Euklideszi axiómák

Az euklideszi axiómákat[1] és posztulátumokat Eukleidész ókori matematikus fogalmazta meg Elemek című művében.

Axiómák vagy „közismert fogalmak”

  1. Ugyanazon dologgal egyenlő dolgok egymással is egyenlők.
  2. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor egyenlőket kapunk.
  3. Ha egyenlőkből egyenlőket vonunk ki, akkor a maradékok is egyenlők.
  4. Ha nem egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor nem egyenlőket kapunk.
  5. Ugyanazon dolog kétszeresei egyenlők egymással.
  6. Ugyanazon dolog felerészei egyenlők egymással.
  7. Egymásra illeszthető dolgok egymással egyenlők.
  8. Az egész nagyobb, mint a része.
  9. Két egyenes nem fog közre területet.

Posztulátumok vagy „követelmények"

Követeljük meg, hogy:

  1. bármely pontból bármely pontba lehessen egyenes vonalat húzni.
  2. véges egyenes vonalat folytonosan egyenes vonallá lehessen hosszabbítani.
  3. bármely középponttal és sugárral kört lehessen rajzolni.
  4. bármely két derékszög egyenlő legyen egymással.
  5. ha egy egyenes úgy metsz két másikat, hogy az egyoldalon fekvő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két másik egyenes találkozzon egymással, ha végtelenül meghosszabbítjuk őket, éspedig azon az oldalon, ahol a szögek összege kisebb két derékszögnél.

Megjegyzések

  • A modern axiomatika nem tesz különbséget a posztulátumok és axiómák között, s a definíciókat nem tekintjük az axiómarendszer alkotóelemeinek.
  • Az első posztulátum nem teljes, és már az ókorban így módosították: Követeljük meg, hogy két pont között egy és csak egy egyenes legyen húzható.
  • Az ötödik posztulátum a híres párhuzamossági posztulátum, aminek a vizsgálatából fejlődött ki a nemeuklideszi geometria.
  • Euklidész könyvében a tételek bizonyítása, feladatok megoldása közben felhasznál olyan tulajdonságokat, melyek nem szerepelnek a premisszák között és azokból nem következnek. Ugyanakkor definiál alakzatokat, melyekről később nem esik szó. Ezek a hibák eltörpülnek a párhuzamosság problémája mellett, de nem hanyagolhatók el a precíz tárgyalásban. Mivel az axiómarendszer megreformálására kétezer év sem volt elég, komoly kutatásokra és az említett elvek tisztázására volt szükség. A teljes matematikai precizitásnak eleget tevő axiómarendszereket csak a XIX. század végén sikerült megalkotni. A Grundlagen der Geometrie-ben (1899) Hilbert által közölt axiómarendszert tekintik az első igényes megfogalmazásnak.

Jegyzetek

  1. ↑ A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi axiómák, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).

Források

Read other articles:

Musang luwak

Artikel ini sudah memiliki referensi, tetapi tidak disertai kutipan yang cukup. Anda dapat membantu mengembangkan artikel ini dengan menambahkan lebih banyak kutipan pada teks artikel. (Oktober 2021) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Untuk luwak kopi khas Indonesia, seduhan kopi menggunakan biji kopi yang diambil dari sisa kotoran luwak/musang kelapa, lihat Kopi luwak. Musang luak Paradoxurus hermaphroditus[1]Musang luak, Paradoxurus hermaphroditus. L...

 

Świadkowie Jehowy w Mozambiku

Świadkowie Jehowy w Mozambiku Państwo  Mozambik Liczebność(2022) 81 719 % ludności kraju(2022) 0,22% Liczba zborów(2022) 1551 Rozpoczęcie działalności 1925 Multimedia w Wikimedia Commons MatolaMaputo Miejscowości w Mozambiku, w których znajduje się Sala Zgromadzeń Świadków Jehowy oraz zaznaczone na niebiesko Biuro Oddziału Pismo Święte w Przekładzie Nowego Świata w języku portugalskim (wyd. zrewidowane) Świadkowie Jehowy w Mozambiku – społeczność wyznaniowa w ...

