Binomiális együttható

A matematikában az binomiális együttható a binomiális tételben előforduló együttható, ami a matematika különböző ágaiban bír jelentőséggel. Az kifejezést a magyarban így olvassák: „n alatt a k”.

Algebrai megközítésben az kifejtésében az együtthatója. A kombinatorikában egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak a száma, ami azt mutatja meg, hányféleképpen választható ki k elem n különböző elem közül.

Az jelölést Andreas von Ettingshausen vezette be 1826-ban,[1] habár a számokat már századokkal előtte is ismerték (lásd Pascal-háromszög). Alternatív jelölések a , , , melyek mindegyikében a C betű a kombinációkra utal.

Definíció

Az n és k természetes számoknál, az binomiális együtthatót az egytagú együtthatójaként lehet leírni az kifejezésben. Ugyanez az együttható fordul elő, ha k ≤ n a binomiális tételben.

,

ami megmagyarázza a „binomiális együttható” nevet.

A binomiális együttható jelöli a kombinatorikában azt a számot, ahányféleképpen ki tudunk választani n különböző elemből k darabot, feltéve, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít és minden elem legfeljebb egyszer választható (n elem k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma); ezzel ekvivalens, hogy egy n-elemű halmazban a k-elemű részhalmazok (vagy k-kombinációk) számát is a binomiális együttható adja meg.

Rekurzív képlet

Van egy rekurzív képlete a binomiális együtthatóknak.

ezekkel a kezdőértékekkel:

A képlet vagy megszámolja a kitevőket Xk-ig (1 + X)n−1(1 + X)-ben, vagy a {1, 2, ..., n} k'-kombinációit számolja meg, külön-külön azt, ami tartalmazza az n-et és ami nem. Ebből adódik, hogy amikor k > n, és minden n-re, hogy az ilyen eseteknél a rekurzió megállhasson. Ez a rekurzív képlet lehetővé teszi a Pascal-háromszög szerkesztését.

Szorzási képlet

Egy, egyedi binomiális együtthatók kiszámítására alkalmazott, hatékonyabb módot ez a képlet jeleníti meg:

Ezt a képletet legkönnyebb megérteni a binomiális együttható kombinatorikai értelmezéséhez. A számláló megadja a k eltérő tárgyak számsorának n tárgyak halmazából való kiválasztásához szükséges eljárások számát, megőrizve a kiválasztás sorrendjét. A nevező megszámolja az eltérő számsorok számát, amik ugyanazt a k-kombinációt határozzák meg, amikor nem vesszük figyelembe a sorrendet.

Faktoriális képlet

Végül, van egy faktoriálisokat használó könnyen megjegyezhető képlet:

ahol n! az n faktoriálisát fejezi ki. Ez a képlet a fenti szorzási képletből adódik a számláló és nevező (nk)!-sal való megszorzásával; következményképpen a számláló és nevező sok közös tényezőjét magában foglalva. Kevésbé praktikus nyílt számításra, hacsak nem iktatjuk ki a közös tényezőket először (mivel a faktoriális értékek nagyon gyorsan nőnek). A képlet egy szimmetriát is mutat, ami nem annyira nyilvánvaló a szorzási képletből (habár a definíciókból jön)

Tulajdonságai

A binomiális együtthatók összege

Ez éppen egy n elemű halmaz részhalmazait számolja le elemszám szerint. Az összegzési képlet levezethető a binomiális tételből az helyettesítéssel.

Alternáló összeg

minden .

Kombinatorikai jelentése: egy halmaznak ugyanannyi páros, mint páratlan elemszámú részhalmaza van. A képlet páratlan n-re azonnal következik a szimmetriából. Tetszőleges n-re belátható a binomiális tétellel és az és (vagy és ) helyettesítéssel.

Eltolt összeg

Vandermonde-azonosság

Az állítás kombinatorikai érveléssel belátható:

Vegyük gömbök n+m elemű halmazát, amiben m gömb piros. Leszámláljuk a gömbök k elemű részhalmazait aszerint, hogy mennyi piros gömböt tartalmaznak.

Egy másik bizonyítás az felbontásból és az együtthatók összehasonlításából adódik.

Alkalmazásai

A binomiális együtthatóknak több különféle alkalmazása van.

A kombinatorikában

A binomiális együtthatók központi szerephez jutnak a leszámláló kombinatorikában, ahol is az n elemű halmaz k elemű részhalmazainak száma, vagyis ennyiféleképpen lehet n elem közül kiválasztani k-t a sorrend figyelembe vétele nélkül.

