משוואות נאוויה-סטוקס

משוואות נאוויה-סטוקס מתארות תנועה של זורם צמיג כמו נוזל או גז. המשוואות נקראות על שם מפתחיהן קלוד לואי נאוויה וג'ורג' גבריאל סטוקס. הן נובעות מפיתוח של החוק השני של ניוטון, ומההנחה כי המאמצים בזורם נובעים מהפרש הלחצים בזורם ומצמיגות הזורם.

המשוואות הן בעלות חשיבות גדולה, מכיוון שהן שימושיות ונפוצות בתחומים רבים, כגון מידול מזג האוויר וזרמים בים, זרימה בצנרת, וזרימה מסביב כנף של מטוס. יתר על כן, ישנו עניין במשוואות מבחינה מתמטית, שכן טרם הוכח שקיים להן תמיד פתרון (מד"ח עם מקדמים לא קבועים, קוואזי ליניאריות, בשלושה ממדים), וכן לא הוכח שבאופן כללי פתרונות המשוואה אינם סובלים מסינגולריות או אי רציפויות. בעיות אלו הוכרזו על ידי מכון קליי למתמטיקה כאחת משבע הבעיות הפתוחות החשובות ביותר במתמטיקה, ואף הוצע פרס כספי בשווי של 1,000,000 דולרים לחוקר שיצליח להוכיח טענה זו. הפרכת הטענה, לעומת זאת, לא תזכה בפרס המדובר, שכן לשם מציאת מקרה המפריך את הטענה ניתן להשתמש במחשב.

משוואות נאוויה-סטוקס הן משוואות דיפרנציאליות. הנחת היסוד של המשוואות היא שהזורם הוא רציף, והן פותחו מתוך עקרונות בסיסיים של שימור מסה, שימור תנע ושימור אנרגיה. פתרון המשוואות הוא שדה מהירות שהוא תיאור של מהירות הזורם בכל נקודה במרחב ובזמן. מתוך שדה המהירות ניתן לחשב גדלים פיזיקליים אחרים.

המשוואות בצורתן הכללית

בכתיב וקטורי, הצורה הכללית ביותר של המשוואות היא:

כאשר הוא צפיפות הזורם, הוא וקטור המהירות, t הוא הזמן, p הוא הלחץ, מייצג את הכוחות החיצוניים הפועלים במערכת (כמו כוח הכבידה או כוחות צנטריפוגליים), היא הצמיגות, היא הצמיגות השנייה, ו- הוא טנזור הנגזר מתוך טנזור המאמצים , והמקיים את הקשר:

כאן היא מטריצת היחידה.

המשוואות עבור זורם ניוטוני בלתי דחיס

עבור זורם ניוטוני בלתי דחיס ומתוך משוואת הרציפות - דיברגנץ המהירות מתאפס , כמו גם הוא מאמץ הגזירה . לכן, מתקיים

כתוצאה מכך מתקבלת הכללה למעשה של החוק השני של ניוטון עבור זורם רציף, ולכל אחד מהאיברים ניתן לשייך משמעות פיזיקלית מוגדרת:

פתרון המשוואות נעשה בהינתן תנאי ההתחלה ותנאי השפה של הבעיה.

מאפיינים

אי-ליניאריות

משוואות נאוויה-סטוקס הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא-ליניאריות בכמעט כל מצב ריאלי, חוץ מכמה מקרים בודדים - כגון זרימה חד־ממדית וזרימה זוחלת - בהם ניתן לפשט את המשוואה לצורה ליניארית. העובדה שהמשוואות אינן ליניאריות היא הסיבה העיקרית לקושי בפתרונן.

עבור נוזל ניוטוני בלתי דחיס האיבר הלא ליניארי היחיד הוא איבר ה"הסעה" שמייצג תאוצה שנגרמת משינוי המהירות כפונקציה של המקום. דוגמה למקרה כזה היא מעבר זורם דרך זרבובית הולכת וצרה. במקרה זה מהירות הנוזל גדלה עם ההתקדמות בזרבובית, אך אף על פי שהמהירות של כל חלקיק יחיד תלויה בזמן, שדה המהירות קבוע בזמן.

