פלימפטון 322 (באנגלית: Plimpton 322) הוא לוח חרס שמקורו בבבל, המתוארך בין השנים 1900 לפנה"ס עד 1600 לפנה"ס (תיארוך מדויק יותר מייחס אותו לשנים 1822–1784 לפנה"ס^[1]). בלוח, הכתוב בכתב יתדות, ארבע עמודות וחמש עשרה שורות של מספרים בספרות בבליות, כך שהמספרים בשתיים מן העמודות שייכים לשלשות פיתגוריות. זהו ככל הנראה המפורסם שבין הלוחות המתמטיים הבבליים שנמצאו ונותחו.

מהות המספרים שבו העסיקה את החוקרים - היסטוריונים ומתמטיקאים - שנים רבות. הפרשנות הראשונה שניתנה היא שהלוח שימש להצגה של שלשות פיתגוריות שיוצרו על פי נוסחה. פרשנות מאוחרת יותר היא שהלוח שימש לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית. בניגוד לפרשנויות אלה, לפיהן הלוח מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו, הוצגה פרשנות לפיה הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו.

שמו של הלוח נובע מכך שהוא פריט מספר 322 באוסף של ג'ורג' ארתור פלימפטון. מקורו בעיר העתיקה לרסה שבעיראק של ימינו, והוא התגלה בעת חפירות ארכאולוגיות לא חוקיות, יחד עם עוד אלפי לוחות מסוגו, בתחילת שנות ה-20 של המאה ה-20. פלימפטון קנה את הלוח, בערך בשנת 1922, ככל הנראה מבלי שהוא או המוכר יבחינו בייחוד שבו, ובאמצע שנות ה-30 תרם אותו יחד עם האוסף שלו לאוניברסיטת קולומביה^[2], שם הוא שמור עד היום^[3]. בתיאור הקטלוגי שלו תואר פלימפטון 322 כמכיל "רישום עסקה מסחרית".

ערך מורחב – ספרות בבליות

בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור מסופוטמיה השומרים, שעשו שימוש בכתב יתדות וערכו את חישוביהם בבסיס 60. בין השנים 2300 ל-2100 לפנה"ס שלטו באזור זה האכדים, שהשפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לכלי המוכר לנו כיום יותר בתור החשבונייה. בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו הבבלים את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה.

שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה לשיטה העשרונית בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, 60. כדי למנוע את הצורך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה).

הלוח הוא ברוחב 13 ס"מ, בגובה 9 ס"מ ובעובי 2 ס"מ. הלוח מכיל ארבע עמודות של מספרים. העמודה הימנית ביותר, שניתן לתרגם את כותרתה בתור "השם שלו" מכילה על פי סדר את המספרים מ-1 ועד 15. בשל פגמים בלוח, המספרים 5, 6 ו-15 לא מופיעים בבירור בו, אך ניתן לשער את קיומם. המספרים בעמודה זו כתובים בסגנון שונה מזה של המספרים בשאר הלוח (לדוגמה, 4 כתוב כריבוע של ארבע יתדות שמסמלות יחידה, בזמן שבמופע של 4 בעמודה אחרת, הוא מופיע כשלוש יתדות ועוד אחת מתחתיהן). הסגנון השונה נובע כנראה מכך שאין משמעות מתמטית למספרים אלו, והם משמשים רק למספור השורות.