 

Brevet de technicien supérieur - Conception de produits industriels

Brevet de technicien supérieur - Conception de produits industriels Certification du ministère de l'Enseignement supérieur garantissant son contrôle et l'authenticité du diplôme. Lieu France Établissements Lycée professionnel en STS Nombre d'étudiants 65 % des places réservées aux bacheliers professionnels[1],[2] Sélection Diplôme ou concours requis Baccalauréat professionnel Niveau ougrade requis Bac + 0 (Niveau 4) RNCP/CEC Diplôme Durée de la formation 2 ans Diplôme d...

Julius White

Union Army officer in the American Civil War Julius WhiteUnited States Minister to ArgentinaIn officeJune 5, 1868 – July 8, 1869PresidentAndrew JohnsonUlysses S. GrantPreceded byRobert C. KirkSucceeded byThomas O. OsbornMember of the Wisconsin State Assemblyfrom the Milwaukee 3rd districtIn officeJanuary 1, 1849 – January 7, 1850Preceded byWilliam W. BrownSucceeded byEdward McGarry Personal detailsBorn(1816-09-23)September 23, 1816Cazenovia, New York, U.S.DiedMay 12, 189...

 

Neve Daniel

Israeli settlement in the West Bank Place in Judea and Samaria AreaNeve DanielNeve DanielShow map of IsraelNeve DanielShow map of the West BankNeve DanielShow map of the Southern West BankCoordinates: 31°40′37″N 35°08′37″E / 31.67694°N 35.14361°E / 31.67694; 35.14361DistrictJudea and Samaria AreaCouncilGush EtzionRegionWest BankAffiliationHapoel HaMizrachiFounded18 July 1982Population (2022)[1]2,354 Neve Daniel Neve Daniel (Hebrew: נְוֵה �...

 

براديو (محطة مترو أنفاق مدريد)

براديومعلومات عامةالتقسيم الإداري موستولس البلد  إسبانيا شبكة المواصلات مترو مدريد المالك Consorcio Regional de Transportes de Madrid (en) الإدارة Metro de Madrid S.A. (en) الخطوط Madrid Metro Line 12 (en) المحطات المجاورة موستوليس سينترالعلى الخط: Madrid Metro Line 12 (en) باتجاه: بويرتا ديل سور — هوسبيتال دي موستوليسعلى...

コルク

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）出典検索?: コルク – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年4月） コルクを打ち抜いて作った瓶の栓 コルク（木栓、�...

 

Extrême gauche

Cet article concerne un positionnement politique. Pour le groupe parlementaire français du même nom, voir Extrême gauche (groupe parlementaire). Affiche du NPA en faveur de la Révolution tunisienne, à Besançon (Doubs, France). Le terme extrême gauche est employé depuis 1920 pour désigner une partie des groupes, mouvements, organisations et partis politiques, « qui se situent à la gauche du Parti communiste et du Parti socialiste »[1], dont les principaux furent d'ob...

 

1900 college football season

American college football season 1900 college football seasonYale BulldogsChampion(s)Yale ← 1899 · football seasons · 1901 → The 1900 college football season ended with the Official NCAA Division I Football Records Book listing Yale as having been selected national champions.[1] Conference and program changes The Intercollegiate Conference of Faculty Representatives, commonly known as the Western Conference and the precursor to the modern Big Ten Conf...

西遊記大結局之仙履奇緣

本條目存在以下問題，請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法。 此條目需要編修，以確保文法、用詞、语气、格式、標點等使用恰当。 (2013年8月6日)請按照校對指引，幫助编辑這個條目。（幫助、討論） 此條目剧情、虛構用語或人物介紹过长过细，需清理无关故事主轴的细节、用語和角色介紹。 (2020年10月6日)劇情、用語和人物介紹都只是用於了解故事主軸，輔助�...

 

National Minimum Wage Act 1998

This article is about an Act of Parliament in the United Kingdom. For other uses, see NMWA (disambiguation). United Kingdom legislationNational Minimum Wage Act 1998Parliament of the United KingdomLong titleAn Act to make provision for and in connection with a national minimum wage; to provide for the amendment of certain enactments relating to the remuneration of persons employed in agriculture; and for connected purposes.Citation1998 c. 39Introduced byMargaret Beckett, President of the Boar...