ישימות

יחד עם משוואות משלימות (לדוגמה, משוואת הרצף) ותנאי שפה מנוסחים היטב, משוואות נאוויה-סטוקס מסוגלות למדל תנועה זורמת באופן מדויק, תחת ההנחה של זורם רציף (שאפשר לגזור אותו אינסוף פעמים ואינו מורכב מאטומים או מולקולות בדידות) וניוטוני (צמיגות קבועה). כאשר מדובר בקנה מידה קטן מאוד או תחת תנאים קיצוניים, נוזלים אמיתיים העשויים ממולקולות בדידות יפיקו תוצאות שונות מאלו המחולצות מהמשוואה. בהתאם למספר קנודסן, ייתכן כי גישה מתאימה יותר לפתרון שדה הזרימה היא שימוש במכניקה סטטיסטית או לעיתים רחוקות בדינמיקה מולקולרית.

עבור נוזלים טורבולנטיים קשה יותר לקבוע בוודאות שהמשוואות מהוות מידול מדויק עבור שדה הזרימה, אך לרוב התוצאות המתקבלות על ידי שימוש במשוואות מתאימות לתצפיות ניסויות. הפתרון הנומרי של משוואות נאוויה-סטוקסל עבור זרימה טורבולנטית היא קשה מאוד, וצורך רזולוציית רשת קטנה במיוחד כאשר ממדלים את הבעיה בעזרת מחשב, מה שגורם לכך שקשה עד בלתי אפשרי להגיע לפתרון. ניסיונות לפתור את הזרימה הטורבולנטית באמצעות מידול למינרי מביאים בדרך כלל לפתרון לא יציב בזמן, אשר לא מצליח להתכנס כראוי. על מנת להתמודד עם בעיה זו, לעיתים נעשה שימוש במשוואות שלוקחות בחשבון זמן ממוצע - כגון משוואות נאוויה-סטוקס עם מיצוע של מספר ריינולדס (RANS) - בתוספת דגמים טורבולנטיים, עבור דינמיקה חישובית של נוזלים (CFD). טכניקה נוספת לפתרון הבעיה היא שימוש ב-Large Eddy Simulation, או בקצרה LES (ראה ערך באנגלית). גישה זו יקרה יותר מאשר שיטת RANS (בזמן ובזיכרון מחשב), אבל מייצרת תוצאות טובות יותר.

המשוואות בקואורדינטות קרטזיות

כשאנו מתייחסים לוקטור המהירות כאל (כאשר u,v,w מייצגים את רכיבי המהירות בכיוון הצירים של המערכת), נוכל להפריד את המשוואה הווקטורית לשלוש משוואות סקלריות.

יצוין שgx, gy, gz תלויים באוריינטציה של התאוצה הגרוויטציונית במערכת הצירים אותו אנו בוחרים.

משוואת הרציפות בקואורדינטות קרטזיות היא:

תחת ההנחה של נוזל בלתי דחיס - קבוע - וההנחה של זרימה תמידית, שגוררת את ההתאפסות של הנגזרות לפי הזמן, נוכל לפשט את משוואת הרצף למשוואה:

המערכת של ארבע המשוואות הללו מהווה את הצורה הכי שכיחה ונלמדת של משוואות נאוויה-סטוקס.

המשוואות בקואורדינטות גליליות

שימוש בקואורדינטות גליליות יתן לנו את מערכת המשוואות הבאה:

לרוב נבחר את מערכת הצירים כך שרכיבי התאוצה הגרווטציונית יהיו קבועים - הן על ידי בחירת ציר z כך שיהיה בכיוון הגרוויטציה והן על ידי בחירת מערכת הצירים כך שכח המשיכה יתבטל עם כוח הנובע מהפרש לחצים.

משוואת הרצף בקואורדינטות גליליות:

נוח מאוד לקבוע את מערכת הצירים כך שהמערכת תהייה אקסי-סימטרית. במקרה זה אין למשוואות תלות בזווית .

