Frida Mojszejevna zongoraművész és Borisz Safran, a Szentpétervári Filharmonikusok vezető csellistája gyermeke volt. Tízéves koráig apja tanította gordonkázni. 1933-tól Alekszander Strimer, a helyi konzervatórium professzora vette át a továbbképzést. Safran első koncertjén CsajkovszkijRokokó variációival Albert Coates vezetésével csodagyerekként vált ismertté. 1937-ben, annak ellenére, hogy túl fiatal volt, benevezett egy országos versenyre, ahol első díjként egy Antonio Amati-csellót (1630-as keltezésű) nyert, amelyen egész koncertéletében játszott. Ennek a hangszernek valamivel kisebb mérete – ahogy Safran maga mondta – lehetővé tette számára, hogy merészebben játsszon, ezzel is hozzájárulva jellegzetes stílusának kialakulásához.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Daniil Borissowitsch Schafran című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.