קבוע אפרי

במתמטיקה, קבוע אפרי הוא הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה 3, כלומר המספר

\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{6^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{8^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}+\ldots \approx 1.20205\ldots

הקבוע נקרא על שם רוז'ה אפרי (1916–1994) שהוכיח בשנת 1978 שהקבוע הוא אי-רציונלי.

רקע

ב-1735 פתר לאונרד אוילר את בעיית בזל והוכיח ש- $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ . אוילר אף הגדיל לעשות והראה ש- $\zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}$ , כאשר $B_{k}$ הוא מספר ברנולי ה-k. כיוון שפאי הוא מספר טרנסצנדנטי, תוצאתו של אוילר מראה שכל ערכי פונקציית זטא במספרים טבעיים זוגיים הם מספרים טרנסצנדנטיים (ובפרט אי-רציונליים).

לעומת זאת, לא נמצאה דרך דומה לחשב את ערכי פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות, והשאלה האם ערכים אלו אי-רציונליים נותרה פתוחה ב-200 השנים הבאות.

ב-1978 הציג רוז'ה אפרי, מתמטיקאי מבוגר ואלמוני למדי, הוכחה מפתיעה לכך ש- $\zeta (3)$ הוא אי-רציונלי. מאז הקבוע נקרא על שמו. משערים שקבוע אפרי הוא מספר טרנסנצנדטי, אך טענה זו טרם זכתה להוכחה.

ההוכחה של אפרי

ההוכחה של אפרי לאי-רציונליות של $\zeta (3)$ נחשבת לטכנית ו"אד הוקית" למדי.

ההוכחה מסתמכת על משפט ידוע של דיריכלה הקובע שמספר רציונלי אינו ניתן לקירוב דיופנטי מסדר העולה על 1. אפרי מצא טור של מספרים רציונליים שמתכנס ל- $\zeta (3)$ מהר מספיק כדי לייצר קירוב דיופנטי מסדר העולה על 1.

ערכי פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות נוספות

ניסיון להשתמש בשיטה של אפרי במטרה להוכיח שערכים נוספים של פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות גם הם אי-רציונליים נחל כישלון. זאת על אף שמשערים שכל הערכים הם אי-רציונליים.

Wadim Zudilin הוכיח בתחילת שנות ה-2000 שקיימים אינסוף ערכים אי-רציונליים של פונקציית זטא בנקודות אי-זוגיות, ושלפחות אחד מבין ערכי הפונקציה בנקודות 5, 7, 9, 11 הוא אי-רציונלי.

ראו גם

קבוע קטלן

לקריאה נוספת

Paul J. Nahin, World's Most Mysterious Unsolved Math Problem, Princeton University Press, 2021

קישורים חיצוניים

מספרים אי-רציונליים נודעים
מספרים אלגבריים	2√ • 3√ • יחס הזהב 𝜑 • יחס הכסף δ_Ag • היחס הפלסטי 𝜌
מספרים טרנסצנדנטיים	בסיס הלוגריתם הטבעי 𝑒 • פאי 𝜋 • קבוע גאוס • קבוע אומגה Ω • קבוע ליוביל
מספרים אי-רציונליים, שלא ידוע האם הם אלגבריים או טרנסצנדנטיים	קבוע אפרי (3)ζ • קבוע ארדש-בורוויין
טריגונומטריה	קבועים טריגונומטריים מדויקים

Read other articles:

راميرو فونيس موري

راميرو فونيس موري (بالإسبانية: Ramiro Funes Mori)‏ راميرو فونيس موري مع فياريال عام 2018. معلومات شخصية الاسم الكامل راميرو خوسيه فونيس موري الميلاد 5 مارس 1991 (العمر 33 سنة)مندوزا، الأرجنتين الطول 1.86 م (6 قدم 1 بوصة) مركز اللعب قلب دفاع، ظهير أيسر، وسط دفاعي الجنسية الأرجنتين...

Perguruan Wahidin

Perguruan Wahidin華希寧學校中華公學InformasiDidirikan09 September 1957[1]JenisSwastaAkreditasiAKepala SekolahSD: Erlinarty Wijaya[2] SMP: A. Riadi[3] SMA: Nur Sugiarto [4]Jurusan atau peminatanSMA: IPA, IPSKurikulumSD: Kurikulum K-13 SMP: Kurikulum K-13 SMA: Kurikulum KTSPJumlah siswaSD: 820[2] SMP: 541[3] SMA: 473[4]AlamatLokasiJalan Pahlawan No.109 D, Bagansiapiapi, Rokan Hilir, Riau, IndonesiaTel./Faks.SD ...