Szemléletesen, kiszámítjuk az összes n hosszú sorozatot, majd kiválasztunk k helyet, és azt akarjuk tudni, hogy hányféleképpen tölthetők fel ezek a helyek. Mivel az elemek sorrendje nem játszik szerepet, ezért osztani kell k!-sal; és mivel az érdektelen elemek sorrendje szintén nem fontos, ezért osztunk (n-k)!-sal is.

Az analízisben

Binomiális sorok

Ha , és akkor

,

amely binomiális sor a mértani sorok általánosítása.

Hogyha , és , akkor a

binomiális sor szintén konvergál.

A bétafüggvény

Teljes indukcióval bizonyítható minden -re, hogy

,

a szimmetria miatt

A bétafüggvény kiterjeszthető a komplex számok halmazára, ha , és

.

A gammafüggvény

Minden -re:

.

esetén a törtek felírhatók integrálokként

a hatványokat a binomiális képlet szerint összegezve

,

ahol az utolsó integrálban t-t helyettesítünk t/n-be. Be kell még látni, hogy a helyettesítések elvégezhetők, és a főbb tulajdonságok megmaradnak. Így az egyenlőtlenség a

alakot nyeri, ahol a határátmenet éppen a Gauss-féle

,

alakot adja.[2]

A digamma és az Euler-Mascheroni konstans

Minde -re, amire

,

ami szerinti indukcióval belátható. Az speciális esetre az egyenlet

.

Az összeget a sorral helyettesítve

ahol Euler-Mascheroni-konstans és a digammafüggvény, interpolálja a sorozatot.

Általánosításai

A binomiális együtthatónak több általánosítása is létezik.

A szorzási képlet alapján általánosítható valós a-kra és egész k-kra:

Minden a-ra és k=0-ra az értéke 1, és minden a-ra és negatív k-kra az értéke 0.

A multinomiális együtthatók az (x1+x2+ … + xm)n alakú polinomok együtthatói. A faktoriális képlet általánosításával számíthatók:

ahol minden ki nemnegatív, és összegük egyenlő n-nel.

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

Fordítás

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Binomialkoeffizient című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Read other articles:

Peta Lokasi Kabupaten Muara Enim di Sumatera Selatan Berikut adalah daftar kecamatan dan kelurahan/desa di Kabupaten Muara Enim, Sumatera Selatan, Indonesia. Kabupaten Muara Enim memiliki 20 kecamatan, 10 kelurahan dan 245 desa (dari total 236 kecamatan, 386 kelurahan dan 2.853 desa di seluruh Sumatera Selatan). Pada tahun 2017, jumlah penduduknya sebesar 567.450 jiwa dengan luas wilayahnya 7.383,90 km² dan sebaran penduduk 77 jiwa/km².[1][2] Daftar kecamatan dan kelurahan d...

 

 

Medan PerjuanganKecamatanPeta lokasi Kecamatan Medan PerjuanganMedan PerjuanganPeta lokasi Kecamatan Medan PerjuanganKoordinat: 3°35′57″N 98°41′51″E / 3.599276°N 98.697525°E / 3.599276; 98.697525Koordinat: 3°35′57″N 98°41′51″E / 3.599276°N 98.697525°E / 3.599276; 98.697525Negara IndonesiaProvinsiSumatera UtaraKotaMedanPemerintahan • CamatZul Ahyudi Solin[1]Populasi (2021)[2] •&...

 

 

Voce principale: Vicenza Calcio. Vicenza CalcioStagione 2016-2017 Sport calcio SquadraVicenza Calcio Allenatore Franco Lerda (fino al 3 ottobre 2016) Pierpaolo Bisoli (fino al 19 aprile 2017) Vincenzo Torrente All. in seconda Giacomo Chini (fino al 3 ottobre 2016) Michele Tardioli Presidente Alfredo Pastorelli Serie B20º (retrocesso in Serie C) Coppa ItaliaTerzo turno Maggiori presenzeCampionato: Signori (38)Totale: Signori (38) Miglior marcatoreCampionato: Pucino, Bellomo (5)Totale: Pucino...

Species of plant Oryza sativa Mature seed heads Inflorescence Scientific classification Kingdom: Plantae Clade: Tracheophytes Clade: Angiosperms Clade: Monocots Clade: Commelinids Order: Poales Family: Poaceae Genus: Oryza Species: O. sativa Binomial name Oryza sativaL. Synonyms[1] List Oryza aristata Blanco Oryza communissima Lour. Oryza denudata (Desv.) Steud. Oryza elongata (Desv.) Steud. Oryza formosana Masam. & Suzuki Oryza glutinosa Lour. Oryza marginata (Desv.) Steud. ...