 

Junction, Illinois

Village in Illinois, United StatesJunction, IllinoisVillageWelcome signLocation of Junction in Gallatin County, Illinois.Location of Illinois in the United StatesCoordinates: 37°43′22″N 88°14′17″W / 37.72278°N 88.23806°W / 37.72278; -88.23806CountryUnited StatesStateIllinoisCountyGallatinArea[1] • Total0.83 sq mi (2.14 km2) • Land0.83 sq mi (2.14 km2) • Water0.00 sq mi (0.0...

Araski AES

Basketball team in Vitoria-Gasteiz, SpainRPK AraskiLeaguesLiga FemeninaFounded2010ArenaPolideportivo MendizorrotzaCapacity2,603[1]LocationVitoria-Gasteiz, SpainTeam colorsGreen and pink   President Livia LópezHead coach Madelén UrietaChampionships1 Liga Femenina 2Websitearaski.com Home Away Araski AES, also known as Kutxabank Araski for sponsorship reasons, is a women's basketball team based in Vitoria-Gasteiz, Basque Country, Spain. The team currently plays in league Liga...

 

Risoluzione 874 del Consiglio di sicurezza delle Nazioni Unite

Risoluzione 874 del Consiglio di Sicurezza delle Nazioni UniteData14 aprile 1993 Seduta n.3292 CodiceS/RES/874 (Documento) VotiPro: 15 Ast.: 0 Contro: 0 OggettoArmenia-Azerbaigian RisultatoAdottata Composizione del Consiglio di Sicurezza nel 1993Membri permanenti:  Cina  Francia  Regno Unito  Russia  Stati Uniti Membri non permanenti:  Brasile  Capo Verde  Gibuti  Spagna  Ungheria  Giappone  Marocco  Nuova Ze...

 

东方明珠广播电视塔

此條目需要补充更多来源。 (2020年7月7日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索：东方明珠广播电视塔 — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。 东方明珠广播电视塔Oriental Pearl Tower东方明珠广播电视塔概要類型摩�...

蕈類

蕈（xùn）類（mushroom，toadstool）又稱菇類、蕈菇，是泛稱大型真菌的肉質產孢子實體，其菌絲具橫隔壁，將菌絲分隔成多細胞，受到認為自身有危險的攻擊時，會散播孢子。蕈類於生態系中皆為分解者。 蘑菇通常是对蘑菇属（Agaricus）部分食用菌的总称，常见的包括双孢蘑菇（Agaricus bisporus）、大肥菇（Agaricus bitorquis）、四孢蘑菇（Agaricus campestris）等；一般栽培的蘑菇是指�...

 

Treaty of Turin (1860)

1860 treaty between France and Piedmont-Sardinia This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (November 2017) (Learn how and when to remove this message) Treaty of TurinFrench annexation in 1860.Signed24 March 1860 (1860-03-24)LocationTurin, Kingdom of SardiniaSignatories Kingdom of Sardinia French Empire The Treaty of Turin (Italian: Trattat...

 

Music of Italy

Italian composers Rossini, Bellini, Ricci, Mercadante and Donizetti Music of Italy Timeline General topics Opera houses Music conservatories Terminology Genres Classical (Opera) Pop Rock (Hardcore · New Wave · Progressive rock) Disco House Dance Folk Hip hop Jazz Specific forms Gregorian chant Media and performance Music awards Sanremo Music Festival (festival and awards) Festival di Napoli (festival and awards) Tenco Plates and Awards Lunezia Awards Music Awards Coca Cola Summer Festival ...

Chalcombe Road Halt railway station

Former railway station in England Chalcombe Road HaltLocation in 1988General informationLocationChacombe, CherwellEnglandGrid referenceSP490442Platforms2Other informationStatusDisusedHistoryOriginal companyGreat Central RailwayPre-groupingGreat Central RailwayPost-groupingLondon and North Eastern Railway London Midland Region of British RailwaysKey dates1 June 1900Culworth Junction-Banbury line opened17 April 1911Station opened6 February 1956Station closed[1]4 September 1966Culworth J...

 

كتب جوجل

كتب جوجلGoogle Books (بالإنجليزية) الشعارمعلومات عامةموقع الويب books.google.com (الإنجليزية) نوع الموقع موقع ويب — مكتبة رقمية البلد الأصلي  الولايات المتحدة التأسيس 2005 الجوانب التقنيةاللغة لغات متعددة أهم الشخصياتالمالك جوجل تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات كتب جوجل (بالإن�...