Valószínűség-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében a valószínűség-eloszlás, a valószínűség-tömeg, a valószínűség-sűrűség mind függvények, melyek leírják, hogy egy véletlenszerű változó milyen valószínűséggel vehet fel egy bizonyos értéket. A még pontosabb meghatározáshoz különbséget kell tennünk a diszkrét és a folytonos véletlenszerű (valószínűségi) változók között. Diszkrét esetben minden egyes lehetséges értékhez könnyen hozzárendelhetjük a valószínűséget: ha például egy hatoldalú kockával dobunk, akkor a hat érték előfordulásának a valószínűsége 1/6.

Ezzel szemben, ha a valószínűségi változó folytonos, a valószínűségek csak akkor nem zéró értékűek, ha véges intervallumra vonatkoznak: például minőség-ellenőrzés esetén megkövetelhetjük, hogy annak a valószínűsége, hogy egy 500 g-os csomag súlya 500 g és 510 g közé essen, ne legyen kevesebb, mint 98%.

Két kocka diszkrét valószínűségi eloszlása
Normális eloszlás

A kumulatív eloszlásfüggvény annak a valószínűségét adja meg, hogy egy valószínűségi változó nem lehet nagyobb egy adott értéknél: ez a nemkumulatív eloszlás integrálja.

Terminológia

Mivel a valószínűség-elméletet számos különböző területen alkalmazzák, a terminológia nem egységes, sőt néha zavaros.

A következő kifejezéseket használják mind a nemkumulatív, mind a kumulatív eloszlásfüggvényeknél:

  • Valószínűség-tömeg, valószínűségi tömegfüggvény (v.t.f.): diszkrét valószínűségi változókra
  • Kategorikus eloszlás: diszkrét valószínűségi változókra, véges halmazok esetén
  • Valószínűség-sűrűség, valószínűségi sűrűségfüggvény (v.s.f.): leginkább folytonos valószínűségi változók esetén.

A következő fogalmak nem teljesen egyértelműek, vonatkozhatnak nemkumulatív vagy kumulatív eloszlásokra is, a szerzőtől függően:

  • Valószínűségi eloszlásfüggvény: folytonos vagy diszkrét, nem-kumulatív vagy kumulatív
  • Valószínűség-függvény: még inkább homályos, jelentheti a fentieket, vagy bármi mást.

Végül:

  • Valószínűség-eloszlás: vagy azonos a valószínűségi eloszlásfüggvénnyel, vagy valami alapvetőbb aktuális tömeg- vagy sűrűségfüggvény.

Alapvető kifejezések:

  • Módusz: leggyakrabban előforduló érték. A módusz a statisztikai középérték-mutatók (medián, módusz, számtani átlag, harmonikus átlag, mértani átlag, négyzetes átlag) egyike.
  • Farok: az eloszlások azon része, ahol a legkisebb az eloszlás értéke.

Diszkrét valószínűség-eloszlás

Diszkrét eloszlás valószínűségi tömegfüggvénye

Az ábrán látható tömegfüggvényben az elemi események – {1}, {3} és {7} – valószínűsége 0,2, 0,5 és 0,3. Egy olyan halmaznak, amely nem tartalmazza egyik pontot sem, a valószínűsége zéró.

Diszkrét eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye (cef)
Folytonos eloszlás cef-e
Kevert eloszlás folytonos és diszkrét része

A diszkrét valószínűség-eloszlás valószínűségi tömegfüggvénnyel jellemzett valószínűség-eloszlás. Így az X valószínűségi változó eloszlása diszkrét, és X-et diszkrét valószínűségi változónak nevezzük, ha

mivel u az összes lehetséges X értéken értelmezhető. Ebből következik, hogy az ilyen változó csak véges vagy megszámlálhatóan végtelen számértékeket vehet fel.

A legismertebb diszkrét valószínűség-eloszlás, melyet statisztikai modellezésre is használnak, a Poisson-eloszlás, a Bernoulli-eloszlás, a binomiális eloszlás, a geometriai eloszlás és a negatív binomiális eloszlás.

Ezenfelül a diszkrét egyenletes eloszlást általánosan alkalmazzák a számítógépes programozásban az egyenletesen kiválasztott véletlenszerű számoknál.

Kumulatív sűrűség

A fentieknek megfelelően egy diszkrét valószínűségi változót úgy határozhatunk meg, mint egy valószínűségi változót, melynek kumulatív eloszlásfüggvénye csak diszkontinuitásokkal, ugrásokkal nőhet, vagyis akkor nő, ha magasabb értékre „ugrik”, és konstans az ugrások között. Azok a pontok, ahol az ugrás történik, azok az értékek, melyeket a valószínűségi változó felvehet. Az ilyen pontok száma lehet véges vagy megszámolhatóan végtelen. Az ugrások helyének nem kell topológiailag diszkrétnek lennie; például a kumulatív eloszlásfüggvény ugorhat minden racionális számnál.

Delta-függvény

A diszkrét valószínűség-eloszlás gyakran a valószínűségi sűrűségfüggvény általánosított formájában jelenik meg, beleértve a Dirac-delta függvényt, mely lényegében egységesíti a folytonos és diszkrét eloszlás kezelését. Ez akkor hasznos, amikor olyan valószínűség-eloszlásokkal foglalkozunk, melyek folytonos és diszkrét részeket is tartalmaznak.

Indikátorfüggvény (karakterisztikus függvény)

Legyen X egy diszkrét valószínűségi változó és u0, u1... azok értékek, melyeket felvehet nem zéró valószínűséggel. Jelöljük:

Ezek diszjunkt halmazok és képlettel (1):

Ebből következik, hogy X bármely értéket felvehet, kivéve az u0, u1, ... = 0 eseteket, és így írhatjuk:

kivéve a zéró valószínűségű halmazra, ahol az A indikátorfüggvénye.

Folytonos valószínűség-eloszlás

A folytonos valószínűség-eloszlást úgy értelmezhetjük, mint olyan valószínűség-eloszlás, melynek van valószínűségi sűrűségfüggvénye.

A matematikusok ezt az eloszlásfajtát abszolút folytonosnak is hívják, mivel a kumulatív eloszlásfüggvény abszolút folytonos, tekintettel a Lebesgue-mértékre, λ.

Ha X eloszlása folytonos, akkor X-et folytonos valószínűségi változónak hívják. Számos példa létezik folytonos eloszlásokra: normális, egyenletes, khí-négyzet és más eloszlások.

A folytonos valószínűségi változó folytonos értékeket vehet fel, szemben a diszkrét eloszlással, ahol csak lehetséges megszámolható értékeket vehet fel.

Míg a diszkrét eloszlásnál zéró valószínűségű esemény nem lehetséges, nem ez a helyzet a folytonos eloszlásoknál.

Ha megmérjük egy tölgyfa levelének hosszát, és az eredmény például 3,5 cm, ennek zéró a valószínűsége, mert megszámolhatatlan sok potenciális érték van 3 és 4 cm között. Minden egyes eredmény zéró valószínűségű, mégis annak a valószínűsége, hogy az eredmény 3 és 4 közé essen, nem zéró.

Ezt a nyilvánvaló paradoxont azzal a ténnyel oldhatjuk fel, hogy annak a valószínűsége, hogy X felvehet egy értéket a végtelen tartományban, mely egy intervallum, nem számítható ki (naivan) az egyes értékek valószínűségének összegezésével.

Formálisan minden értéknek infinitezimálisan kicsi a valószínűsége, mely statisztikailag ekvivalens a zéróval.

