ספינק נולד בצ'למספורד שבאנגליה בשנת 1958 והחל כנער לשחק עבור וסטהאם יונייטד. בקריירה המקצועית שיחק בצ'למספורד סיטי לפני שעבר לאסטון וילה כשהוא בן 18 בלבד. ספינק עשה את הפריצה בגמר גביע אירופה לאלופות 1982 נגד באיירן מינכן הפייבוריטית. השוער הראשון של וילה, ג'ימי רימר, נפצע כבר בדקה ה-9' ומי שנכנס לשער היה ספינק בן ה-24, בהופעתו השנייה בלבד בקבוצה הראשונה, ושלוש שנים לאחר הופעתו הקודמת (הפסד 2–1 לנוטינגהאם פורסט ב-1979).
עם הצלות נהדרות ושמירה על שער נקי מצידו הם גברו עליה 0–1 משער של פיטר ווית'. משם ואילך ספינק זכה עימה גם בסופר קאפ האירופי ב-1982 ובגביע הפוטבול ליג ב-1994. הוא ערך במדיה 460 הופעות המציבים אותו במקום ה-6 בטבלת ההופעות של הקבוצה בכל הזמנים.
ב-1996, לאחר כמעט שני עשורים באסטון וילה, עבר לשכנה וסט ברומיץ' אלביון בה ערך 24 הופעות. ספינק הפך לשוער הוותיק ביותר שהיה אי פעם בקבוצה כשבגיל 39 ו-19 ימים שמר על שער נקי בתיקו נגד קיימברידג' יונייטד במשחק גביע. מאז שיאו נשבר על ידי דין קיילי ששיחק בה בגיל 39 ו-189 ימים.
לאחר שפרש ספינק היה במשך שנתיים מנהל פורסט גרין רוברס בוועידה הלאומית. הוא הוביל אותה לגמר גביע ה-FA ב-2001 אך הם הפסידו 1–0 לאי קנווי בוילה פארק. בסופו של דבר פוטר בספטמבר 2002.
