PROFILPELAJAR.COM

ערך זה עוסק במושג בתורת המספרים. אם התכוונתם לרישיון להפעלת מונית בישראל, ראו מספר ירוק.

במתמטיקה, מספר מונית מסדר n, המסומן Ta(n) או Taxicab(n) הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי חזקות שלישיות של מספרים טבעיים (בניסוח אחר: המספר הטבעי הקטן ביותר A שלו יש n פתרונות שונים במספרים טבעיים למשוואה הדיופנטית $x^{3}+y^{3}=A$ ). מספר המונית הנודע ביותר הוא 1729 = Ta(2) = 1³ + 12³ = 9³ + 10³. המושג קיבל את שמו בעקבות אנקדוטה הקשורה במספר זה שסיפר המתמטיקאי ג. ה. הארדי ומתארת ביקור שלו בבית חולים בו אושפז המתמטיקאי סריניוואסה רמנוג'אן. בלשונו של הארדי:

אני זוכר שנסעתי לבקרו במיטת חוליו בפוטני. נסעתי במונית שמספרה 1729, והערתי שזה מספר משעמם למדי, ושאני מקווה שזה איננו סימן רע. 'לא', הוא ענה, 'זה מספר מעניין מאוד; זה המספר הקטן ביותר שניתן לבטאו כסכום של שתי חזקות שלישיות בשתי דרכים שונות

— גודפרי הרולד הארדי^[1]

היסטוריה

תכונה זו של המספר 1729 צוינה עוד בשנת 1657 על ידי המתמטיקאי הצרפתי ברנאר פרניקל דה בסי, בתשובה לשאלה ששלח לו פייר דה פרמה. בשנת 1938 הוכיחו הארדי ואדוארד מייטלנד רייט שמספר מונית קיים לכל מספר טבעי, ולפי הוכחה זו קל לכתוב תוכנית מחשב שתייצר לכל n מספר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי חזקות שלישיות, אך מספר זה לא יהיה בהכרח הקטן ביותר, כך שדרך זו אינה מאפשרת למצוא את ערכו של Ta(n), אבל מאפשרת להציב לו חסם מלעיל.

מספרי המונית שלאחר Ta(2)=1729 נמצאו באמצעות מחשב. ג'ון ליץ' מצא את Ta(3) בשנת 1957.‏ Ta(4) נמצא בשנת 1989.‏ Ta(5) נמצא בשנת 1994.‏ Ta(6) נמצא בשנת 2008,^[2] בעקבות מאמר משנת 2003 שטען שמספר זה הוא 24153319581254312065344 בהסתברות של 99%.^[3]

באנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרת מספרי המונית היא סדרה A011541.

הגמשה של הדרישה לחזקות שלישיות של מספרים טבעיים, כך שיתאפשרו גם חזקות שלישיות של מספרים שליליים, הקרויה cabtaxi number, מאפשרת מציאת מספרי מונית קטנים יותר, למשל:

{\begin{matrix}\mathrm {Cabtaxi} (2)&=&91&=&3^{3}+4^{3}\\&&&=&6^{3}-5^{3}\end{matrix}}

.

מספרי מונית ידועים

עד כה ידועים רק ששת מספרי המונית הבאים:

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}

חסם מלעיל למספרי מונית נוספים

למספרי המונית הבאים ידוע חסם מלעיל, כלומר נמצא מספר n שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי חזקות שלישיות של מספרים טבעיים, אך אין ידיעה שהוא הקטן ביותר:

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (7)&\leq &24885189317885898975235988544&=&2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&&&=&2685635652^{3}+1766742096^{3}\\&&&=&2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&&&=&2894406187^{3}+860447381^{3}\\&&&=&2915734948^{3}+459531128^{3}\\&&&=&2918375103^{3}+309481473^{3}\\&&&=&2919526806^{3}+58798362^{3}\end{matrix}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (8)&\leq &50974398750539071400590819921724352&=&299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&&&=&336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&&&=&341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&&&=&347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&&&=&367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&&&=&370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&&&=&370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&&&=&370779904362^{3}+7467391974^{3}\end{matrix}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (9)&\leq &136897813798023990395783317207361432493888&=&41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&&&=&46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&&&=&47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&&&=&48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&&&=&51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\&&&=&51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&&&=&51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&&&=&51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&&&=&51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\end{matrix}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (10)&\leq &7335345315241855602572782233444632535674275447104&=&15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&&&=&17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&&&=&17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&&&=&18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&&&=&19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&&&=&19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&&&=&19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&&&=&19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&&&=&19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&&&=&19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\end{matrix}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (11)&\leq &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632&=&11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&&&=&12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&&&=&12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&&&=&13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&&&=&13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&&&=&14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&&&=&14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&&&=&14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&&&=&14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\&&&=&14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&&&=&14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\end{matrix}}

{\begin{matrix}\operatorname {Ta} (12)&\leq &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152&=&33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&&&=&38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&&&=&38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&&&=&39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&&&=&40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&&&=&41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&&&=&41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&&&=&41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&&&=&41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\&&&=&41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&&&=&41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&&&=&41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{matrix}}

מספרי מונית שאינם מכפלה של חזקה שלישית

להגדרה של מספר מונית ניתן להוסיף מגבלה, שמספר זה לא יהיה מכפלה של חזקה שלישית שונה מ-1³ (cubefree taxicab number). כאשר מספר מונית T, המקיים מגבלה זו, נכתב כ־T = x³+y³, אז x ו-y חייבים להיות מספרים זרים. מבין ששת מספרי המונית המנויים לעיל, רק Ta(1) ו-Ta(2) מקיימים מגבלה זו. המספר הקטן ביותר המקיים מגבלה זו לשלוש דרכים שונות הוא

15170835645

= 517³ + 2468³

= 709³ + 2456³

= 1733³ + 2152³

המספר הקטן ביותר המקיים מגבלה זו לארבע דרכים שונות הוא

1801049058342701083

= 92227³ + 1216500³

= 136635³ + 1216102³

= 341995³ + 1207602³

= 600259³ + 1165884³

באנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרת המספרים בעלי תכונה זו היא סדרה A080642.

הכללה

בהמשך לשיחתו של הארדי עם רמנוג'אן, שאל הארדי את רמנוג'אן האם הוא מכיר את הפתרון לבעיה המקבילה למספרים בחזקה רביעית. רמנוג'אן ענה, לאחר רגע של מחשבה, שאין לו דוגמה מיידית, אבל שמספר זה בוודאי גדול מאוד. שאלתו של הארדי היא הכללה מסוימת של מספר המונית. הכללה נרחבת יותר, כך שיתאפשר סכום של מספר כלשהו של חזקות (ולא רק 2) ושהחזקה תהיה מספר כלשהו (ולא רק 3) קרויה "מספר מונית מוכלל" (Generalized taxicab number). מספר מונית מוכלל, Taxicab(k, j, n), הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של j מספרים טבעיים בחזקת k. מספר המונית הרגיל הוא מקרה פרטי של מספר המונית המוכלל, שבו k=3 ו-j=2.

דוגמאות למספר מונית מוכלל: