A matematikában az asszociatív grupoidokat félcsoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan egyműveletes ${\displaystyle (S;*)}$ algebrai struktúra, amelyben a ${\displaystyle *}$ binér művelet asszociatív. Ha a ${\displaystyle *}$ művelet kommutatív is, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Legyen ${\displaystyle (S;*)}$ tetszőleges grupoid. Azt mondjuk, hogy ${\displaystyle (S;*)}$ félcsoport, ha a ${\displaystyle *}$ művelet asszociatív, azaz ha az ${\displaystyle S}$ un. alaphalmaz tetszőleges ${\displaystyle a,b,c}$ elemeire ${\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}$ teljesül. Ha a ${\displaystyle *}$ művelet kommutatív is, azaz ${\displaystyle a*b=b*a}$ teljesül tetszőleges ${\displaystyle a,b\in S}$ elemekre, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Tetszőleges ${\displaystyle (S;*)}$ félcsoportban érvényes az általános asszociativitás törvénye, azaz a ${\displaystyle *}$ művelet eredménye nem függ a zárójelezéstől, csupán a vizsgált kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől. Kommutatív félcsoportban érvényes az általános kommutativitás törvénye, azaz a művelet eredménye nem csak a zárójelezéstől független, hanem a kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől is.

Egy ${\displaystyle (S;*)}$ félcsoport tetszőleges ${\displaystyle a}$ eleme esetén az ${\displaystyle a*a}$ elemet kétféleképpen szoktuk jelölni. Vagy (a számok összegének mintájára) ${\displaystyle 2a}$, vagy pedig (a számok szorzatának mintájára) ${\displaystyle a^{2}}$ módon. Ilyenkor azt is szoktuk mondani, hogy (az első esetben) additív írásmódot, illetve (a második esetben) multiplikatív írásmódot használunk, a művelet jeleként pedig az összeadás, illetve a szorzás jelét használjuk; multiplikatív írásmód esetén gyakran el is hagyjuk a szorzás jelét: ${\displaystyle a\cdot b}$ helyett ${\displaystyle ab}$-t írunk. Additív írásmód esetén az ${\displaystyle n}$-tagú ${\displaystyle a+\cdots +a}$ összeget ${\displaystyle na}$, multiplikatív írásmód esetén az ${\displaystyle n}$-tényezős ${\displaystyle a\cdots a}$ szorzatot ${\displaystyle a^{n}}$ módon jelöljük; itt ${\displaystyle n}$ pozitív egész szám. Egy félcsoport tetszőleges ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ elemeire és tetszőleges ${\displaystyle n,m}$ pozitív egészekre érvényesek az alábbiak.

Additív írásmód esetén:

• ${\displaystyle (n+m)a=na+ma,}$
• ${\displaystyle (nm)a=n(ma)=m(na),}$
• Ha a félcsoport kommutatív, akkor ${\displaystyle n(a+b)=na+nb.}$

Multiplikatív írásmód esetén:

• ${\displaystyle a^{(n+m)}=a^{n}a^{m},}$
• ${\displaystyle a^{(nm)}=(a^{n})^{m}=(a^{m})^{n},}$
• Ha a félcsoport kommutatív, akkor ${\displaystyle (ab)^{n}=a^{n}b^{n}.}$

A továbbiakban multiplikatív írásmódot használunk, és a félcsoportokat csak az alaphalmazukkal jelöljük.

Egy ${\displaystyle S}$ félcsoport részfélcsoportján az ${\displaystyle S}$ halmaz olyan nem üres ${\displaystyle B}$ részhalmazát értjük, amely maga is félcsoport az ${\displaystyle S}$-beli műveletre nézve, azaz tetszőleges ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in B}$ elemek esetén ${\displaystyle b_{1}b_{2}\in B}$.

Egy ${\displaystyle S}$ félcsoport ${\displaystyle B}$ részfélcsoportját az ${\displaystyle S}$ egy bal (jobb) oldali ideáljának nevezzük, ha tetszőleges ${\displaystyle s\in S}$ és ${\displaystyle b\in B}$ elemekre ${\displaystyle sb\in B}$ (${\displaystyle bs\in B}$) teljesül. Ha ${\displaystyle B}$ az ${\displaystyle S}$ bal oldali és egyben jobb oldali ideálja is, akkor ${\displaystyle B}$-ről azt mondjuk, hogy az ${\displaystyle S}$ egy ideálja. Minden ${\displaystyle S}$ félcsoportnak ${\displaystyle S}$ egy bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja). Ha ${\displaystyle S}$-nek nincs önmagától különböző (azaz valódi) bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja), akkor az ${\displaystyle S}$ félcsoportot bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű) félcsoportnak nevezzük.

Azt mondjuk, hogy egy ${\displaystyle S}$ félcsoport ${\displaystyle e}$ eleme a félcsoport bal (jobb) oldali egységeleme, ha tetszőleges ${\displaystyle a\in S}$ elemre ${\displaystyle ea=a}$ (${\displaystyle ae=a}$) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport egységelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali egységeleme is. Minden félcsoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Egy egységelemes félcsoportot monoidnak nevezünk.

Akkor mondjuk, hogy egy ${\displaystyle e}$ egységelemes ${\displaystyle S}$ félcsoport ${\displaystyle b}$ eleme egy ${\displaystyle a\in S}$ elem bal (jobb) oldali inverze, ha ${\displaystyle ba=e}$ (${\displaystyle ab=e}$). A ${\displaystyle b}$ elemet az ${\displaystyle a}$ elem inverzének nevezzük, ha ${\displaystyle b}$ az ${\displaystyle a}$-nak bal oldali és egyben jobb oldali inverze is. Egy monoid minden elemének legfeljebb egy inverze van.

Egy olyan monoidot, amelyben minden elemnek van inverze, csoportnak nevezünk.

Egy ${\displaystyle S}$ félcsoport ${\displaystyle 0}$ eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport bal (jobb) oldali nulleleme, ha tetszőleges ${\displaystyle a\in S}$ elemre ${\displaystyle 0a=0}$ (${\displaystyle a0=0}$) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport nullelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali nullelem is.

Egy félcsoport ${\displaystyle e}$ elemét idempotens elemnek nevezzük, ha ${\displaystyle e^{2}=e}$. Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elemek. Kötegen olyan félcsoportot értünk, melynek minden eleme idempotens elem. Egy kommutatív köteget félhálónak nevezünk.

Egy ${\displaystyle S}$ félcsoport ${\displaystyle a}$ eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport reguláris eleme, ha van ${\displaystyle S}$-nek olyan ${\displaystyle x}$ eleme, melyre ${\displaystyle axa=a}$ teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem reguláris félcsoportnak nevezünk.

Egy ${\displaystyle S}$ félcsoport ${\displaystyle b}$ eleméről azt mondjuk, hogy egy ${\displaystyle a\in S}$ elem Neumann-féle inverze, ha ${\displaystyle aba=a}$ és ${\displaystyle bab=b}$. Világos, hogy ha ${\displaystyle b}$ Neumann-féle inverze ${\displaystyle a}$-nak, akkor ${\displaystyle a}$ Neumann-féle inverze ${\displaystyle b}$-nek (azaz ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ egymás Neumann-féle inverzei). Könnyen ellenőrizhető, hogy ha ${\displaystyle a}$ egy ${\displaystyle S}$ félcsoport reguláris eleme úgy, hogy ${\displaystyle axa=a}$, akkor ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle xax}$ egymás Neumann-féle inverzei. Ha egy reguláris félcsoportban minden elemnek pontosan egy Neumann-féle inverze van, akkor a félcsoportot inverz félcsoportnak nevezzük.

• A természetes számok halmaza az összeadás művelettel.
• A természetes számok halmaza a szorzás művelettel.
• Tetszőleges ${\displaystyle L}$ nem üres halmaz az ${\displaystyle a*b:=a}$ (${\displaystyle a,b\in L}$) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem jobb oldali egységelem, és minden elem bal oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat balzéró félcsoportoknak nevezzük). ${\displaystyle L}$ minden eleme idempotens elem, tehát ${\displaystyle L}$ egy köteg.
• Tetszőleges ${\displaystyle R}$ nem üres halmaz az ${\displaystyle a*b:=b}$ (${\displaystyle a,b\in R}$) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem bal oldali egységelem, és minden elem jobb oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat jobbzéró félcsoportoknak nevezzük). ${\displaystyle R}$ minden eleme idempotens elem, tehát ${\displaystyle R}$ egy köteg.
• Tetszőleges ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ nem üres halmazok esetén az ${\displaystyle X\times Y}$ Descartes szorzat, ahol a művelet a következőképpen van értelmezve ${\displaystyle (x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1},y_{2})}$. Ez a félcsoport egy speciális köteg; az ilyen félcsoportot derékszögű kötegnek nevezzük.
• Tetszőleges nem üres ${\displaystyle X}$ halmaz összes önmagába való egyértelmű leképezéseinek (azaz transzformációinak) ${\displaystyle T_{X}}$ halmaza, ahol a művelet a leképezések szokásos kompozíciója. Ezt a félcsoportot az ${\displaystyle X}$ halmaz feletti teljes transzformációfélcsoportnak nevezzük.

• Minden félcsoport izomorf egy teljes transzformációfélcsoport valamely részfélcsoportjával.
• Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali egységeleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali egységeleme, egyetlen bal oldali egységeleme, s így egyetlen egységeleme.
• Egy ${\displaystyle S}$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha a művelet invertálható, azaz tetszőleges ${\displaystyle a,b\in S}$ elemekhez megadhatók olan ${\displaystyle x,y\in S}$ elemek, melyekre ${\displaystyle ax=b}$ és ${\displaystyle ya=b}$ teljesülnek.
• Egy ${\displaystyle S}$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy ${\displaystyle e}$ bal oldali egységeleme és ${\displaystyle S}$ minden ${\displaystyle a}$ elemének van ${\displaystyle e}$-re vonatkozó bal oldali inverze, azaz létezik olyan ${\displaystyle b\in S}$ elem, melyre ${\displaystyle ba=e}$ teljesül.
• Érvényes az előző tétel duálisa, azaz egy ${\displaystyle S}$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy ${\displaystyle e}$ jobb oldali egységeleme és ${\displaystyle S}$ minden ${\displaystyle a}$ elemének van ${\displaystyle e}$-re vonatkozó jobb oldali inverze, azaz létezik olyan ${\displaystyle b\in S}$ elem, melyre ${\displaystyle ab=e}$ teljesül.
• Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali nulleleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali nulleme, egyetlen bal oldali nulleleme, s így egyetlen nulleleme.
• Ha ${\displaystyle a}$ egy ${\displaystyle S}$ félcsoport reguláris eleme úgy, hogy ${\displaystyle axa=a}$ teljesül valamely ${\displaystyle x\in S}$ elemre, akkor az ${\displaystyle ax}$ és ${\displaystyle xa}$ elemek a félcsoport idempotens elemei.
• Egy reguláris félcsoport akkor és csak akkor inverz félcsoport, ha idempotens elemei felcserélhetők egymással, azaz ${\displaystyle ef=fe}$ teljesül a félcsoport tetszőleges ${\displaystyle e}$ és ${\displaystyle f}$ idempotens elemeire.
• Egy köteg akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha tetszőleges ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ elemeire ${\displaystyle aba=a}$ teljesül.
• Egy félcsoport akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha izomorf egy balzéró félcsoportnak és egy jobbzéró félcsoportnak a direkt szorzatával.
• Egy ${\displaystyle S}$ félcsoport akkor és csak akkor bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű), ha tetszőleges ${\displaystyle a\in S}$ elem esetén ${\displaystyle Sa=S}$ (${\displaystyle aS=S}$, ${\displaystyle SaS=S}$) teljesül.

• Monoidok
• Növelő részfélcsoportok
• Szabad félcsoport

• A.H. Clifford and G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., I (1961), II (1967)
• A. Nagy, Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001
• Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

• félcsoport Archiválva 2007. április 19-i dátummal a Wayback Machine-ben a PlanetMath-on.