Legyen ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ intervallum, ${\displaystyle a,b\in I}$ valós számok, ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ intervallumon értelmezett szigorúan monoton és folytonos függvény. Ekkor az ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ számok ${\displaystyle f}$-re vonatkozó kváziaritmetikai közepe a következő, ${\displaystyle A_{f}}$-fel jelölt szám:

${\displaystyle A_{f}(a,b)\ :=\ f^{-1}\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right)}$

Hasonlóan, ha adottak az ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ ∈ ${\displaystyle I}$ számok, akkor ezek ${\displaystyle f}$-re vonatkozó függvényközepe

${\displaystyle A_{f}(x_{1},x_{2},...,x_{n})\ :=\ f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)}$

Az ${\displaystyle f}$ függvényt szokás a közép generátorfüggvényének is nevezni.

A kváziaritmetikai közép a hatványközepek általánosítása, ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ esetén visszakapjuk a hatványközepeket.

Megjegyzés: a kváziaritmetikai közép értelmezhető a valós számokon kívül más objektumokra is például vektorokra. Ekkor azt kell feltenni, hogy ${\displaystyle f}$ értelmezési tartománya ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ egy összefüggő részhalmaza.

Nevezik Kolmogorov-középnek is, az orosz Andrej Kolmogorov után.

Először azt kell belátnunk, hogy a definícióban szereplő formulák jóldefiniáltak. Ilyen feltételek mellett ${\displaystyle f}$ két értéke között minden értéket felvesz és szigorúan monoton. Ekkor

${\displaystyle {\frac {f(a)+f(b)}{2}}}$ és ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})}$

az ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle a}$) és ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle b}$) illetve az legkisebb f(${\displaystyle x_{i}}$) és legnagyobb f(${\displaystyle x_{i}}$) közé esik, így beleesnek a képhalmazba, azaz f ⁻¹ értelmezve van rajtuk.

Az absztrakt „átlag” fogalmának többféle ismert axiomatikus felépítése létezik. A fent definiált kvázi-aritmetikai közepek teljesítik az „átlag” leggyakrabban megkövetelt tulajdonságait, úgymint:

A következő tulajdonságokat, az ún. középérték-axiómákat:

• Cauchy középérték-axiómája::^[1] ${\displaystyle \min \left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle A_{f}\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \max \left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)}$

Hiszen ha ${\displaystyle m}$-mel jelöljük az ${\displaystyle x_{i}}$-k közül a legkisebbet és ${\displaystyle M}$-mel a legnagyobbat, akkor teljesül ${\displaystyle m}$ ≦ ${\displaystyle x_{i}}$ ≦ ${\displaystyle M}$. Ha ${\displaystyle f}$ szig. mon. nő, akkor ebből f(m) ≦ f(${\displaystyle x_{i}}$) ≦ f(M) következik és mivel a számtani közép a legkisebb és legnagyobb érték közé esik, ezért ebből és az inverz ugyanilyen irányú szigorú monotonitásából következik az az egyenlőtlenség, amit be kellett látnunk. Ha f szigorú monoton csökken, akkor ${\displaystyle m}$ ≦ ${\displaystyle x_{i}}$ ≦ ${\displaystyle M}$-ből f(M) ≦ f(${\displaystyle x_{i}}$) ≦ f(m) következik, majd ebből szintén az inverz csökkenő tulajdonságából az állítás.

• Szimmetria-axióma: ${\displaystyle A_{f}\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)=A_{f}\left(y_{1},y_{2},...,y_{n}\right)}$, ha a ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ elemrendszernek ${\displaystyle y_{1},y_{2},...,y_{n}}$ egy permutációja; vagyis a változók értékeinek cserélgetése a középértéket nem változtatja

Ez a tétel a számtani közép ugyanilyen tulajdonságából következik.

Ha ${\displaystyle m}$-mel jelöljük az ${\displaystyle x_{i}}$-k közül a legkisebbet, akkor

• ${\displaystyle m=A_{f}\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)}$ akkor és csak akkor teljesül, ha x₁ = x₂ = … = x_n.

