékréses logika
• Lehetséges világok
• Logikai atomizmus
• Matematikai logika
• Ítéletlogika