ערך מחפש מקורות
	רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

במתמטיקה, פונקציית בטא של דיריכלה הנקראת על שם יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה היא פונקציה אשר קשורה לפונקציית זטא של רימן. פונקציית בטא של דיריכלה מוגדרת על ידי :

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}}$,

או

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx}$.

הפונקציה מוגדרת לכול מספר מרוכב שמקיים ${\displaystyle Re(s)>0}$. אפשר גם להגדיר את פונקציית בטא של דיריכלה על ידי פונקציית פוליגמא אשר מאפשרת הכללה לכול מספר בתחום המישור המרוכב.

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-2)^{2s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]}$.

המשוואה הפונקציונלית של פונקציית בטא של דיריכלה (אשר מוגדרת לכול מספר מרוכב) היא

${\displaystyle \beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)}$

כאשר ${\displaystyle \Gamma (s)}$ היא פונקציית גמא.

הנה כמה ערכים מיוחדים של פונקציית בטא של דיריכלה

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}}}$,

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G}$,

( G נקרא קבוע קטלן)

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}}}$,

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4})}$,

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}}$,

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}}$,

כאשר ${\displaystyle \psi _{3}(1/4)}$ היא מוגדרת להיות פונקציית פוליגמא. בצורה יותר כללית, לכל מספר טבעי ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}}$,

כאשר ${\displaystyle E_{n}}$ הוא מספר אוילר ה-${\displaystyle n}$-י.

על ידי הכללה אפשר להסיק שלכל מספר טבעי ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}}$.

• פונקציית בטא של דיריכלה, באתר MathWorld (באנגלית)