כותרת העמודה השלישית משמאל ניתנת לתרגום כ"צלע האלכסון" (במקור מכילה הכותרת את המילה "ריבוע", אך כנראה שהכוונה במילה זו היא לאורך צלע), ואילו כותרת העמודה השנייה משמאל ניתנת לתרגום כ"צלע הרוחב". בין שתי עמודות אלו מתקיים הקשר הבא: אם ${\displaystyle \ a}$ הוא מספר מהעמודה השנייה משמאל, ו-${\displaystyle \ c}$ הוא המספר המתאים מאותה שורה בעמודה השלישית משמאל, אז בכל המקרים פרט לארבעה מתקיים ש-${\displaystyle \ c^{2}-a^{2}}$ הוא ריבוע של מספר טבעי - כלומר, ש-${\displaystyle \ a}$ יכול לשמש כאורך של ניצב ו-${\displaystyle \ c}$ יכול לשמש כאורך היתר במשולש ישר-זווית שבו כל הצלעות הן בעלות אורכים שלמים. קשר זה נובע ממשפט פיתגורס. פירוש הדבר הוא ששתי העמודות הללו מתארות (בצורה לא ישירה) שלשות פיתגוריות. המספר השלישי בשלשה, שערכו נתון על ידי ${\displaystyle \ b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$, אינו מופיע על גבי הלוח.

העמודה הראשונה משמאל היא הבעייתית מבין כל העמודות. בשל פגמים בלוח, הכותרת שלה אינה ברורה. כמו כן, כיוון שהלוח ככל הנראה נשבר לאורך קצה העמודה, לא ברור האם השקעים שמופיעים בתחילת כל שורה נובעים מהקו המפריד בין השורות, או שמדובר בסימון של המספר 1 בתחילת כל אחד מהמספרים בעמודה זו.

המספרים שבעמודה הראשונה מסודרים בסדר יורד. אם מסתכלים על המספרים כמייצגים שברים בבסיס סקסגסימלי (בסיס 60) שבו השתמשו הבבלים, הרי שניתן לתת לשורה זו אחת משתי פרשנויות: אם אכן מופיע 1 בתחילת כל איבר בשורה, השורה מתארת את היחס ${\displaystyle \ \left({\frac {c}{b}}\right)^{2}}$. אם לעומת זאת לא מופיע 1, היא מתארת את ${\displaystyle \ \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}}$. חלקים מהעמודה השמאלית חסרים, אך ניתן לשער את ערכם על פי הכלל המנחה שנראה כי שימש ליצירת שאר המספרים בעמודה זו.

הלוח מכיל את המספרים הבאים (בסוגריים נתונים תיקונים שמקובלים בספרות המודרנית, אך לא מופיעים בלוח המקורי):

במקור כל המספרים מופיעים בבסיס 60, אך בטבלה שלפנינו מובא הייצוג שלהם כמספרים עשרוניים. כמו כן, בעמודה השמאלית, ה-1 שלפני הנקודה בכל אחד מהמספרים שבעמודה הוא כאמור אופציונלי, וייתכן שלא היה חלק מהלוח.

כאמור, פרט לשורות 2, 9, 13, 15, בכל השורות מתקיים ש-${\displaystyle \ c^{2}-a^{2}}$ הוא ריבוע של מספר טבעי. עבור ארבע השורות ה"בעייתיות", נתון בסוגריים ערך שיבטיח שתכונה זו תתקיים גם באותה השורה. ניתן להסביר חלק מהתיקונים:

• התיקון בשורה 9 מתבסס על כך ש-481 נכתב בתור (8,1) בבסיס סקסגסימלי, בעוד ש-541 נכתב בתור (9,1), כך שייתכן שהייתה כאן שגיאה של חוסר תשומת לב.
• התיקון בשורה 13 מתבסס על כך ש-161 הוא השורש של 25921.
• התיקון בשורה 15 מתבסס על כך ש-53 הוא חצי מ-106 (תיקון אפשרי אחר: להפוך את 56 ל-28).
• התיקון שבשורה 2 הוא הבעייתי ביותר, ולא ניתן לו הסבר משכנע לחלוטין.

האזכורים המרכזיים הראשונים של הלוח היו בספריו של אוטו נויגבאואר (Otto Neugebauer), ראשית בספר Mathematical Cuneiform Texts ולאחר מכן בספר The Exact Sciences in Antiquity. הטיפול שהוענק ללוח בספר השני תרם לפרסומו של הלוח, והפך להיות הסטנדרט המקובל בספרים העוסקים בהיסטוריה של המתמטיקה, שרובם תיארו את הפרשנות שהציע נויגבאואר.