Ha X egy folytonos valószínűségi változó, akkor van valószínűségi sűrűségfüggvénye: ƒ(x). Annak a valószínűsége, hogy X beleesik egy adott [a, b] intervallumba:

Például X valószínűsége egy adott a-ra = 0 (azaz aXa), mert az az integrál, melynek alsó és felső határa egybeesik, mindig zéró. A definíció azt állítja, hogy sűrűségének folytonos valószínűség-eloszlásnak kell lennie, a kumulatív eloszlásfüggvény abszolút folytonos. Ez a követelmény erősebb, mint a folytonos valószínűség-eloszlás egyszerű folytonossága, és van egy speciális eloszlásosztály, a szinguláris eloszlások, melyek se nem folytonosak, se nem diszkrétek, és nem is ezek keveréke.

Egy példa erre a Cantor-eloszlás.

Ilyen eloszlásokkal azonban sosem találkozunk a gyakorlatban.

Figyeljük meg a terminológiát: néhány szerző a „folytonos eloszlást” használja, ezzel jelölve a folytonos eloszlásfüggvényt. Így definíciójukban benne foglaltatik az (abszolút) folytonos és a szinguláris eloszlás is.

Egy konvenció szerint a valószínűség-eloszlást folytonosnak nevezik, ha a kumulatív eloszlásfüggvénye folytonos, és ezért a szingleton valószínűség mértéke minden -re .

Egy másik konvenció a folytonos valószínűség-eloszlást lefoglalja az abszolút folytonos eloszlásokra.

Ezeket az eloszlásokat a valószínűségi sűrűségfüggvény jellemezheti: az nem-negatív Lebesgue-integrálható függvény valós számokon definiált:

Diszkrét eloszlások és néhány folytonos eloszlás (mint például a Cantor-eloszlás) nem ismernek ilyen sűrűséget.

Valós értékű valószínűségi változók valószínűség-eloszlásai

Mivel a valós számsíkon Pr valószínűség-eloszlását a valós értékű valószínűségi változó, X határozza meg, egy félig nyitott intervallumban, (-∞, x], a valószínűség-eloszlást teljes mértékben a kumulatív eloszlásfüggvény jellemzi:

Néhány tulajdonság

  • Két független valószínűségi változó összegének a valószínűségi sűrűségfüggvénye ezen változók sűrűségfüggvényének a konvolúciója.
  • Két független valószínűségi változó különbségének a valószínűségi sűrűségfüggvénye ezen változók sűrűségfüggvényének keresztkorrelációja.

Véletlenszám-generálás

Gyakori probléma statisztikai szimulációknál (Monte Carlo-módszer) a pszeudovéletlenszám-generálás, mely egy adott módon oszlik el. A legtöbb algoritmus a pszeudovéletlenszám-generátor módszerén alapul: ez X számokat generál, melyek egyenletesen oszlanak el a [0,1) intervallumban. Ezeket az X számokat átalakítják u(X)-re, melyek kielégítik az adott f(u) eloszlást.

Kolmogorov-definíció

A valószínűségelmélet méréselméletében egy valószínűségi változót egy mérhető X függvényként definiálnak az valószínűségi térből a mérhető térbe. A valószínűség-eloszlás egy X*P = PX −1 átkonvertáló mérés az térben.

Alkalmazások

Egy populációban szinte minden jellemzőt mérnek (emberek magassága, súlya, forgalom, élettartam stb.), és minden mérésnek van belső hibája; a fizikában sok folyamat feldolgozása valószínűségi alapon történik, a gázok kinetikus tulajdonságától a kvantummechanikáig. A valószínűség-eloszlás alkalmazásával sokszor jobb eredményeket lehet elérni, mint közvetlen méréskor. Az alkalmazásokra egy specifikus példa a statisztikai nyelvi modellek, melyeket a természetes nyelvi szövegek statisztikai közelítéseinél használhatják.

Legáltalánosabb valószínűség-eloszlások

A teljes felsorolást a valószínűség-eloszlások listája tartalmazza. A következőkben a legáltalánosabban használt eloszlásokat említjük meg a kimenetel szempontjából.