Ugyanis, ha a számok egyenlők, akkor a közép egyenlő bármelyikükkel (hiszen ekkor ${\displaystyle A_{f}(x,x,...,x)}$ ${\displaystyle =}$${\displaystyle f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x)\right)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f^{-1}\left({\frac {nf(x)}{n}}\right)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x}$). Megfordítva, ha a közép a legkisebbik számmal egyenlő, akkor ez az f általi függvényértékekre is igaz; így az ${\displaystyle f(x_{i})=y_{i}}$ jelöléssel ${\displaystyle f(m)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$, ahol valamely i-re y_i = f(m). f szigorú monotonitása miatt f(m) vagy az f(${\displaystyle x_{i}}$) számok közül a legkisebb, vagy a legnagyobb. Eszerint egy számtani közép (az y_i-k átlaga) vagy a legkisebb, vagy a legnagyobb értékkel egyenlő, amiből a számtani közép hasonló tulajdonsága miatt, mint amit itt bizonyítani szeretnénk, következik, hogy a számok egyenlők. Ha az f(${\displaystyle x_{i}}$)-k egyenlők, akkor az ${\displaystyle x_{i}}$-k is egyenlők, hiszen f a rá vonatkozó feltételekből következően injektív.

Ez m helyett az M maximummal is igaz.

Megjegyzés: a bizonyításhoz felhasználtuk, hogy a számtani közép rendelkezik a bizonyítandó tulajdonsággal. Ennek az iméntitől független bizonyítását ld. a számtani közép c. cikkben.

• Particionálhatóság: A kváziaritmetikai közép számítható blokkonként: :: ${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{f}(M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{f}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}$
• A kváziaritmetikai közép nem változik, ha néhány elemet a kváziaritmetikai közepükkel helyettesítünk a multiplicitás megtartásával. Ha

${\displaystyle m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})}$, akkor

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots ,m} _{k{\text{ times}}},x_{k+1},\dots ,x_{n})}$

• Invariáns az f függvény skálázására és eltolására:

${\displaystyle \forall a\ \forall b\neq 0((\forall t\ g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \forall x\ M_{f}(x)=M_{g}(x)}$.

• Mivel f monoton, azért ${\displaystyle M_{f}}$ is monoton.
• Kétváltozós esetben teljesülnek a következők:

${\displaystyle M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))}$ és

${\displaystyle M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))}$.

Ezek közül akár egy is egyértelműen jellemzi a kváziaritmetikai közepeket. Lásd Aczél–Dhombres, 17. fejezet.

• Két változó esetén a kváziartitmetikai közép teljesíti a kiegyenlítési tulajdonságot: ${\displaystyle M{\big (}M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)){\big )}=M(x,y)}$. Érdekes kérdés, hogy ez a tulajdonság a monotonitással, folytonossággal, fixpont tulajdonsággal és a szimmetriával együtt bizonyítja, hogy kváziaritmetikai középről van szó. Erre Georg Aumann az 1930-as években adott választ: általános esetben eldönthetetlen,^[2] de lehetséges, ha analitikus függvényről van szó.^[3]
• Reguláris esetben a Centrális határeloszlás-tétel is belátható a kváziaritmetikai közepekre. Ez azt jelenti, hogy ${\displaystyle {\sqrt {n}}\{M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-f^{-1}(E_{f}(X_{1},\dots ,X_{n}))\}}$ approximálja a normális eloszlást.^[4]

A. N. Kolmogorov és Mitio Nagumo 1930-ban, valószínűségeloszlások „átlagértékeit” vizsgálva jutottak a következő axiomatikus definícióra (Kolmogorov–Nagumo–de Finetti-axiómarendszer):

Legyen ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} }$ zárt intervallum; ${\displaystyle M:\left(\cup _{i=1}^{\infty }T^{i}\right)\rightarrow T}$ olyan függvény, amely

1. Rögzített i-re folytonos;
2. Rögzített i-re: minden változójában szigorúan monoton;
3. Rögzített i esetén változóiban szimmetrikus (azok permutációira invariáns)
4. Rögzített i-re reflexív, azaz ha minden változója ugyanazon A értéket veszi fel, a függvény értéke is A;
5. teljesíti a dekompozíciós tulajdonságot, avagy a Bemporad-féle asszociativitást:^[5] M(x₁, x₂, … , x_n) = M(x, x, … , x, x_k+1, x_k+2, … , x_n); ahol x = M(x₁, x₂, … , x_n), és 1<k<n-1 és 1<n.