על פי פרשנות זו, הלוח שימש ליצירת שלשות פיתגוריות באמצעות שימוש בטכניקה אלגברית מתקדמת יחסית, שמעידה על רמה מתמטית מפותחת של יוצר הטבלה. הטכניקה משמשת ליצירה של שלשות פיתגוריות פרימיטיביות - שלשות פיתגוריות שבהן אין מחלק משותף לשלושת אברי השלשה. כל שלשה פיתגורית יכולה להתקבל באמצעות כפל שלשה פיתגורית פרימיטיבית במספר טבעי, כך שהשלשות הללו הן "אבני בנייה" לשלשות הפיתגוריות. בין השלשות שנמצאות בפלימפטון 322, רק שתיים אינן פרימיטיביות: אלו שבשורות 11 ו-15.

הטכניקה ליצירת השלשות היא כדלהלן: ידוע כי בהינתן מספרים חיוביים ${\displaystyle \ s,t}$ כך שהם זרים, בעלי זוגיות שונה ו-${\displaystyle \ s>t}$, ניתן ליצור מהם שלשה פיתגורית פרימיטיבית על ידי הנוסחאות ${\displaystyle \ a=2st,b=s^{2}-t^{2},c=s^{2}+t^{2}}$. יתר על כן, כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית ניתנת ליצירה בצורה הזו.

הטבלה שלהלן מסכמת את השלשות שבלוח ואת המספרים שיוצרים אותן. עבור השורות 11 ו-15 מובאים המספרים שיוצרים את השלשות הפרימיטיבית שמהן ניתן להגיע לשלשות שבשורות אלו.

מהטבלה ניתן לראות כי כל המספרים s,t שנבחרו לצורך יצירת השלשות הם מספרים רגולריים ביחס לבסיס 60: הפיתוח של ההופכיים שלהם לשבר סקסגסימלי (טור חזקות שליליות של 60, בדומה לשבר עשרוני בבסיס 10) הוא סופי. תכונת הרגולריות בבסיס 60 מתקבלת כאשר המחלקים הראשוניים של המספר הם 2, 3 ו-5 בלבד. הסבר אפשרי אחד לבחירה של מספרים רגולריים נעוץ בכך שאם העמודה ${\displaystyle \ \left({\frac {c}{b}}\right)^{2}}$ חושבה לאחר חישוב ערכי העמודות של a,c, אז כדי לבצע את החילוק היה צורך ש-b יהיה מספר רגולרי: הבבלים ביצעו חלוקה באמצעות כפל בהופכי. נויגבאואר ציין כי כל המספרים s,t שבטבלה כבר היו ידועים לבבלים ונמצאו בטבלאות הבסיסיות של מספרים רגולריים וההופכיים שלהם, פרט למספרים שיוצרים את שורה 4, אשר נמצאו בהרחבות מיידיות לטבלאות אלו.

ההסבר של נויגבאואר אינו מפרש מדוע העמודה השמאלית ביותר מכילה את ריבוע היחס בין צלעות המשולשים. המתמטיקאי קרייטון באק הציע הסבר לפיו עמודה זו משמשת לחישוב פונקציה טריגונומטרית, שיכולה להיות ${\displaystyle \ \sec ^{2}(x)}$ או ${\displaystyle \ \tan ^{2}(x)}$, בהתאם לתשובה לשאלה האם מופיע 1 מצד שמאל של כל המספרים בעמודה זו או לא^[4]. בדיקה של הזוויות שייתנו את התוצאות שבטבלה מעלה כי הן נעות מזווית של 45 מעלות בערך ועד זווית של 31 מעלות בערך, כאשר כל שורה יורדת בערך במעלה. הדבר מאפשר להעלות סברה כי פלימפטון 322 היה חלק מאוסף גדול יותר של טבלאות, ששימשו גם לחישוב הזווית מ-30 ועד 16, ומ-15 ועד 1.