Az egyváltozós eloszlások egy érték körül csúcsosodnak. A gyakorlatban az aktuálisan vizsgált mennyiségek több változóhoz kapcsolódnak, ezen mennyiségek modellezéséhez a keverék eloszlásokat használják.

  • Valós értékű mennyiségek, melyek lineárisan nőnek (például: hiba, offset stb.)
    • Normális eloszlás (Gauss-eloszlás) egy értékre; ez a legáltalánosabban használt eloszlás
  • Valós értékű mennyiségek, melyek exponenciálisan nőnek (például: árak, jövedelmek, népesség stb.)
    • Log-normális eloszlás egy értékre, melynek logaritmusa normális eloszlású
    • Pareto-eloszlás egy értékre, melynek logaritmusa exponenciális eloszlású
    • Valós értékű mennyiségek, melyek feltételezhetően egyenletesen oszlanak el egy tartományban (melyet általában nem ismerünk)
    • Diszkrét egyenletes eloszlás véges halmazokra (például: egy kockadobás kimenetele)
    • Folytonos egyenletes eloszlás folytonos eloszlású értékekre
    • Bernoulli-teszt (igen/nem események egy adott valószínűséggel)

Alapvető eloszlások

Jegyzetek

Irodalom

  • Horváth Gézáné: Kvantitatív módszerek I. Fejezetek a valószínűségszámításból. (hely nélkül): PERFEKT ZRT. 2005. ISBN 9789633945902  
  • Maddala, G.S: Limited-Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. (hely nélkül): Cambridge University Press. 1983.  
  • Tadikamalla, Pandu R: A Look at the Burr and Related Distributions. (hely nélkül): International Statistical Review 48 (3). 1980. 337–344. o.  
  • Burr, I.W: Cumulative frequency functions. (hely nélkül): Annals of Mathematical Statistics. 1942. 215–232. o.  
  • Rodriguez, R.N: A guide to Burr Type XII distributions. (hely nélkül): Biometrika, 64. 1977. 129–134. o.  
  • Dr. Balogh Albert: Az új statisztikai terminológia

Kapcsolódó szócikkek

További információk

  • Szabó Gábor: A valószínűség interpretációi; Typotex, Budapest, 2013
  • Leonard Mlodinow: Részeg bolyongás; ford. Both Előd; Akkord, Bp. 2012 (Talentum tudományos könyvtár)

Read other articles:

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2022. Artikel ini bukan mengenai Little David, sebuah mortar kaliber besar Amerika Serikat. Davidka Mortar Davidka, Museum Givati, Israel Jenis Mortar Negara asal Israel Sejarah pemakaian Masa penggunaan 1948 Digunakan oleh Palmach Pada p...

 

 

17th-century French pirate François l'OlonnaisAn illustration of François lOlonnais from a 1684 edition of The History of the Bucaneer of AmericaBornJean-David Nau1630Les Sables-d'Olonne, FranceDied1669 (aged 38–39)Darién Province, PanamaPiratical careerNicknameFlail of the SpanishTypeBuccaneerAllegianceNoneYears activec. 1660 – c. 1668RankCaptainBase of operationsCaribbean Jean-David Nau (pronounced [ʒɑ̃ david no]) (c. 1630 – c. 1669), better known as François l...

 

 

Sambal dengan menggunakan cincalok, bawang merah, dan cabai Cincalok adalah makanan khas Kalimantan Barat dan juga berkembang di Kepulauan Riau berupa udang berukuran kecil yang proses fermentasinya terjadi dengan bantuan mikroba.[1] Salah satu mikroba yang berperan penting adalah kelompok bakteri asam laktat.[1] Makanan ini juga ditemui di daerah Malaka dan termasuk bahan untuk masakan peranakan. Bahan makanan ini digunakan untuk membuat sambal.[2] Di Kepulauan Bangka...