Research university

University committed to research as a central part of its mission Wilhelm von Humboldt (1767–1835) is responsible for the Humboldtian model of higher education. Nuclear research at the University of Wisconsin–Madison, a research university, in Madison, Wisconsin, United States, May 2005 Switzerland spends 0.76% of GDP on university research funding as of 2017, some 3.8x the ratio of the United States (0.20%).[1] ETH Zurich, founded in 1854, is the leading Swiss research universit...

قرية سودوس (نيويورك)

قرية سودوس الإحداثيات 43°14′16″N 77°03′43″W / 43.2378°N 77.0619°W / 43.2378; -77.0619 [1] تاريخ التأسيس 1917 تقسيم إداري البلد الولايات المتحدة[2] التقسيم الأعلى مقاطعة وين خصائص جغرافية المساحة 2.437025 كيلومتر مربع2.437027 كيلومتر مربع (1 أبريل 2010) ارتفاع ...

Keuskupan Gaspé

Keuskupan GaspéDioecesis GaspesiensisKatolik Katedral Christ-Roi, GaspéLokasiNegara KanadaProvinsi gerejawiQuebecPopulasi- Katolik83,400 (89.3%)InformasiDenominasiKatolik RomaRitusRitus RomaPendirian5 Mei 1922KatedralCathedrale du Christ-RoiKepemimpinan kiniPausFransiskusUskupGaétan Proulx, O.S.M.Situs webKeuskupan Gaspé Keuskupan Gaspé (bahasa Latin: Dioecesis Gaspesiensis) (didirikan pada 5 Mei 1922) adalah sebuah suffragan dari Keuskupan Agung Rimouski. Pemimpi...

العلاقات البريطانية الهندوراسية

العلاقات البريطانية الهندوراسية المملكة المتحدة هندوراس المملكة المتحدة هندوراس تعديل مصدري - تعديل العلاقات البريطانية الهندوراسية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين المملكة المتحدة وهندوراس.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقار�...

Frederick Sanger

Frederick SangerLahir(1918-08-13)13 Agustus 1918Rendcomb, Gloucestershire, InggrisMeninggal19 November 2013(2013-11-19) (umur 95)Cambridge, InggrisKebangsaanBritaniaAlmamaterUniversitas CambridgeDikenal atasUrutan asam amino insulin, metode dideoksi sekuensing DNAPenghargaanNobel Kimia (1958)Medali Copley (1977)Nobel Kimia (1980)Karier ilmiahBidangBiokimiawanInstitusiUniversitas CambridgeLaboratory of Molecular BiologyDisertasiMetabolisme asam amino lisin dalam tubuh hewan (1943)Pe...

Avant-prog

Subgenre of progressive rock music This article relies largely or entirely on a single source. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help improve this article by introducing citations to additional sources.Find sources: Avant-prog – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2015) Avant-progStylistic originsRock in OppositionAvant-garde musicCanterbury sceneCultural originsLate 1970s; United States, Europe, and Japan[1&#...

Provinsi Daykundi

Daykundi (Persia: دایکندی) juga dieja Daikondi, Dāykondī atau Daikundi, adalah salah satu dari tiga puluh empat provinsi di Afghanistan. Ibu kota Daykundi adalah Nili. Provinsi ini terletak sekitar 310 kilometer dari Kabul, dan masuk ke dalam wilayah tradisional etnis Hazara dan dikenal sebagai Hazarajat. Jumlah penduduk Daykundi diperkirakan sekitar 477.544 jiwa (CSO Afghanistan, 2006)[1] dan etnis Hazara merupakan mayoritas sekitar 86% dari total penduduk, diikuti oleh Pas...

哈萨克斯坦总统

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言，清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日（哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統）哈萨克斯坦哈萨克斯坦政府...

Islam di Jamaika

Muslim JamaikaTotal populasi1.000[1]AgamaIslam Sunni, Islam Syiah dan AhmadiyahBahasaBahasa utama yang digunakan adalah Bahasa Inggris, Patwa Jamaika, Arab, UrduIslam menurut negara Afrika Aljazair Angola Benin Botswana Burkina Faso Burundi Kamerun Tanjung Verde Republik Afrika Tengah Chad Komoro Republik Demokratik Kongo Republik Kongo Djibouti Mesir Guinea Khatulistiwa Eritrea Eswatini Etiopia Gabon Gambia Ghana Guinea Guinea-Bissau Pantai Gading Kenya Lesotho Liberia Libya Madagask...