 

 

Danau BaturDanau BaturLetakKintamani, Kabupaten Bangli, Bali, IndonesiaKoordinat08°15′30″S 115°24′30″E / 8.25833°S 115.40833°E / -8.25833; 115.40833Koordinat: 08°15′30″S 115°24′30″E / 8.25833°S 115.40833°E / -8.25833; 115.40833Jenis perairanPolimiktik, danau kawahPanjang maksimal2,5 km (1,6 mi)Lebar maksimal7,5 km (4,7 mi)Area permukaan15,9 km2 (3.900 ekar)Kedalaman maksimal88 m (289 ft)...

 

 

Canadian animation studio Bardel Entertainment, Inc.Logo used since 2022Company typeSubsidiaryIndustryAnimationFounded1987; 37 years ago (1987)FounderDelna BhesaniaBarry WardHeadquartersVancouver, British Columbia, CanadaKey peopleTina Chow (CEO)Richard Grieve (COO)ParentRainbow S.p.A.Websitebardel.ca  Bardel Entertainment, Inc. (formerly Bardel Animation) is a Canadian animation studio founded in Vancouver, British Columbia, in 1987. The studio's name comes from its fo...

Pour le sujet général sur la gouvernance britannique, voir Politique au Royaume-Uni. Ne pas confondre avec le terme général de Gouvernement de Sa Majesté au sein des nations du Commonwealth. Pour les articles homonymes, voir HMG. Gouvernementde Sa MajestéHis Majesty's Government Situation Création 1707 Siège Whitehall, Londres Royaume-Uni Organisation Effectifs 560 000 fonctionnaires Premier ministre Rishi Sunak Site web www.gov.uk modifier  Le Gouvernement du Royaume-Uni (en an...

 

 

Egyptian queen in Sixth Dynasty of Egypt For other Egyptian ladies called Ankhesenpepi, see Ankhesenpepi. Ankhesenpepi IIIResting placePyramid in SaqqaraOccupationQueen of EgyptSpousePepi IIParentNemtyemsaf I Ankhesenpepiin hieroglyphs Era: Old Kingdom(2686–2181 BC) Ankhesenpepi III was an ancient Egyptian queen of the Sixth Dynasty as a consort of Pepi II, who was probably her uncle. She was a daughter of Merenre Nemtyemsaf I and was named after her grandmother, Ankhesenpepi I.[1&...

 

 

2012 V8 Supercars Drivers' Champion:Jamie WhincupTeams' Champion:Triple Eight Race EngineeringManufacturers' Championship:Holden Previous 2011 Next 2013 Support series:Dunlop Series The 2012 International V8 Supercar Championship (often simplified to the 2012 V8 Supercars Championship) was an FIA-sanctioned international motor racing series for V8 Supercars. It was the fourteenth running of the V8 Supercar Championship Series and the sixteenth series in which V8 Supercars have contested the ...

Baudline Baudline Signal AnalyzerTipeperangkat lunak Versi pertamaSeptember 2000GenreAnalisis numerikLisensiTidak bebasBahasaDaftar bahasa ? Karakteristik teknisSistem operasiLinux, FreeBSD, SolarisInformasi tambahanSitus webwww.baudline.com Sunting di Wikidata  • Sunting kotak info • L • BBantuan penggunaan templat ini Penjelajah baudline time-frequency adalah sebuah tool analisis sinyal yang dirancang untuk visualisasi ilmiah. Baudline berjalan pada beberapa sistem oper...

 

 

Handcuffs or KissesTitolo originaleHandcuffs or Kisses Lingua originaleinglese Paese di produzioneStati Uniti d'America Anno1921 Durata60 min Dati tecniciB/Nrapporto: 1,33:1film muto RegiaGeorge Archainbaud SoggettoThomas Edgelow SceneggiaturaLewis Allen Browne Casa di produzioneSelznick Pictures Corporation FotografiaJules Cronjager Interpreti e personaggi Elaine Hammerstein: Lois Walton Julia Swayne Gordon: signora Walton Dorothy Chappell: Violet Robert Ellis: Peter Madison Alison Skipworth...

 

 

Tupolev PAK DATipePengebom strategisStatusDalam perancanganPengguna utamaAngkatan Udara Rusia Tupolev PAK DA (atau PAK-DA), adalah desain pengebom strategis generasi baru Rusia, yang dikembangkan oleh Biro Desain Tupolev PAK DA (ПАК ДА dalam bahasa Rusia) singkatan dari перспективный авиационный комплекс дальней авиации (perspektivnyi aviatsionnyi kompleks yang berarti Perspective Aviation Complex for Long-Range Aviation. PAK DA direncanakan ...