בטבלה הבאה מסוכמות הזוויות עבור כל אחת מהשורות:

מספר השורה	${\displaystyle \ x}$	${\displaystyle \ \sec ^{2}(x)}$
1	44.76	1.9834
2	44.25	1.94916
3	43.79	1.9188
4	43.27	1.88625
5	42.08	1.81501
6	41.54	1.78519
7	40.32	1.71998
8	39.77	1.6928
9	38.72	1.64267
10	37.44	1.58612
11	36.87	1.5625
12	34.98	1.48942
13	33.86	1.45002
14	33.26	1.43024
15	31.89	1.38716

דרך נוספת לייצר את המספרים שבטבלה היא באמצעות זוגות של מספרים הופכיים. ייתכן שהמספרים שבעמודות השנייה והשלישית הם הפרמטרים של תרגיל חשבוני שמטרתו הייתה מציאת זוגות ההופכיים כמתואר להלן. אם מניחים שהטבלה נוצרה בשיטה זו, אז העמודה הראשונה משמאל מהווה תוצאת ביניים של החישוב, ולא אחת ממטרותיו.

השיטה היא כדלקמן: בהינתן מספר ${\displaystyle \ x}$ וההופכי שלו ${\displaystyle \ x^{-1}}$, ניתן להגדיר שני מספרים ${\displaystyle \ s={\frac {1}{2}}\left(x-x^{-1}\right),\,d={\frac {1}{2}}\left(x+x^{-1}\right)}$. כעת מתקיים הקשר ${\displaystyle \ s^{2}+1^{2}=d^{2}}$ (משום ש- ${\displaystyle \ \left({\frac {x-x^{-1}}{2}}\right)^{2}+1={\frac {x^{2}-2+x^{-2}+4}{4}}=\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)^{2}}$), כלומר, התקבלה השלשה הפיתגורית ${\displaystyle \ (s,1,d)}$, כאשר s ו-d אינם שלמים. על ידי כפל של s, ‏d ו-1 בגורם משותף ניתן לקבל שלושה שלמים שגם הם שלשה פיתגורית. בדרך זו ניתן להפיק את כל המספרים שבטבלה באמצעות זוגות של ${\displaystyle \ x,x^{-1}}$.

אישוש לכך שזוהי דרך הפעולה ששימשה ליצירת הלוח ניתן למצוא בכך שהתהליך המתואר בו מזכיר את שיטת ההשלמה לריבוע, שהייתה ידועה לבבלים בניסוח גאומטרי. דוגמה לשימוש בשיטה זו ניתן לראות בבעיה הבאה: בהינתן מלבן A ששטחו ${\displaystyle \ 1}$ וההפרש בין אורך צלעותיו הוא ${\displaystyle \ t}$, יש למצוא את הצלעות.

אם נסמן את הצלעות בתור ${\displaystyle \ x,x^{-1}}$ (סימון עקבי עם נתוני השאלה, כי מכפלת שתי הצלעות היא 1), כך ש-${\displaystyle \ x}$ היא הצלע הגדולה יותר, הרי שההפרש בין אורך הצלעות הוא: ${\displaystyle \ t=x-x^{-1}}$. ניתן לראות את המלבן בתור ריבוע B שאורך צלעו ${\displaystyle \ x^{-1}}$, ומחובר אליו מלבן C שאורך צלעו האחת ${\displaystyle \ x^{-1}}$ ואורך צלעו השנייה ${\displaystyle \ t}$. שיטת ההשלמה לריבוע מבוססת על יצירת ריבוע בעזרת המלבן הזה, באופן הבא: חותכים חצי מהמלבן C, מסובבים חתיכה זו ומדביקים אותה לתחתית הריבוע B. קיבלנו צורה שנראית כמו האות L, ושטחה זהה לשטח המלבן A, כלומר הוא 1. כדי להשלים את הצורה הזו לריבוע יש להוסיף את שטח הריבוע ה"דמיוני" D, שאורך צלעו הוא בדיוק ${\displaystyle \ t/2=s}$. כלומר, שטח הריבוע הגדול הוא ${\displaystyle \ d^{2}=1+s^{2}}$. על ידי הוצאת שורש ריבועי ניתן למצוא את אורך צלע הריבוע הגדול, ועל ידי חיסור התוספת של ${\displaystyle \ s}$ ניתן לקבל את הערכים ${\displaystyle \ x,x^{-1}}$ המבוקשים.