John Gilbert (bushranger)

Australian bushranger For other people named John Gilbert, see John Gilbert (disambiguation). John GilbertEngraving of John GilbertBornc. 1842Hamilton, Canada WestDied13 May 1865(1865-05-13) (aged 22–23)Binalong, New South WalesCause of deathDeath by gunshotOccupationBushrangerOrganizationBen Hall gangParentsWilliam Gilbert (father)Eleanor Wilson (mother) Johnny Gilbert (c. 1842-1865) was an Australian bushranger who was shot dead by the police at the age of 23 near Binalong, New ...

Acido barbiturico

Le informazioni riportate non sono consigli medici e potrebbero non essere accurate. I contenuti hanno solo fine illustrativo e non sostituiscono il parere medico: leggi le avvertenze. Acido barbituricoformula di struttura Nome IUPAC1H,3H,5H-pirimidin-2,4,6-trione Nomi alternativimalonilurea 2,4,6-triidrossipirimidina Caratteristiche generaliFormula bruta o molecolareC4H4N2O3 Massa molecolare (u)128,09 g/mol Aspettosolido biancastro Numero CAS67-52-7 Numero EINECS200-658-0 PubChem6211 SMILES...

Garena

GarenaJenisPublikDidirikan2009KantorpusatSingapuraTokohkunciForrest Li (CEO)IndukSea (NYSE: SE)Situs webwww.garena.sg Garena adalah pengembang game online Singapura dan penerbit game gratis. Perusahaan mendistribusikan judul game di Garena+ di berbagai negara di Tenggara dan Asia Timur, termasuk game multiplayer online battle arena (MOBA) League of Legends dan Heroes of Newerth, game football (soccer) online FIFA Online 3, game first-person shooter Point Blank, game MOBA seluler Arena of Valo...

Related rights

Intellectual property rights of a creative work not connected with the work's actual author Intellectual property Authors' rights Copyleft Copyright Database right Farmers' rights Geographical indication Indigenous intellectual property Industrial design right Integrated circuit layout design protection Moral rights Patent Peasants' rights Plant breeders' rights Plant genetic resources Related rights Supplementary protection certificate Trade dress Trade secret Trademark Utility model Related...

Gottfried von Strassburg

Middle High German poet This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Gottfried von Strassburg – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2019) (Learn how and when to remove this message) In this medieval name, the personal name is Gottfried and von Strassburg is an appellation or descriptor. T...

Anglo-Saxon warfare

Military tactics A modern recreation of a 7th-century Anglo-Saxon warrior The period of Anglo-Saxon warfare spans the 5th century AD to the 11th in Anglo-Saxon England. Its technology and tactics resemble those of other European cultural areas of the Early Medieval Period, although the Anglo-Saxons, unlike the Continental Germanic tribes such as the Franks and the Goths, do not appear to have regularly fought on horseback.[1] Evidence Although much archaeological evidence for Anglo-Sa...

Jan Maxwell

Jan Maxwell Jan Maxwell, all'anagrafe Janice Elaine Maxwell (Fargo, 20 novembre 1956 – New York, 11 febbraio 2018) è stata un'attrice statunitense, nota soprattutto per il suo lavoro nel teatro musicale e di prosa a Broadway. Indice 1 Biografia 1.1 Vita privata 2 Filmografia 2.1 Cinema 2.2 Televisione 3 Teatro 4 Premi e riconoscimenti 5 Doppiatrici italiane 6 Note 7 Altri progetti 8 Collegamenti esterni Biografia Quinta di sei fratelli, Jan Maxwell era la figlia del giudice Ralph B. Maxwel...

21 de abril

◄ Abril ► Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 2 3 4 Ano: 2024 Década: 2020 Século: XXI Milênio: 3.º 21 de abril é o 111.º dia do ano no calendário gregoriano (112.º em anos bissextos). Faltam 254 dias para acabar o ano. Eventos históricos 1792: Martírio de Tiradentes, óleo sobre tela de Aurélio de Figueiredo. 753 a.C. — Data tradicional da fundação de Roma por Rômulo. 43 a.C. — Batalha de Mu...

Hunter Lovins

Hunter Lovins 2007 L. Hunter Lovins (née Sheldon, born February 26, 1950, in Middlebury, Vermont)[1] is an American environmentalist, author, sustainable development proponent, co-founder of Rocky Mountain Institute, and president of the nonprofit organization Natural Capitalism Solutions. Education and career Lovins received an undergraduate degree in sociology and political science from Pitzer College in 1972, and a J.D. from Loyola Law School in 1975.[2][3] A prac...