המשוואות בקואורדינטות כדוריות

משוואות נאוויה-סטוקס בקואורדינטות כדוריות הם:

כאשר היא קו הרוחב, ו- היא האזימוט.

משוואת הרצף בקואורדינטות כדוריות:

השפעת מספר ריינולדס של הנוזל על המשוואות

מספר ריינולדס הוא גודל חסר ממד, המבטא את היחס בין כוחות האינרציה של הזורם לבין כוחות החיכוך הפועלים בין הזורם לסביבה.

אם לזורם יש מספר ריינולדס גדול, אזי כוחות האינרציה של הזורם גדולים יחסית מהכוחות שנובעים מצמיגותו של הגוף, וניתן להזניח את האיברים במשוואת נאוויה-סטוקס התלויים בצמיגות. מאידך, נוזל עם מספר ריינולדס קטן במיוחד יושפע הרבה יותר מצמיגותו מאשר מכוחות האינרציה, וניתן להזניח את כל איברי המשוואה התלווים ב-, המהווים את כלל האיברים מצדו השמאלי של השוויון.

הנחות מפשטות אפשריות למשוואות

להלן רשימה של כמה הנחות אשר מפשטות את משוואות נאוויה סטוקס, ובכך גורמות לכך שיהיה יותר קל למצוא פתרון אנליטי או נומרי.

הנחה משמעות מתמטית הסבר
זרימה תמידית הזורם התייצב במצב מתמיד אחרי זמן יחסית ארוך, כך שכבר אינו משתנה כפונקציה של הזמן.
זרימה מפותחת בכיוון המהירות אינה מושפעת מאפקטי הקצוות של הבעיה הנתונה, ונשארת קבועה בכיוון . יש לציין כי הנחה זו אינה תקפה עבור פרופיל הלחץ.
אקסיסימטריות (עבור משוואת נאוויה סטוקס בקואורדינטות גליליות) - המהירות והלחץ אינם משתנים בכיוון המשיקי, זאת אומרת שאין שינוי בלחץ ובמהירות כתלות בזווית .
דו-ממדיות הערכים בבעיה תלויים בשני ממדים בלבד וקבועים לאורך הכיוון השלישי. כמו כן, אין מהירות בכיוון זה.


ראו גם

קישורים חיצוניים

Read other articles:

Bagian dari seri tentangBuddhisme Theravāda Kitab Tripitaka Pāli (Tipiṭaka) Parakanonika Kitab Komentar Kitab Subkomentar Visuddhimagga Abhidhammatthasaṅgaha Paritta Sejarah Sidang Buddhis Pertama (~543 SM) Buddhisme prasektarian (~543-250 SM) Sidang Buddhis Kedua (~383 SM) Sthaviravāda (~383 SM) Aliran awal (~250 SM) Sidang Buddhis Ketiga (~250 SM) Vibhajjavāda (~240 SM) Theriya Nikāya/Tambapaṇṇiya (~240 SM) Sidang Buddhis Keempat (~100 SM) Dipawamsa (~300-400 M) Mahawamsa (~500...

 

 

Japanese admiral (1885–1944) Mineichi KogaAdmiral Koga Mineichi (1942-44)Native name古賀 峯一BornSeptember 25, 1885Arita, Saga, JapanDiedMarch 31, 1944(1944-03-31) (aged 58)[1]near Davao, Second Philippine RepublicAllegiance Empire of JapanService/branch Imperial Japanese NavyYears of service1906–1944Rank Marshal Admiral (posthumous)Commands heldAoba, Ise, Naval Intelligence Bureau, Weapons and Mobilization Bureau, 7th Squadron, Training Fleet, Vice-chief o...

 

 

Multipurpose stadium Samuel Thomas Assembly CenterThe TACLocation1650 West Alabama AvenueRuston, LA 71272Coordinates32°31′56″N 92°39′30″W / 32.5321°N 92.6584°W / 32.5321; -92.6584OwnerLouisiana Tech UniversityOperatorLouisiana Tech UniversityCapacity8,000Record attendance8,975 (January 22, 1985)SurfaceMaplewoodConstructionOpenedDecember 4, 1982Construction cost$17.5 millionArchitectMorgan, Hill, Sutton & Mitchell Architects, LLC.TenantsLouisiana Tech Bu...

