Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

Nem tévesztendő össze a következővel: Differenciálmű.

A matematikai analízisben egy differenciálható függvény differenciáljának nevezzük azt a lineáris függvényt, mely az eredeti függvény növekményét legjobban közelíti. Gyakran ennek a lineáris függvénynek a növekményét is differenciálnak nevezik, ami tehát közelítő értéke a függvényérték két közeli pont közti eltérésének.

A differenciál kifejezés olyan értelemben is használatos, mint egy függvény végtelen kicsiny megváltozása, miközben a független változót végtelen kis mennyiséggel megváltoztatjuk. Ez esetben vagy beletörődünk, hogy a „végtelen kis mennyiség” kifejezés nem teljesen jól definiált, és intuíciónkra bízzuk értelmének kibontását, vagy a nemsztenderd analízishez fordulunk, mely halmazelméleti, modern logikai eszközökkel teszi pontossá a fogalom értelmezését.

Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett függvény, a az f értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény a-beli differenciálhatósága egyenértékű a következőkkel:

1. létezik olyan ε (az f értelmezési tartományán értelmezett) függvény, mely eltűnik a-ban (azaz ott folytonos és értéke 0), továbbá
2. van olyan A valós szám, hogy minden x-re az f értelmezési tartományából:

${\displaystyle f(x)=f(a)+A\!\cdot \!(x-a)+\varepsilon (x)\!\cdot \!(x-a)}$

Az iménti képletben az ε(x)${\displaystyle \cdot }$(x-a) úgy nevezett másodrendűen kicsiny mennyiség a körül, azaz legalább az (x–a)² hatvánnyal osztva adhat csak 0-tól különböző határértéket. Ez azt jelenti, hogy az f függvényt felbontottuk egy lineáris részre:

${\displaystyle f(a)+A\cdot (x-a)\,}$

és egy nemlineáris maradék részre:

${\displaystyle \varepsilon (x)\!\cdot \!(x-a)}$

Ha az f fenti alakját deriváljuk (az egyenlőségből látható, hogy ε is differenciálható), akkor kapjuk, hogy:

${\displaystyle f'(x)=A+\varepsilon '(x)\!\cdot \!(x-a)+\varepsilon (x)}$

vagyis az x = a esetben f '(a) = A. Az A szám tehát a derivált, az x–a=h helyettesítéssel nyert

${\displaystyle \mathrm {d} f(a):\;\;h\mapsto A\cdot h}$

(homogén) lineáris leképezést pedig az f függvény a-beli differenciáljának nevezzük.

Az a pontban az f függvény, vagy más néven az y = f(x) formula függvő változójának differenciálját

${\displaystyle df(a)\,}$ vagy ${\displaystyle df|_{x=a}\,}$ vagy ${\displaystyle dy|_{x=a}\,}$

jelöli. A független változó differenciálját, ahogyan az x – a különbséget nevezik

${\displaystyle dx\,}$

szimbolizálja. f-re tehát fennáll:

${\displaystyle f(x)=f(a)+df(a)+\varepsilon \cdot dx}$

ahol mind df(a), mind ε függ x-től, bár ezt nem mindig szokás kiírni. Fontos tudnunk, hogy mind df(a), mind dx valódi, véges mennyiség szemben a nemsztenderd analízis használta differenciállal, mely végtelen kicsi.

Gyakran a differenciál jelöléséből az a-ra utaló jeleket elhagyják. x-re mint középpontra és dx-re mint eltérésre felírva a függvény megváltozását:

${\displaystyle \Delta f=f(x+dx)-f(x)=df+\varepsilon \cdot dx}$

A differenciál definíciójából adódik, hogy a függő és független változó hányadosa éppen a derivált:

${\displaystyle {\frac {df(a)}{dx}}={\frac {f'(a)\cdot (x-a)}{x-a}}=f'(a)}$

ami jól illusztrálja, hogy a derivált kifejezést mért nevezik még differenciálhányadosnak is.

