A valószínűségszámítás elméletében és a statisztika területén, a k szabadságfokú khí-négyzet eloszlás (más neveken: khi-négyzet, Khi2) k darab független normális eloszlású valószínűségi változónak a négyzetösszege.

Ez az eloszlás széles körben használatos a valószínűség-eloszlások között, a statisztikai területén, például a hipotézisek ellenőrzésekor, vagy egy konfidenciaintervallum létrehozásakor.^[1][2][3][4]

Ha szükséges a khí-négyzet eloszlást megkülönböztetni a nem-centrális khí-négyzet eloszlástól, akkor szokták néha centrális khí-négyzet eloszlásnak is nevezni.

A khí-négyzet eloszlást statisztikák ellenőrzésére használják, az elméleti és a megfigyelt értékek kiértékelésénél, összehasonlításánál. A khí-négyzet eloszlás, a gamma-eloszlás egy speciális esete.

Ha Z₁, ..., Z_k független, standard normális eloszlású valószínűségi változók, akkor a négyzeteik összege,

${\displaystyle Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}$

a khí-négyzet eloszlás szerint oszlik el, k szabadságfokkal. Ezt a következőképpen is jelölik:

${\displaystyle Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{vagy}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}$

A khi-négyzet eloszlásnak egy paramétere van, a k, egy pozitív egész, mely a szabadságfok mértéke.

A khí-négyzet eloszlás valószínűség sűrűségfüggvénye:

${\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\frac {x^{(k/2)-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{más esetben}}.\end{cases}}}$

ahol Γ(k/2) a gamma-eloszlást jelöli A sűrűségfüggvényének deriválását a khi-négyzet eloszlás valószínűség sűrűségfüggvényének deriválása szócikk tárgyalja.

A kumulatív eloszlás függvény:

${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma ({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}=P\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right),}$

Ahol γ(k,z) az inkomplett gamma-függvény, és a P(k,z) a rendezett gamma-függvény . Abban a speciális esetben, amikor k=2, léteik egy egyszerű képlet:

${\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-{\frac {x}{2}}}.}$

Ennek az eloszlásnak a táblázatai – rendszerint kumulatív formában – számos helyen megtalálhatók, általában statisztikai csomagokban. Egy zárt formájú közelítés található a nem-centrális khí-négyzet eloszlásnál.

A khí-négyzet eloszlás definíciója szerint a független khí-négyzet változók összege is khí-négyzet eloszlású. Speciálisan, ha {X_i}_i=1ⁿ független khí-négyzet eloszlású változók {k_i}_i=1ⁿ szabadságfokkal, akkor Y = X₁ + ⋯ + X_n is khí-négyzet eloszlásúak k₁ + ⋯ + k_n szabadságfokkal.

Az információ entrópiája:

${\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right),}$

ahol ψ(x) a Digamma-függvény. A khí-négyzet eloszlás az X valószínűségi változó maximális entrópiájú valószínűség eloszlása, ahol ${\displaystyle E(X)=\nu }$ rögzített, és ${\displaystyle E(\ln(X))=\psi \left({\frac {1}{2}}\right)+\ln(2)}$ is rögzített.^[5]

A k szabadságfokú khí-négyzet eloszlás zéró körüli momentumai:^[6][7]

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{m})=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)=2^{m}{\frac {\Gamma (m+{\frac {k}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}.}$

A kumulánsok a karakterisztikus függvény logaritmusának egy hatvány sor kiterjesztésével kaphatók:

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}$

A centrális határeloszlás tételéből következően, mivel a khi-négyzet eloszlás független k szabadságfokú valószínűségi változók szummája, véges átlaggal és szórásnégyzettel, konvergál a normális eloszláshoz nagy k értékeknél.

Praktikus okok miatt, k > 50 esetben az eloszlás elég közel áll a normális eloszláshoz, hogy a különbség elhanyagolható lehessen.^[8]

Ha X ~ χ²(k), akkor k tart a végtelenhez, a ${\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}}$ eloszlás pedig a normális eloszlás felé tart. Azonban ez a konvergencia lassú, mivel a ferdeség ${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$, és az eloszlásgörbe meredeksége 12/k. A khí-négyzet eloszlás más függvényei jóval gyorsabban konvergálnak a normális eloszláshoz. Néhány példa:

• Ha X ~ χ²(k), akkor ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2X}}}$ közel normálisan eloszlású, ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2k-1}}}$ középértékkel.
• Ha X ~ χ²(k), akkor ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$ közel normálisan eloszlású ${\displaystyle \scriptstyle 1-2/(9k)}$ középértékkel, és ${\displaystyle \scriptstyle 2/(9k).}$ szórásnégyzettel^[9] Ezt Wilson-Hilferty transzformációnak hívják.

• ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}^{2}(x)-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$ (normális eloszlás)
• ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$ (Nem-centrális khi-négyzet eloszlás nem-centralitás paraméterrel ${\displaystyle \lambda =0}$)
• Khí-négyzet eloszlás, a Pareto-eloszlás egy transzformációja
• A T-eloszlás, a khí-négyzet eloszlás egy transzformációja
• A T-eloszlás származtatható a khi-négyzet eloszlásból, és a normális eloszlásból
• Nem-centrális T-eloszlás származtatható a khí-négyzet eloszlásból, és a normális eloszlásból

Statisztikailag független egységnyi szórásnégyzetes Gauss-eloszlású változók négyzeteinek szummája, melynek nincs zéró középértéke, a khí-négyzet eloszlás általánosításához vezet, és nem-centrális khi-négyzet eloszlásnak hívják. A khí-négyzet eloszlás természetesen kapcsolódik más eloszlásokhoz, melyeknek a Gauss-eloszláshoz van közük. Például:

• Y F-eloszlású, Y ~ F(k₁,k₂) ha ${\displaystyle \scriptstyle Y={\frac {X_{1}/k_{1}}{X_{2}/k_{2}}}}$ ahol X₁ ~ χ²(k₁), és X₂  ~ χ²(k₂) statisztikailag független.

• Ha X khí-négyzet eloszlású, akkor ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {X}}}$ khí-eloszlású.
• Ha X₁  ~  χ²_k1 és X₂  ~  χ²_k2 statisztikailag független, akkor X₁ + X₂  ~ χ²_k1+k2. Ha X₁ and X₂ nem függetlenek, akkor X₁ + X₂ nem khi –eloszlású.

A khí-négyzet eloszlást a Gaussi k, független, zéró középértékű, egységnyi szórásnégyzetű valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk. Ennek az eloszlásnak az általánosítását úgy kaphatjuk, ha összegezzük más típusú Gaussi valószínűségi változók négyzeteit. A következőkben bemutatunk néhány ilyen eloszlást.

A nem-centrális khí-négyzet eloszlást a független gaussi valószínűségi változók négyzeteinek szummájával kapjuk, melyek egység szórásnégyzettel , és nem zéró középértékkel rendelkeznek.

Az általánosított khí-négyzet eloszlást a z′Az kvadratikus képletéből kapjuk, ahol z, a zéró középértékű Gaussi vektor, tetszőleges kovariáns mátrixxal, és A egy tetszőleges mátrix.

A X ~ χ²(k) khí-négyzet eloszlás, a gamma-eloszlás egy speciális esete, X ~ Γ(k/2, 1/2), ahol k egy egész. Mivel az exponenciális eloszlás szintén a Gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért X ~ χ²(2), és X ~ Exp(1/2) egy exponenciális eloszlás. Az Erlang-eloszlás szintén a Gamma-eloszlás egy speciális esete, ezért ha X ~ χ²(k) páros k-val, akkor X is Erlang-eloszlású k/2 alakparaméterrel, és ½ skálaparaméterrel.

A khí-négyzet eloszlásnak számos alkalmazása ismert a statisztikában, például a khí-négyzet teszt, vagy a szórásnégyzetek becslése. Felveti a normális eloszlás középérték becslésének a problémáját, és a regressziós vonal meredekségének a becslését, a T-eloszláson keresztül. A szórásnégyet analízis problémájában is van szerepe, az F-eloszlással kapcsolatban, mely két független khí-négyzet valószínűségi változó arányának az eloszlása, mindegyik osztva a megfelelő szabadságfokkal. A következő táblázat olyan eloszlásokat mutat be, melyek neve ‘khí’-vel kezdődik, valamilyen statisztikához kapcsolódik, a X_i ∼ Normal(μ_i, σ²_i), i = 1, ⋯, k, független valószínűségi változókra alapozva:

Név	Statisztika
Khí-négyzet eloszlás	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
Nem-centrális khí-négyzet eloszlás	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}$
Khí-eloszlás	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$
nem-centrális khí-eloszlás	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

• Wilson, E.B – Hilferty, M.M: The distribution of chi-squared. Washington: Proceedings of the National Academy of Sciences. 1931. 684–688. o.  
• Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I.Fejezetek a valószínűségszámításból. (hely nélkül): PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902  
• Jonhson, N.L.; S. Kotz, , N. Balakrishnan: Continuous Univariate Distributions (Second Ed., Vol. 1, Chapter 18). (hely nélkül): John Willey and Sons. 1994. ISBN 0-471-58495-9  
• Maddala, G.S: Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. (hely nélkül): Cambridge University Press. 1983.  

• Valószínűség-eloszlások listája
• Normális eloszlás
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Gamma-eloszlás
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Burr-eloszlás

• A khí-négyzet eloszlás a MathWorld-ön
• A khí-négyzet eloszlás a Debreceni Egyetem oldalán
• A khí-négyzet eloszlás a Yale Egyetem oldalán
• Szimuláció
• Rövid leírás