Disambiguazione – Se stai cercando l'omonima birra, vedi Delirium Tremens (birra). Le informazioni riportate non sono consigli medici e potrebbero non essere accurate. I contenuti hanno solo fine illustrativo e non sostituiscono il parere medico: leggi le avvertenze. Delirium tremensRaffigurazione di un alcolista con delirium tremensSpecialitàpsichiatria Eziologiaabuso d'alcol Classificazione e risorse esterne (EN)ICD-9-CM291.0 ICD-10F10.4 MeSHD000430 MedlinePlus000766 eMedicine166032 Mod...

 

 

追晉陸軍二級上將趙家驤將軍个人资料出生1910年 大清河南省衛輝府汲縣逝世1958年8月23日(1958歲—08—23)(47—48歲) † 中華民國福建省金門縣国籍 中華民國政党 中國國民黨获奖 青天白日勳章(追贈)军事背景效忠 中華民國服役 國民革命軍 中華民國陸軍服役时间1924年-1958年军衔 二級上將 (追晉)部队四十七師指挥東北剿匪總司令部參謀長陸軍�...

 

 

American baseball player (born 1982) This article is about the baseball player. For the musician, see Jason Hammel (musician). Baseball player Jason HammelHammel with the Chicago CubsPitcherBorn: (1982-09-02) September 2, 1982 (age 41)Greenville, South Carolina, U.S.Batted: RightThrew: RightMLB debutApril 11, 2006, for the Tampa Bay Devil RaysLast MLB appearanceSeptember 27, 2018, for the Kansas City RoyalsMLB statisticsWin–loss record96–114Earned run av...

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2021年5月6日)若您熟悉来源语言和主题,请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译,也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议,译文需在编辑摘要注明来源,或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。 约翰斯顿环礁Kalama Atoll 美國本土外小島嶼 Johnston Atoll 旗幟颂歌:《星條旗》The Star-Spangled Banner約翰斯頓環礁�...

 

 

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

 

 

The Right HonourableThe Earl of WarringtonChancellor of the ExchequerIn office1689–1690Preceded bySir John ErnleSucceeded byRichard HampdenMember of the English Parliamentfor CheshireIn office1678–1685Serving with Thomas Cholmondeley, Sir Philip Egerton & Sir Robert CottonPreceded bySir Fulk LucyThomas CholmondeleySucceeded bySir Philip EgertonThomas Cholmondeley Personal detailsBorn(1652-01-13)13 January 1652Died2 January 1694(1694-01-02) (aged 41)SpouseMary LanghamChil...

American rapper (born 1995) Denzel CurryCurry in 2019Background informationBirth nameDenzel Rae Don CurryAlso known as Zel Young Raven Miyagi Denny Cascade Aquarius'Killa Zeltron 6 Billion Black Metal Terrorist Born (1995-02-16) February 16, 1995 (age 29)[1]Miami Gardens, Florida, U.S.Genres Hip hop southern hip hop cloud rap punk rap hardcore hip hop trap trap metal industrial hip hop Occupations Rapper singer songwriter Years active2011–presentLabels Loma Vista C9 L&E For...

 

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada November 2022. Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa dipastikan. Tolong bantu perbaiki artikel ini dengan menambahkan referensi yang layak. Tulisan tanpa sumber dapat dipertanyakan dan dihapus sewaktu-waktu.Cari sumber...

 

 

  Lihat Bahasa Tidore di: ISO  • Ethnologue  • Wikipedia bahasa Inggris Bahasa TidoreBPS: 0793 1Dituturkan diIndonesiaWilayahMaluku Utara, kepulauan Tidore, Maitara, Mare, separuh utara Moti, dan sebagian pesisir barat HalmaheraPenutur(Sebagai bahasa ibu: 26,000 per 1981)Sebagai bahasa kedua: 20,000 (1981) Rumpun bahasaPapua Barat Halmahera UtaraTernate–TidoreTidore Sistem penulisanLatin (Alfabet bahasa Indonesia) Jawi (Arab-Melayu)[1][2]Kode ba...