Divisions of Ghana Politics of Ghana Constitution Executive President (list) Nana Akufo-Addo Vice President Mahamudu Bawumia Ministers Council of State Legislative Speaker of the Parliament Alban Sumana Bagbin Parliament Members of Parliament Judiciary Supreme Court Chief Justice: Kwasi Anin-Yeboah Human rights Elections Constituencies Political parties Politicians Electoral Commission Recent elections General: 201620202024 Administrative divisions Regions Districts Foreign relations Ministry...

 

 

Soviet nuclear engineer in charge during the Chernobyl disaster In this name that follows Eastern Slavic naming customs, the patronymic is Stepanovich and the family name is Dyatlov. Anatoly DyatlovАнатолий ДятловDyatlov in 1987BornAnatoly Stepanovich Dyatlov(1931-03-03)3 March 1931Sukhobuzimsky District, Krasnoyarsk Krai, Russian SFSR, Soviet UnionDied13 December 1995(1995-12-13) (aged 64)Kyiv, UkraineOther namesАнатолій Степанович Дятлов (...

 

 

Railway Bridge in West Bengal Sevoke Railway Bridge is the railway bridge on River Teesta near Mahananda Wildlife Sanctuary at Sevoke, West Bengal, India. The railway bridge is about 396.1 metres long and connects Darjeeling district with Jalpaiguri district of West Bengal.[1] The bridge lies on New Jalpaiguri–Alipurduar–Samuktala Road line of Northeast Frontier Railway, Alipurduar Division. It connects Siliguri - Sevoke to the Doars region of North Bengal. Sevoke Railway Bridge r...

1975–1999 military occupation See also: Indonesian invasion of East Timor, East Timor genocide, and East Timor (province) Indonesian occupation of East TimorPart of the Cold War (until 1991)DateDe facto:7 December 1975 – 31 October 1999(23 years, 10 months, 3 weeks and 3 days)De jure:7 December 1975 – 20 May 2002(26 years, 5 months, 1 week and 6 days)LocationEast TimorResult 1999 East Timorese crisis East Timor gains independence after a...

 

 

Girls' 63 kgat the III Summer Youth Olympic GamesVenueOceania PavilionDate10 October 2018Competitors11 from 11 nationsMedalists Yalda Valinejad  Iran Nadica Božanić  Serbia Leslie Soltero  Mexico Assunta Cennamo  Italy← 20142022 → Taekwondo at the2018 Summer Youth OlympicsMenWomen48 kg44 kg55 kg49 kg63 kg55 kg73 kg63 kg+73 kg+63 kgvte The girls' 63 kg competition at the 2018 Summer Youth Olympics was held on 10 October at the Oceania ...

 

 

TimeAlbum Studio karya ArashiDirilis11 Juli 2007 (2007-07-11)GenrePop, Rock, R&BDurasi57:29 (Edisi Regular)62:38 (Edisi Terbatas)LabelJ StormKronologi Arashi Arashic(2006)String Module Error: Match not found2006 Time(2007) Dream A Live(2008)String Module Error: Match not found2008 Singel dalam album Time Aozora PedalDirilis: 02 Agustus 2006 (2006-08-02) Love So SweetDirilis: 12 Februari 2007 (2007-02-12) We Can Make It!Dirilis: 02 Mei 2007 (2007-05-02) Time adalah...

Canadian ice hockey player For other people named James Sheppard, see James Sheppard (disambiguation). Ice hockey player James Sheppard Sheppard with the Minnesota Wild in 2009Born (1988-04-25) April 25, 1988 (age 36)Lower Sackville, Nova Scotia, CanadaHeight 6 ft 2 in (188 cm)Weight 210 lb (95 kg; 15 st 0 lb)Position CentreShoots LeftICEHL teamFormer teams Vienna CapitalsMinnesota WildSan Jose SharksNew York RangersEHC KlotenEisbären BerlinKölner Hai...

 

 

Trattato di Saint-Germain-en-LayeLa suddivisione territoriale dell'Impero austro-ungarico dopo la prima guerra mondialeContestoPrima guerra mondiale Firma10 settembre 1919 LuogoSaint-Germain-en-Laye, Francia Efficacia16 luglio 1920 CondizioniRipartizione del dissolto Impero austro-ungarico Parti Austria Stati Uniti Impero britannico Francia Italiaaltri 13 stati FirmatariRepubblica dell'Austria tedescaRegno UnitoRegno d'ItaliaTerza Repubblica francese e Stati Uniti d'America voci di ...