בשיטה זו עולים המספרים ${\displaystyle \ s,d}$ באופן טבעי, כאשר ${\displaystyle \ d^{2}}$ (העמודה הראשונה מימין) מופיע כתוצר ביניים של החישוב.

הטבלה הבאה מסכמת את יצירת הלוח בדרך זו:

מספר השורה	${\displaystyle \ x}$	${\displaystyle \ x^{-1}}$	${\displaystyle \ s}$	${\displaystyle \ d}$	${\displaystyle \ d^{2}}$	${\displaystyle \ a}$	${\displaystyle \ c}$
1	12/5	5/12	119/120	169/120	28,561/14,4000	119	169
2	64/27	27/64	3367/3456	4825/3456	23,280,625/11,943,936	3367	4825
3	75/32	32/75	4601/4800	6649/4800	44,209,201/23,040,000	4601	6649
4	125/54	54/125	12,709/13,500	18,541/13,500	343,768,681/182,250,000	12,709	18,541
5	9/4	4/9	65/72	97/72	9409/5184	65	97
6	20/9	9/20	319/360	481/360	231,361/129,600	319	481
7	54/25	25/54	2291/2700	3541/2700	12,538,681/7,290,000	2291	3541
8	32/15	15/32	799/960	1249/960	1,560,001/921,600	799	1249
9	25/12	12/25	481/600	769/600	591,361/360,000	481	769
10	81/40	40/81	4961/6480	8161/6480	66,601,921/41,990,400	4961	8161
11	2	1/2	3/4	5/4	25/16	45	75
12	48/25	25/48	1679/2400	2929/2400	8,579,041/5,760,000	1679	2929
13	15/8	8/15	161/240	289/240	83,521/57,600	161	289
14	50/27	27/50	1771/2700	3229/2700	10,426,441/7,290,000	1771	3229
15	9/5	5/9	28/45	53/45	2,809/2,025	28	53

נשים לב כי עבור הסבר זה, התיקון שבשורה האחרונה השתנה: במקום לתקן את 53 ל-106, מתקנים את 56 ל-28.

תכונה חשובה נוספת של הטבלה היא שהמיון בה מתבצע על פי ערכו של ${\displaystyle \ x}$: הערכים מסודרים בסדר יורד, החל מ-2.4 ועד 1.8. הדבר תורם להשערה לפיה פלימפטון 322 הוא רק חלק מהלוח המקורי. עם זאת, אפשרי גם שהלוח שלם, ושהוא נוצר על ידי העתקה מגרסת טיוטה שכן הכילה את ערכיו של ${\displaystyle \ x}$.

פרשנות זו מציגה הסברים לדרך שבה התקבלו השגיאות שבלוח. על פיה, השגיאה שבשורה 13 יכלה להיווצר בדרך הבאה: אם ${\displaystyle \ s}$ חושב באמצעות הנוסחה ${\displaystyle \ s^{2}=d^{2}-1}$, ייתכן שיוצר הלוח שכח להוציא שורש מהתוצאה. גם השגיאות שבשורות 2 ו-15 יכולות להיות מוסברות על ידי שגיאה בשלב ההכפלה של ${\displaystyle \ s,d}$ לקבלת מספרים שלמים זרים, שעליה נוספה שגיאת העתקה.