Часть серии статей о Холокосте Идеология и политика Расовая гигиена · Расовый антисемитизм · Нацистская расовая политика · Нюрнбергские расовые законы Шоа Лагеря смерти Белжец · Дахау · Майданек · Малый Тростенец · Маутхаузен ·&...

 

 

Taxi MaximIndustriTeknologi informasiTransportasiDidirikan2003Situs webid.taximaxim.com Taxi Maxim adalah sebuah perusahaan teknologi internasional yang menawarkan layanan transportasi daring, dan menawarkan layanan tambahan seperti pesan-antar makanan dan barang, kargo dan lain-lain.[1][2] Maxim Indonesia Maxim telah beroperasi di Indonesia sejak tahun 2018. Menawarkan beberapa layanan seperti transportasi online (motor dan mobil),[3] pengiriman barang,[4] pes...

 

 

Japanese manga series and its franchise Not to be confused with Takane no Hana. Takane and HanaCover of volume 1 as published in English高嶺と花(Takane to Hana)GenreRomantic comedy[1] MangaWritten byYuki ShiwasuPublished byHakusenshaEnglish publisherViz MediaMagazineHana to YumeDemographicShōjoOriginal runDecember 20, 2014 – July 20, 2020Volumes18 Television dramaDirected byYūsuke IshiiHiroyuki NakataWritten byJuri TakedaIyo NishikōriNana YamamotoOriginal ...

† Человек прямоходящий Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:Синапсиды�...

 

 

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2021年5月6日)若您熟悉来源语言和主题,请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译,也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议,译文需在编辑摘要注明来源,或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。 约翰斯顿环礁Kalama Atoll 美國本土外小島嶼 Johnston Atoll 旗幟颂歌:《星條旗》The Star-Spangled Banner約翰斯頓環礁�...

 

 

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2021年5月6日)若您熟悉来源语言和主题,请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译,也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议,译文需在编辑摘要注明来源,或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。 约翰斯顿环礁Kalama Atoll 美國本土外小島嶼 Johnston Atoll 旗幟颂歌:《星條旗》The Star-Spangled Banner約翰斯頓環礁�...

Schorpioen in Den Helder, Netherlands History Netherlands NameSchorpioen NamesakeScorpion BuilderForges et Chantiers de la Méditerranée, La Seyne-sur-Mer, France Laid downAugust 1867 Launched18 January 1868 Completed1 October 1868 Commissioned1868 Decommissioned1 April 1909 ReclassifiedAs an accommodation hulk, 1 April 1909 HomeportDen Helder CapturedMay 1940 Germany AcquiredMay 1940 Captured8 May 1945 FateReturned to Netherlands Netherlands NameSchorpioen Acquired8 May 1945 Recommissioned...

 

 

Reported arrests of the 18th U.S. president Grant and Robert E. Bonner racing in a carriage in New York, as depicted in an 1868 lithograph There are three reported arrests of Ulysses S. Grant by officers of the Metropolitan Police Department of the District of Columbia (MPD), all for speeding by horse. Grant, who led the Union Army to victory in the American Civil War, was widely known for his prowess as a horseman.[1] The first of the reported two arrests were in 1866, when Grant was...

 

 

1998 crossover fighting video game developed and published by Capcom For an overview of Capcom's Marvel-licensed fighting games, see Marvel vs. Capcom. 1998 video gameMarvel vs. Capcom:Clash of Super HeroesJapanese Dreamcast cover artDeveloper(s)CapcomPublisher(s)Capcom PlayStation and DreamcastJP/NA: CapcomPAL: Virgin Interactive EntertainmentProducer(s)Kenji KataokaDesigner(s) Atsushi Tomita Nakano Tau Masahiro Yuji Matsumoto Artist(s)CRMKComposer(s) Masato Kouda Yuko Takehara SeriesMarvel ...