كارين ميلز معلومات شخصية تاريخ الميلاد 14 سبتمبر 1953 (العمر 70 سنة) الحياة العملية المدرسة الأم جامعة هارفاردكلية هارفارد للأعمال  المهنة سياسية  الحزب الحزب الديمقراطي الأمريكي موظفة في جامعة هارفارد  تعديل مصدري - تعديل   كارين ميلز (بالإنجليزية: Karen Mills)‏ (و. 1953 – �...

 

 

Pew Global Attitudes Project 2013: Quale di questi si avvicina di più alla tua opinione, il numero 1 o il numero 2?: #1 - L'omosessualità dovrebbe essere accettata dalla società, #2 - L'omosessualità non dovrebbe essere accettata dalla società. Percentuale di intervistati a favore di #1:      90-100%      81–90%      71–80%      61–70%      51–60%  ...

 

 

لاعب الشهر في الدوري الإسبانيمعلومات عامةالرياضة كرة القدم البلد  إسبانيا أول جائزة 2013 موقع الويب laligapotm.easports.com (الإسبانية) تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات يحمل ليونيل ميسي الرقم القياسي لعدد جوائز لاعب الشهر في الدوري الإسباني مناصفةً مع أنطوان غريزمان بـ8 جوائز....

State election for New South Wales, Australia in March 2003 2003 New South Wales state election ← 1999 22 March 2003 (2003-03-22) 2007 → All 93 seats in the New South Wales Legislative Assemblyand 21 (of the 42) seats in the New South Wales Legislative Council47 Assembly seats were needed for a majority   First party Second party   Leader Bob Carr John Brogden Party Labor Liberal/National coalition Leader since 6 April 1988 28 March 2002 Le...

 

 

Kementerian Pendidikan Republik Korea교육부敎育部GyoyukbuLogoInformasi lembagaDibentuk22 Maret 2013Nomenklatur lembaga sebelumnyaKementerian Pendidikan, Ilmu Pengetahuan, dan TeknologiWilayah hukumPemerintah Korea SelatanKantor pusat408 Galmae-ro, Sejong, Korea Selatan 30119MenteriKim Sang-gon, Deputi Perdana Menteri dan Menteri PendidikanPark Chun-ran, Wakil MenteriSitus webOfficial English Site Kantor pusat Kementerian Pendidikan di Kota Sejong Kementerian Pendidikan Republik Korea ad...

 

 

Greco-Roman historian (c. 95 – c. 165) This article is about the historian. For other uses, see Appian (disambiguation). AppianA page of the Latin translation of Appian’s Roman History by Pier Candido Decembrio, with imaginary portrait of the historianBornAppianus Alexandrinusc. 95Alexandria, Roman EgyptDiedc. 165 (aged around 70)RomeOccupation(s)Historian, lawyer Appian of Alexandria (/ˈæpiən/; Greek: Ἀππιανὸς Ἀλεξανδρεύς, translit. Appianòs Ale...

Protein-coding gene in the species Homo sapiens ARID3AAvailable structuresPDBOrtholog search: PDBe RCSB List of PDB id codes2KK0, 4LJXIdentifiersAliasesARID3A, BRIGHT, DRIL1, DRIL3, E2FBP1, AT-rich interaction domain 3AExternal IDsOMIM: 603265; MGI: 1328360; HomoloGene: 124247; GeneCards: ARID3A; OMA:ARID3A - orthologsGene location (Human)Chr.Chromosome 19 (human)[1]Band19p13.3Start925,781 bp[1]End975,939 bp[1]Gene location (Mouse)Chr.Chromosome 10 (mouse)[2]Ba...

 

 

Art that is generated digitally with a computer This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these messages) This article needs attention from an expert in Visual arts. See the talk page for details. WikiProject Visual arts may be able to help recruit an expert. (June 2022) This article's tone or style may not reflect the encyclopedic tone used on Wikipedia. See Wikipedia's guide to writing better articles for...