פרשנות זו הוצגה לראשונה על ידי אוורט-מארי בראנס (Evert Marie Bruins), וזכתה להרחבה וביסוס בידי ההיסטוריונית אלינור רובסון (אנ')^[5] (מאמרה בנושא זה זיכה אותה בפרס מטעם האיגוד המתמטי של אמריקה^[6]).

• סדר העמודות: בלוחות דומים לפלימפטון 322, סדר העמודות הוא משמאל לימין - כלומר, העמודות שנמצאות בצד ימין מתבססות על אלו שבצד שמאל. על פי פרשנות השלשות הפיתגוריות ופרשנות הטבלה הטריגונומטרית מתקבל דווקא המקרה ההפוך: עמודה מספר 1, השמאלית ביותר, מתבססת על העמודות שמימינה. לעומת זאת, פרשנות המספרים ההופכיים מציעה תיאור שבו יצירת העמודה הראשונה היא שלב מקדים לייצור שתי העמודות שמימינה.
• השגיאות: בניגוד לשתי הפרשנויות האחרות, פרשנות המספרים ההופכיים נותנת הסבר לדרך שבה נוצרו השגיאות, ובפרט מסבירה את השגיאה שבשורה 2.
• ראיות היסטוריות: פלימפטון 322 הוא אחד הלוחות הבודדים המצביעים על אפשרות שהבבלים הכירו את נוסחת היצירה של שלשות פיתגוריות (MS3971 ו-MS3052 הן שתי דוגמאות נוספות), בעוד שלוחות מתמטיים אחרים (למשל, רשימות של מספרים הופכיים) התגלו במספר עותקים. גם הפרשנות הטריגונומטרית אינה נתמכת בראיות היסטוריות נוספות, ובפרט לא ברור כלל עד כמה היה מושג הזווית ידוע בקרב הבבלים, אם בכלל. בבעיות שעסקו במעגלים נהגו הבבלים להסתכל על המעגל לא כעל רדיוס המבצע סיבוב, אלא כעל שטח התחום בידי עקומה (למשל, נוסחת שטח העיגול שהייתה ידועה לבבלים אינה מסתמכת על אורך הרדיוס כמו הנוסחה ${\displaystyle \ \pi r^{2}}$ של ימינו, אלא על היקף המעגל - ${\displaystyle \ c^{2}/4\pi }$ כאשר ${\displaystyle \ c}$ הוא ההיקף).

לעומתן, הפרשנות של המספרים ההופכיים מגובה בממצאים שמעידים כי מספרים הופכיים היו מוכרים לבבלים, כמו גם השיטה של השלמה לריבוע.

• מטרת הלוח: בעוד שהפרשנות הטריגונומטרית ופרשנות השלשות הפיתגוריות מספקות הסבר ברור לייעודו של הלוח, פרשנות המספרים ההופכיים נתקלת בקשיים. אף שניתן לתאר את הלוח ככלי עזר ששימש בהוראת תרגיל חשבון, בהתבסס על כך שאופן יצירתו מזכיר דרכי פתרון שנמצאו על לוחות אחרים, אין בכך כדי להסביר מה הייעוד שמילאו העמודות השנייה והשלישית, שהכילו את השלשות עצמן.

לפורטל ארכאולוגיה של המזרח הקרוב

• היסטוריה של המתמטיקה

מדיה וקבצים בנושא פלימפטון 322 בוויקישיתוף

• The Babylonian tablet Plimpton 322 מאמר השייך לקורס על ההיסטוריה של המתמטיקה באוניברסיטת קולומביה הבריטית, כולל תיאור מפורט ומצולם של הלוח, ותיאור של פרשנות השלשות הפיתגוריות.
• ד"ר טל קוולר, הטריגונומטריה שהקדימה את זמנה, במדור "חדשות מדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 10 בספטמבר 2017