Rajzoljuk meg a függvénygörbe valamely P pontjához az érintőt (ez az ábrán a PS szakasz egyenese, ami egyben egy lineáris függvény grafikonja is)! A vízszintes tengelyen egy tetszőleges dx távolsággal eltávolodva x-től a függvény f(x+dx) értéket veszi fel, míg az azt közelítő lineáris függvény az f(x)+dy értéket (S pont). Ha dx → 0, az f(x+dx)–f(x) különbség határértékben egyenlővé válik dy-nal, vagyis a lineáris közelítés annál jobb, minél kisebb dx-et választunk.

Az ábrán a differenciált ábrázoló PRS háromszöget Leibniz-féle háromszögnek nevezzük.

A ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ hányados a görbe P pontjában húzott érintő egyenes meredeksége, egyben az f függvény x helyen vett deriváltja.

Ha feltesszük, hogy f az a pontban kétszer differenciálható, akkor az x ${\displaystyle \mapsto }$ ε(x) függvény is kétszer differenciálható lesz. Tekinthetjük tehát az f ' függvény differenciálját, melyet a következő egyenlet definiál:

${\displaystyle f'(x)=f'(a)+f''(a)\cdot (x-a)+\delta (x)\cdot (x-a)}$

ahol az utolsó tag másodrendűen kicsi a közelében. Ekkor a másodrendű, vagy második differenciál:

${\displaystyle d^{2}f(a)=f''(a)\cdot (x-a)^{2}}$

Természetesen ekkor a szokásos dx = x – a jelöléssel érvényben van a következő összefüggés:

${\displaystyle {\frac {d^{2}f(a)}{dx^{2}}}=f''(a)}$

A másodrendű differenciált is figyelembe véve f-re egy másodfokú közelítést adhatunk. Ha ε-t is "lineáris + nemlineáris" alakban írjuk fel, akkor f(x) alkalmas B számmal és a-ban nullához tartó x${\displaystyle \mapsto }$η(x) függvénnyel a következő alakban fejezhető ki:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)\!\cdot \!(x-a)+(B\!\cdot \!(x-a)+\eta (x)\!\cdot \!(x-a))\!\cdot \!(x-a)}$

azaz

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)\!\cdot \!(x-a)+(B+\eta (x))(x-a)^{2}}$

Ezt kétszer deriválva a-ban, a következő azonosságot ismerhetjük fel:

${\displaystyle 2B\equiv f''(a)}$

Vagyis a függvény megváltozása:

${\displaystyle \Delta f=f(x)-f(a)=df(a)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(a)+\xi (x)\cdot (x-a)^{2}}$

ahol ξ(x) nullához tart, ha x tart a-hoz.

A fentiekhez hasonlóan a-ban n-szer differenciálható f esetén definiálható az n-ed rendű differenciál, melynek jelölése

${\displaystyle d^{n}f(a)\,}$

és melyre teljesül:

${\displaystyle {\frac {d^{n}f(a)}{dx^{n}}}=f^{(n)}(a)}$

ahol f ⁽ⁿ⁾(a) az f függvény a pontbeli n-edik deriváltja.

Belátható, hogy n-szer differenciálható függvény esetén a függvénynövekményt a Taylor-sorhoz hasonló alakban kapjuk:

${\displaystyle \Delta f=f(x)-f(a)=\,}$

${\displaystyle =df(a)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(a)+{\frac {1}{6}}d^{3}f(a)+...+{\frac {1}{n!}}d^{n}f(a)+\xi (x)\cdot (x-a)^{n}=}$

${\displaystyle =\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k!}}d^{k}f(a)\right)+\xi (x)\cdot (x-a)^{n}}$

Végül valós analitikus függvény esetén a Taylor-sor teljes egészében átírható a függvénynövekmény differenciálokkal történő előállításaként:

${\displaystyle \Delta f=f(x)-f(a)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}d\,^{n}f(a)}$

Bővebben: Teljes differenciál