באב החל את הקריירה המקצוענית שלו בקבוצת מילוול כשחקן הסגל המורחב של הקבוצה בשנת1988, אך לא הספיק לשחק כלל משחק רשמי עד שחתם בקבוצת ברדפורד סיטי בקיץ1990, לאחר שהקבוצה ירדה לליגה השלישית באנגליה. כבר בהופעת הבכורה שלו ככדורגלן מקצועני בברדפורד, כבש באב שער לאחר שעלה כמחליף בניצחון 1–2 מול רדינג במשחק ליגה, ב-8 בספטמבר 1990. באותה העונה, באב שיחק 34 משחקי ליגה בהם כבש 10 שערים, דבר שהפך אותו לאחד משחקני ההגנה הפוריים ביותר במסגרת הפוטבול ליג באותה העונה. בעונה שלאחר מכן באב שיחק ב-46 משחקי ליגה וכבש בהם 4 שערים. למרות כל זאת, ברדפורד לא הצליחה להעפיל לפרמייר ליג בסיום העונה, ולאחר שקובנטרי סיטי הציעה עבור שירותיו 500,000 פאונד, הקבוצה נאלצה להסכים להצעה והעבירה אותו לקובנטרי ב-21 ביולי1992.
כבר בעונתו הראשונה בקובנטרי באב פילס את דרכו להרכב הבכיר של המועדון, שנמנה בין האבות המייסדים של ליגת הפרמייר ליג המודרנית. על אף כל התחזיות לגבי היכולת של קובנטרי לשרוד בליגה, היא הצליחה להימנע מירידה בסיומה של עונת 1992–1993, לאחר שסיימה במקום ה-15 בטבלה, וכל זאת לאחר שאת מרבית העונה העבירה קובנטרי בחמשת המקומות הראשונים של הליגה. בעונת 1993–1994, באב המשיך לשמור על כושר טוב, וסייע לקובנטרי לסיים במקום ה-11. בעונה שלאחר מכן, הספיק לשחק רק 3 משחקים עבור קבוצתו לפני שנרכש על ידי ליברפול תמורת 3.6 מיליון פאונד, ב-1 בספטמבר 1994. לאחר עסקה זו, באב נחשב לשחקן ההגנה היקר ביותר בכדורגל האנגלי.
בליברפול, באב התקשה להסתגל לסגנון המשחק של מאמנו רוי אוונס, אף על פי ששותף באופן קבוע במשחקי הקבוצה ואף סיים עמה במקום הרביעי בליגה בשנת 1995 בנוסף לזכייה בגביע הפוטבול ליג. בשנת 1996, סיימו באב וליברפול במקום השלישי בליגה, וליברפול שמרה על מקומה בצמרת גם בעונות שלאחר מכן - מקום רביעי ב-1997 ושלישי ב-1998. כאשר ז'ראר הוייה קיבל את משרת האימון במועדון בעונת 1998–1999, מעמדו של באב בקבוצה ירד ועקב כך הוא הושאל לטרנמיר רוברס.
אחרי שבחר לייצג את אירלנד במקום מולדתו, אנגליה, באב שיחק 35 פעמים עבור הנבחרת האירית, כולל 4 משחקים מלאים במסגרת מונדיאל 1994, לאחר שאירלנד העפילה לשמינית גמר הטורניר. משחקו האחרון עבור נבחרתו, היה ב-7 בספטמבר 2002, משחק
מוקדמות יורו 2004 נגד רוסיה במוסקבה. במהלך משחקו האחרון, הוא נכנס כמחליף בדקה ה-85 של המשחק, ובנגיעתו הראשונה בכדור הסיטו לשערו הוא שבו עמד שיי גיבן, וגרם לשער עצמי. בסיום המשחק, אירלנד הפסידה 2–4.
.jpg)