2019 South Korean television series PerfumePromotional posterHangul퍼퓸 GenreRomantic comedyFantasyDeveloped byKBS Drama ProductionWritten byChoi Hyun-okDirected byKim Sang-hwiStarringShin Sung-rokGo Won-heeCha Ye-ryunKim Min-kyuCountry of originSouth KoreaOriginal languageKoreanNo. of episodes32[a]ProductionProducersKwon Yong-hanKim Jung-ahCamera setupSingle-cameraRunning time35 minutes[a]Production companiesHoga EntertainmentSignal PicturesOriginal releaseNetworkKBS2Releas...

 

 

Van Lanschot Kempen N.V.(Part of) the Van Lanschot crestCompany typePublicTraded asEuronext: VLKAMX componentAEX Financials componentAEX ESG componentISINNL0000302636IndustryBanking, Financial servicesFounded22 July 1737; 286 years ago (1737-07-22)HeadquartersHooge Steenweg 29, 5211 JN 's-Hertogenbosch, North Brabant, The NetherlandsArea servedWorldwideKey peopleMaarten Edixhoven (CEO)Frans Blom (Chairman of Supervisory Board)[1]Productswealth managementprivate ...

 

 

教會年曆 西方 將臨期 聖誕期(英语:Christmastide) 常年期前段/顯現期 四旬期 聖週 逾越節三日慶典 復活期(英语:Eastertide) 常年期後段/聖靈降臨期 東方 降臨期 聖誕期 (常年期) 大齋預備期 大齋期 復活期 宗徒齋期 (常年期) 將臨期、降臨期、待降節(英語:Advent,拉丁語:Adventus[註 1])是基督教教會的重要節期,是为了慶祝耶穌聖誕前的準備期與等待期�...

City in Michigan, United StatesPontiac, MichiganCityDowntown Pontiac SealNickname(s): The Yak, YaktownLocation within Oakland CountyPontiacLocation within the state of MichiganShow map of MichiganPontiacLocation within the United StatesShow map of the United StatesCoordinates: 42°38′46″N 83°17′33″W / 42.64611°N 83.29250°W / 42.64611; -83.29250Country United StatesState MichiganCounty OaklandSettled1818Incorporated1837 (village)1861 (city)Nam...

 

 

The ITV television network of the United Kingdom is divided into a number of geographical regions. Since 2002, all regions share the same programming except for regional news, weather, advertising and some local political content. Before then, the regions were independent stations, each with its own schedule and branding. Current regions Map of the sub-regions, coded to the list below The table below lists the current 14 regions and 23 sub-regions for ITV and its two associated channels, the...

 

 

U.S. Navy admiral Daniel P. MartinAllegianceUnited StatesBranchUnited States NavyYears of service1991–presentRankRear AdmiralCommands heldCarrier Strike Group 1Carrier Air Wing 8VFA-37AwardsLegion of MeritBronze Star MedalAlma materOglethorpe University (BBA)Joint Forces Staff CollegeUnited States Naval War College (MA) Daniel P. Martin is a United States Navy rear admiral and naval aviator who serves as the director of maritime operations of the United States Pacific Fleet.[1]...

قاعدة بيانات الأفلام العربيةالشعارمعلومات عامةموقع الويب elcinema.com[1] (العربية، ‏الإنجليزية) الشعار النصي بوابة السينمائيين العرب (بالعربية) نوع الموقع استعراضات الأفلام والمسلسلات التلفزيونية وألعاب الفيديو.التأسيس 1 أغسطس 2008 تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات قا�...

 

 

Fokker V.1 adalah prototipe pesawat tempur kecil sesquiplane eksperimental Jerman dibangun pada tahun 1916 oleh Fokker-Flugzeugwerke. Itu adalah pesawat Fokker pertama konon dirancang oleh Reinhold Platz - peran masing-masing dimainkan oleh Fokker sendiri, Platz, dan mungkin orang lain dalam desain konseptual pesawat Fokker adalah masalah sengketa antara sejarawan dan percobaan awal konstruksi sayap kantilever, menghilangkan kabel bracing khas desain pesawat pada saat itu, sesuatu yang sudah...