E definíció érdekessége az, hogy amint a két kutató egymástól függetlenül bizonyította; a fenti axiómákat egyetlen függvénycsalád elégíti ki: pontosan a kváziaritmetikai közepek családja. Tehát a fenti axiómarendszer a tetszőleges sok változón értelmezett kváziaritmetikai közepek axiomatikus definíciója. Hasonló eredményekre jutott Kolmogorov nyomán Bruno de Finetti is 1931-ben.^[6]

De Finetti mutatott példát olyan, statisztikában használt középféleségekre is, melyek nem aritmetikai közepek – az (antiharmonikus közép a szigorú monotonitást, a medián a Bemporad-asszociativitást nem teljesíti.^[7]

Megjegyzés: a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer nem egyértelmű/karakterisztikus jellemzése tetszőleges i-változós kváziaritmetikai középnek (i rögzítettségét feltételezve), csak ezek tetszőleges sok változóra egyszerre történő kiterjesztésének. Ha M definícióját úgy módosítjuk, hogy i rögzített legyen, akkor a fenti axiómarendszer nem feltétlenül az i-változós kváziaritmetikai közepet határozza meg.^[8]

A közepektől többnyire elvárják, hogy homogének legyenek, de a legtöbb függvény esetén a kváziaritmetikai közép nem az. Kivétel csak a hatványközepek és a mértani közép homogén. Lásd Hardy–Littlewood–Pólya, 68. oldal.

A homogén tulajdonság elérhető, ha normalizáljuk az adatokat, amiknek a közepét számítjuk:

${\displaystyle M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{Cx}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{Cx}}\right)}{n}}\right)}$

Ahol ${\displaystyle C}$ homogén közép. Ez a módszer azonban elronthatja a közép monotonitását vagy particionáló tulajdonságát.

(A lenti példák közül valamennyi megfelel a kváziaritmetikai közép definíciójában foglalt feltételeknek; értelmezési tartományuk nem-elfajuló – noha nem feltétlenül korlátos – intervallum, melyen szigorúan monotonok és folytonosak (ezáltal, injektívek).

Közép elnevezése	Közép képlete ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$	Generátorfüggvény	értelmezés intervalluma
Számtani közép	${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$	${\displaystyle f(x)=x}$	${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$
Négyzetes közép	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$	${\displaystyle f(x)=x^{2}}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}=[0,\infty )}$
Harmonikus közép	${\displaystyle {\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}$	${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=(0,\infty )}$
Hatványközép (Hölder-közép)	${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$	${\displaystyle f(x)=x^{\alpha }}$ ${\displaystyle (\alpha \in \mathbb {R} \setminus \{0\})}$	${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}=[0,\infty )}$
Mértani közép	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}$	${\displaystyle f(x)=\log _{v}(x)}$ ${\displaystyle (v\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \{1\})}$[9]	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=(0,\infty )}$
Exponenciális közép	${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\ln \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}e^{\alpha x_{i}}\right)}$	${\displaystyle f(x)=e^{\alpha x}}$ ${\displaystyle (\alpha \in \mathbb {R} \setminus \{0\})}$	${\displaystyle \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$

A kváziaritmetikai közép egy lehetséges általánosítása a súlyozott kváziaritmetikai közép. Legyen ${\displaystyle f}$ az ${\displaystyle \mathbb {R} }$ egy nem-elfajuló intervallumán értelmezett s azon szigorúan monoton és folytonos függvény, s legyen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$, ekkor az ${\displaystyle n}$-változós súlyozott kváziaritmetikai közép definíciója:

${\displaystyle A_{f,\mathbf {w} }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})\right)}$,

ahol ${\displaystyle \mathbf {w} =(w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n})\in (0,1)^{n}}$ és ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\ =\ 1}$.

Kolmogorov, Nagumo és de Finetti axiómarendszere nem nyújtja egyértelmű jellemzését ennek a bővebb, súlyozott függvénycsaládnak. A negyvenes évek végén Horváth János és Aczél János magyar kutatók vetették fel, hogy a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer némi módosításával a súlyozott kváziaritmetikai közepek is karakterizálhatóak egy függvényegyenlet-rendszerrel. A kilencvenes évek végén ezt a jellemzési problémát sikerült megoldaniuk.^[8]

• Kvázi-hatványközép

• Réffy Júlia: Közepek és egyenlőtlenségek. Polygon (matematikai, szakdidaktikai közlemények), „Műhelysarok” rovat; XIV. köt. 1. sz. 2005./máj.; 61.-70.
• Daróczy Zoltán, Maksa Gyula, Páles Zsolt: Functional equations involving means and their Gauss composition
• Gheorge Thoader: means and double sequences
• Jean-Luc Marichal: On an axiomatization of the quasi-arithmetic mean values without the symmetry axiom Archiválva 2003. december 5-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989) Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.
• Andrey Kolmogorov (1930) “On the Notion of Mean”, in “Mathematics and Mechanics” (Kluwer 1991) — pp. 144–146.
• Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388–391.
• John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) Inequalities. 2nd ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Quasi-arithmetic mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.